Функции с ограниченной вариацией (стр. 3 )

№ п/п	Наименование обеспечиваемых	1.2	1.3	1.4	2.2	3.1	3.2
1.	Математическая статистика	+	+	+	+	+	+
2.	Случайные процессы	+	+	+	+	+	+
3	Функциональный анализ			+	+	+

5. Содержание дисциплины

Модуль 1

1.1 Монотонные функции

Множество точек разрывов монотонной функции. Функция скачков. Представление монотонной функции через сумму скачков и монотонную непрерывную функцию.

1.2 Отображение множеств. Дифференцирование монотонной функции

Производное число функции в точке. Производные числа функции Дирихле. Существование производных чисел у функции, определенной на отрезке. Критерий существования обыкновенной производной. Существование конечной производной у монотонной функции. Измеримость производной монотонной функции, оценка интеграла от производной.

1.3 Функции с ограниченной вариацией

Определение функции с ограниченной вариацией (ф. о.в). Полная вариация функции. Вариация монотонной функции. Ограниченность ф. о.в. Аддитивность полной вариации. Представление ф. о.в. в форме разности двух возрастающих функций. Дифференцируемость ф. о.в. Представление ф. о.в. в форме суммы ее функции скачков и непрерывной ф. о.в. Принцип выбора Хелли. Теорема Хелли.

1.4 Непрерывные функции с ограниченной вариацией

Вариация с переменным верхним пределом. Непрерывность вариации с переменным верхним пределом. Представление непрерывной функции с ограниченной вариацией в форме разности непрерывных возрастающих функций. Индикатриса Банаха. Теорема Банаха и ее следствия.

Модуль 2

2.1 Мера Лебега-Стилтьеса

Сигма-алгебра борелевских множеств на прямой. Мера Лебега-Стилтьеса на прямой. Мера точки. Функция распределения меры Лебега-Стилтьеса.

2.2 Интеграл Лебега-Стилтьеса. Линейные функционалы

Определение интегралов Стилтьеса и Лебега-Стилтьеса. Свойства интеграла. Вычисление интеграла. Предельный переход под знаком интеграла. Линейный функционал, определяемый интегралом Лебега-Стилтьеса. Теорема Рисса о представлении функционала над пространством непрерывных функций на отрезке.

Модуль 3

3.1 Абсолютно непрерывные функции

Определение абсолютно непрерывной функции; простейшие свойства. Абсолютная непрерывность сложной функции. Дифференциальные свойства абсолютно непрерывных функций.

3.2 Неопределенный интеграл Лебега

Производная неопределенного интеграла Лебега. Абсолютно непрерывная функция как неопределенный интеграл Лебега своей производной. Точки Лебега. Полная вариация неопределенного интеграла Лебега. Замена переменной в интеграле Лебега.

4. Планы семинарских занятий.

Модуль 1

1.1 Монотонные функции

Множество точек разрывов монотонной функции. Функция скачков. Представление монотонной функции через сумму скачков и монотонную непрерывную функцию.

1.2 Отображение множеств. Дифференцирование монотонной функции

Производное число функции в точке. Производные числа функции Дирихле. Критерий существования обыкновенной производной. Существование конечной производной у монотонной функции. Измеримость производной монотонной функции, оценка интеграла от производной.

1.3 Функции с ограниченной вариацией

Полная вариация функции. Вариация монотонной функции. Ограниченность ф. о.в. Аддитивность полной вариации. Представление ф. о.в. в форме разности двух возрастающих функций. Дифференцируемость ф. о.в. Представление ф. о.в. в форме суммы ее функции скачков и непрерывной ф. о.в. Принцип выбора Хелли. Теорема Хелли.

1.4 Непрерывные функции с ограниченной вариацией

Вариация с переменным верхним пределом. Непрерывность вариации с переменным верхним пределом. Представление непрерывной функции с ограниченной вариацией в форме разности непрерывных возрастающих функций. Индикатриса Банаха. Теорема Банаха и ее следствия.

Модуль 2

2.1 Мера Лебега-Стилтьеса

Сигма-алгебра борелевских множеств на прямой. Мера Лебега-Стилтьеса на прямой. Функция распределения меры Лебега-Стилтьеса.

2.2 Интеграл Лебега-Стилтьеса. Линейные функционалы

Интеграл Лебега-Стилтьеса. Свойства интеграла. Вычисление интеграла. Предельный переход под знаком интеграла. Линейный функционал, определяемый интегралом Лебега-Стилтьеса. Теорема Рисса о представлении функционала над пространством непрерывных функций на отрезке.

Модуль 3

3.1 Абсолютно непрерывные функции

Абсолютно непрерывной функции; простейшие свойства. Абсолютная непрерывность сложной функции. Дифференциальные свойства абсолютно непрерывных функций.

3.2 Неопределенный интеграл Лебега

Производная неопределенного интеграла Лебега. Абсолютно непрерывная функция как неопределенный интеграл Лебега своей производной. Точки Лебега. Полная вариация неопределенного интеграла Лебега. Замена переменной в интеграле Лебега.

5. Учебно - методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины (модуля).

Самостоятельная работа студента играет очень большую роль в получении им высшего образования, отражаясь напрямую на качестве подготовки будущего специалиста. Именно эта часть работы развивает навыки самообразования, навыки самостоятельной работы в разных жизненных аспектах, стремление к саморазвитию и познанию.

Закрепляя пройденный материал, в дополнение к конспектам лекционных и практических занятий рекомендуется использовать литературу и другие источники, примерный перечень которых имеется в разделе 11. Время, систематичность, прилежность при подготовке к учебным занятиям и контрольным мероприятиям различного характера напрямую влияют на достижения и успехи студента, которые в дальнейшем при контроле знаний количественно выражаются в баллах и отметках.

Самостоятельная работа студентов организуется в двух формах:

- аудиторной – на лекционных и практических занятиях при решении поставленных индивидуальных задач;

- внеаудиторной – проработка лекций, изучение рекомендованной литературы; контрольным работам, коллоквиуму.

Вопросы к коллоквиуму

Коллоквиум 2.2

1. Определение интеграла Стилтьеса

2. Определение интеграла Лебега-Стилтьеса

3. Свойства интеграла Лебега-Стилтьеса

4. Способы вычисления интеграла Лебега-Стилтьеса

5. Предельный переход под знаком интеграла

6. Линейный функционал, определяемый интегралом Лебега-Стилтьеса

7. Теорема Рисса о представлении функционала над пространством непрерывных функций на отрезке.

Коллоквиум 3.1

1. Определение абсолютно непрерывной функции

2. Свойства абсолютно непрерывной функции

3. Абсолютная непрерывность сложной функции

4. Дифференциальные свойства абсолютно непрерывных функций

Коллоквиум 3.2

1. Производная неопределенного интеграла Лебега

2. Абсолютно непрерывная функция как неопределенный интеграл Лебега своей производной

3. Точки Лебега. Полная вариация неопределенного интеграла Лебега. Замена переменной в интеграле Лебега

Контрольная работа

Для того чтобы функция имела конечное изменение, необходимо и достаточно, чтобы существовала такая возрастающая функция :

, при

Доказать, что интеграл существует, если удовлетворят условию Липшица порядка , а удовлетворяет условию Липшица порядка , причем . Доказать равенство для непрерывной функции f(x). Если все производные числа функции f(x) удовлетворяют неравенству , то f(x) удовлетворяет условию Липшица

Зачетные и дополнительные задачи

Вопросы к зачету

1. Множество точек разрывов монотонной функции

2. Функция скачков. Представление монотонной функции через сумму скачков и монотонную непрерывную функцию

3. Производное число функции в точке. Производные числа функции Дирихле.

4. Существование производных чисел у функции, определенной на отрезке

5. Критерий существования обыкновенной производной. Существование конечной производной у монотонной функции

6. Измеримость производной монотонной функции, оценка интеграла от производной.

7. Определение функции с ограниченной вариацией (ф. о.в)

8. Полная вариация функции. Вариация монотонной функции

9. Ограниченность ф. о.в. Аддитивность полной вариации

10. Представление ф. о.в. в форме разности двух возрастающих функций

11. Дифференцируемость ф. о.в.

12. Представление ф. о.в. в форме суммы ее функции скачков и непрерывной ф. о.в.

13. Принцип выбора Хелли. Теорема Хелли

14. Вариация с переменным верхним пределом. Непрерывность вариации с переменным верхним пределом

15. Представление непрерывной функции с ограниченной вариацией в форме разности непрерывных возрастающих функций

16. Индикатриса Банаха. Теорема Банаха и ее следствия

17. Сигма-алгебра борелевских множеств на прямой. Мера Лебега-Стилтьеса на прямой

18. Мера точки. Функция распределения меры Лебега-Стилтьеса.

19. Определение интегралов Стилтьеса и Лебега-Стилтьеса

20. Свойства интеграла. Вычисление интеграла

21. Предельный переход под знаком интеграла

22. Линейный функционал, определяемый интегралом Лебега-Стилтьеса. Теорема Рисса о представлении функционала над пространством непрерывных функций на отрезке

23. Абсолютно непрерывной функции; простейшие свойства

24. Абсолютная непрерывность сложной функции

25. Дифференциальные свойства абсолютно непрерывных функций

26. Производная неопределенного интеграла Лебега

27. Абсолютно непрерывная функция как неопределенный интеграл Лебега своей производной

28. Точки Лебега. Полная вариация неопределенного интеграла Лебега.

29. Замена переменной в интеграле Лебега

6. Образовательные технологии.

При изучении дисциплины используются сочетания видов учебной работы с методами и формами активизации познавательной деятельности бакалавров для достижения запланированных результатов обучения и формирования заявленных компетенций.

Лекционные занятия проводятся с использованием наглядных пособий и раздаточных материалов. Целью лекций является изложение теоретического материала и иллюстрация его примерами и задачами. Основным теоретическим положениям сопутствуют пояснения об их приложениях к другим разделам математики, а также экономике, физике, программированию.

При проведении практических занятий используются индивидуальные и групповые формы работы; работа в малых группах; выполнение заданий в паре; взаимопроверка выполненных задач. Во время лекционных занятий ведется активный диалог со слушателями, используется проблемное изложение материала.

Принципами организации учебного процесса являются: активное участие слушателей в учебном процессе; проведение практических занятий, определяющих приобретение навыков решения практических задач; приведение примеров применения изучаемого теоретического материала к реальным практическим ситуациям.

7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля).

7.1. Основная литература:

1.Натансон функций вещественной переменной. – М., Наука, 1974.

2.Толстов и интеграл. – М., Наука, 1976.

3.Теляковский задач по теории функций действительного переменного. – М., Наука, 1980.

7.2. Дополнительная литература:

5., Фомин теории функций и функционального анализа. – Наука, М., 1976.

8. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля).

В организации учебного процесса необходимыми являются средства, обеспечивающие аудиовизуальное восприятие учебного материала (специализированное демонстрационное оборудование):

· доска и мел (или более современные аналоги),

компьютеры (для передачи, поиска, изучения материала, для контроля знаний и др.)