Системы автоматизированного управления (стр. 2 )

Математическая запись физических законов, определяющих свойства непрерывного объекта, в большинстве случаев приводит к системе нелинейных дифференциальных уравнений, связывающих выходные и входные процессы и их производные. Эта система может иметь весьма сложную форму и, например, в случае объекта с независимыми выходными процессами быть представлена соотношениями вида

(1)

При l=1 объект называют одномерным.

Если функции , являются линейными относительно управляемых и управляющих процессов и их производных, то объект называют линейным по управлению; аналогично определяется линейность по возмущению.

а) б)

Рис. 2.2. Многомерный объект управления:

а) – скалярная форма входов/выходов; б) – векторная форма входов/выходов

Математическая модель (l) в современной теории систем получила ограниченное распространение. Гораздо чаще l дифференциальных уравнений (1), из которых i-e имеет порядок ni, представляют в виде системы из дифференциальных уравнений первого порядка, каждое из которых разрешено относительно производной.

С этой целью в рассмотрение вводят п новых переменных у1 у2,..., уп, которые подбирают таким образом, чтобы систему (1) оказалось возможным представить в форме

(2)

Эту систему называют нормальной формой Коши. Выходные процессы ОУ выражаются через введенные переменные – переменные состояния – соотношениями вида

(3)

где функции являются в общем случае нелинейными. Система уравнений (2) должна быть эквивалентна исходной системе (1) в том смысле, что по решению (2) можно однозначно устанавливать решение системы (1). Совокупность уравнений (2) и (3) называют уравнениями состояния.

Переход от системы уравнений в форме (1) к уравнениям состояния не является однозначным, т. е. может быть осуществлен различными путями. Одной и той исходной системе уравнений может соответствовать несколько систем в форме Коши в зависимости от способа определения переменных состояния.

Будем полагать, что уравнения состояния объекта в общем случае в векторно-матричной форме имеют вид [3, 4]

(4)

Здесь Y(t) – n-мерный вектор состояния с компонентами y1, y2,…, yn; U(t) – m-мерный вектор управлений с компонентами и1, и2,.., иm;
Z(t) – l-мерный вектор управляемых процессов с составляющими z1, z2,…, zl; Ψ – n-мерная вектор-функция с компонентами ψ1, ψ2,…, ψn; Φ – l-мерная вектор-функция с компонентами φ1, φ2,…, φl.

Наличие самостоятельного аргумента t в (4) указывает на явную зависимость вектор-функций Ψ, Ф от времени, и такие объекты называют неавтономными. Физически неавтономность означает, что к объекту помимо управления U(t) приложены и другие внешние воздействия. При отсутствии аргумента t систему (4) называют автономной.

Функции Ψ, Ф предполагаются однозначными, а уравнения состояния удовлетворяют теореме существования и единственности решения. Так как вектор Z(t) однозначно находится по Y(t), U(t), то часто ограничиваются объектами управления, описываемыми только первым из уравнений (4). При этом принимают, что выходом объекта управления является вектор состояния.

2.1.2. Цель и задача управления

Введем в рассмотрение n-мерную систему координат, по осям которой будем откладывать величины у1, у2,...,уп. Графически подобную систему можно отобразить лишь при п=1, 2, 3; в остальных случаях она не поддается геометрической интерпретации и вводится как удобный для последующего изложения абстрактный прием. Пространство, характеризуемое этой системой координат, принято называть пространством состояний или фазовым пространством.

Пусть в некоторый момент времени t0 (обычно t0 = 0), используемый как начало отсчета времени, переменные состояния y1, y2,…, yn имеют значения y1(t0), y2(t0),…, yn(t0), т. е. вектор состояния равен Y(t0). Начало этого вектора находится в точке 0 пространства состояния, а конец – в точке М0, которую принято называть изображающей точкой.

Пусть далее к объекту приложены воздействия U(t) и F(t). Подставим их в первое уравнение (4). Если теперь это уравнение решить при начальных условиях Y(t0), то получим решение Y(t), U(t), F(t), Y(t0)), t ≥ t0, зависящее от всех воздействий и начальных условий. Этому решению при каждом t в пространстве состояний будет соответствовать определенная точка. Если все эти точки соединить кривой (рис. 2.3), получим траекторию, называемую траекторией движения объекта. Условно можно принять, что изображающая точка во времени движется в пространстве состояний, а оставляемый ею в результате след и представляет собой траекторию движения объекта.

Предположим, что момент t0 соответствует началу управления объектом, т. е. начиная с этого момента на объект подается управление U(t).

Из-за конструктивных, энергетических и других особенностей объекта на его вход не могут подаваться произвольные управления. Реальные управления должны быть подчинены некоторым ограничениям, например вида

(5)

Рис. 2.3. Траектория движения ОУ в пространстве состояний

Совокупность ограничений формирует область возможных значений управляющих воздействий. Обозначим эту область символом Ω(U) и назовем областью допустимых управлений.

Реально подаваемые на вход ОУ управления должны принадлежать области допустимых управлений

(6)

В этом случае управления называются допустимыми.

Аналогично компоненты вектора состояния y1(t), y2(t),..., yn(t) в общем случае также должны удовлетворять определенным ограничениям, т. е. вектор Y(t) в пространстве состояний не должен выходить за пределы некоторой области Q, называемой областью допустимых состояний,

(7)

Пусть в области Q можно выделить некоторую подобласть Q1 состояний , которые для нас по каким-то причинам являются желательными.

Цель управления заключается в том, чтобы перевести объект из начального состояния Y(t0), в котором он находится в момент t0, в конечное состояние Y(T), принадлежащее подобласти Q1 области допустимых состояний, т. е. . Момент t=T, соответствующий моменту попадания объекта в желаемое конечное состояние, может быть неизвестным.

Для достижения цели управления на вход объекта необходимо подать соответствующее управление.

Задача управления заключается в том, чтобы в области допустимых управлений (6) подобрать такое управление, при котором будет достигнута цель. Иными словами, требуется отыскать такое допустимое управление , определенное на временном отрезке [t0, Т] (где Т может быть заранее неизвестно), при котором уравнения объекта управления при заданном начальном состоянии и известном векторе F(t) имеют решение Y(t), удовлетворяющее ограничению (7) при всех и конечному условию .

2.1.3. Задача оптимального управления и критерии качества

В общем случае задача управления имеет бесконечное число решении, т. е. существует бесконечное число допустимых управлений, переводящих объект из начального состояния в конечное в соответствии со всеми введенными ограничениями. В этом смысле все управления, реализующие цель управления, являются равноценными. Однако к системе управления, как правило, предъявляется ряд требований, характеризующих успешность продвижения по пути к цели управления.

Чтобы судить о степени соответствия системы предъявляемым к ней требованиям, вводят в рассмотрение числовые показатели, отражающие качественную сторону процесса движения к цели управления и формирующие понятия качества управления.

Формально качество управления можно описать или в форме совокупности показателей качества (значения перерегулирования, время регулирования, установившиеся ошибки при типовых воздействиях и т. п.), или в форме некоторого обобщенного показателя, определяемого всеми процессами Y(t), U(t), F(t), X(t) [5, 6].

Качество существенно зависит от конкретного вида управления U(t). При каждом управлении, на котором достигается цель управления, показатель качества будет принимать определенное значение. Следует выбирать такие управления, при которых качество будет обеспечено в соответствии с существующими требованиями.

При первом подходе качество управления оценивается совокупностью показателей, представляющих, по существу, параметры реакции системы на некоторое детерминированное входное воздействие, и свойственно раннему этапу развития теории управления, хотя используется и в настоящее время. Выбор рационального управления в этом случае подменяется выбором структуры и параметров входящей в управляющее устройство корректирующей цепи, которая обеспечивает показатели качества, не худшие относительно их заданных значений.

При втором подходе качество управления описывается некоторым обобщенным показателем, представляющим собой меру эффективности достижения цели управления средствами конкретного управления U(t). Обобщенный показатель качества – числовая характеристика, в общем случае зависящая от U(t), Y(t), F(t), X(t), так что конкретным закону управления U(t) и процессам F(t), X(t) соответствует определенное значение показателя качества.