Системы автоматизированного управления (стр. 3 )

Обобщенный показатель качества в каждой технической задаче назначается самостоятельно. Качество может содержать различный физический смысл и отражать в зависимости от назначения объекта такие свойства системы управления, как, например, энергетические затраты на управление, точность поддержания заданного режима работы объекта управления, производительность и качество выпускаемой продукции, затраты сырья или электроэнергии и т. д.

Наиболее часто обобщенный показатель качества представляется функционалом, и его можно описать в форме интегрального соотношения

(8)

где функция G определяет конкретный физический смысл показателя качества. Введение показапозволяет сформулировать задачу оптимального управления.

Задача оптимального управления заключается в следующем: в области допустимых управлений Ω(U) следует найти такое допустимое управление U(t), на котором показатель качества (8) при заданных F(t), X(t)) достигает экстремального значения

(9)

а объект управления переводится из начального состояния Y(t0) в конечное , оставаясь в области допустимых состояний (7) при всех .

Условие (9) в этом случае называют критерием onтимальности (термин применяют и к самому показателю J); управление, удовлетворяющее условиям задачи, называют оптимальным; решение уравнения объекта управления, соответствующее оптимальному управлению и удовлетворяющее цели управления, называют оптимальной траекторией движения ОУ; систему управления, которая с позиций критерия (9) оказывается наилучшей среди всех других систем, называют оптимальной.

2.1.4. Управляемость, достижимость, наблюдаемость

При постановке задачи оптимального управления рассматривалась ситуация, в которой имеется бесконечное число допустимых управлений, переводящих объект из заданного начального состояния в нужное конечное. Такая ситуация не возможна для реального ОУ, поэтому введем в рассмотрение ряд понятий [3, 7], позволяющих оценить осуществимость управления.

Пусть имеется объект, описываемый в пространстве состояний уравнениями (4). Предположим, что на управление U никаких ограничений не наложено. Если можно подобрать такое управление U(t), с помощью которого ОУ из любого начального состояния Y(t0), соответствующего любому начальному моменту t0, можно за конечное время Т–t0 перевести в конечное состояние покоя Y(T) = 0 или в иное желаемое состояние, то объект называют полностью управляемым по Калману (Kalman R. ввел это понятие), а указанное свойство объекта называют управляемостью.

Физически механизм проявления понятия управляемости заключается в том, что управление U(t) должно оказывать влияние на все компоненты вектора состояния Y(t). Задачу оптимального управления можно ставить применительно лишь к объектам, управляемым по Калману.

Выявление условий, при которых объект оказывается полностью управляемым, является весьма сложной задачей. Наиболее развиты методы ее решения для линейных стационарных объектов. Если объект управления описывается уравнениями

(10)

где А, В, С, D – постоянные матрицы надлежащей размерности, то необходимое и достаточное условие Калмана полной управляемости этого объекта сводится к следующему. Составляется матрица управляемости (см. [7])

(11)

представляющая собой прямоугольную матрицу размерности п×пт, где п и т – размерности векторов состояния и управления соответственно.

Объект полностью управляем тогда, когда ранг этой матрицы равен п. Практически это значит, что среди пт столбцов матрицы К должны быть линейно независимы п столбцов. Если управление является скалярным и
В – вектор, условие полной управляемости сводится к невырожденности квадратной п-матрицы К. Управляемость является внутренним свойством объекта, так как она обусловлена только свойствами матриц А и В в структуре уравнения ОУ.

При формулировке условий управляемости полагаем, что на управление ограничений не наложено, поэтому приведенные условия управляемости отражают потенциальные способности объекта быть управляемым. Так как во многих реальных условиях на U(t) налагаются ограничения, то потенциально полностью управляемый объект практически может оказаться неуправляемым в связи с тем, что в ограниченной области допустимых управлений не удастся относительно Y(t0) подобрать допустимые управления, переводящие объект из Y(t0) в Y(T)=0.

В этих случаях возникает вопрос о существовании оптимального управления для данного объекта при конкретных ограничениях и начальных состояниях. Соответствующие исследования проводятся с использованием понятия достижимости.

Состояние (Y(T), Т) называют достижимым из исходного состояния (Y(t0), t0) относительно Ω(U), если найдется такое , при котором объект за конечное время Т–t0 переводится из Y(t0) в Y(T).

Совокупность всех достижимых состояний образует множество ΓТ, называемое областью достижимых состояний в момент Т из (Y(t0), t0) по отношению к Ω(U). Если Т→∞, то область ΓТ расширяется и превращается в область управляемости Г∞.

Ставить задачу оптимального управления имеет смысл в том случае, если предусмотренное задачей конечное состояние объекта принадлежит области достижимых состояний. Выявление этих областей – сложная проблема, входящая в общую не рассматриваемую здесь проблему существования решения задач оптимального управления.

В большинстве технических постановок задач соответствующие условия выполняются, в этом смысле утверждения о многочисленности путей решения задачи управления оказываются обоснованными.

При постановке задачи оптимального управления предполагалось известным начальное состояние Y(t0). При инженерном подходе к проблеме это положение верно, если вектор состояния Y(t) можно измерить.

Однако реально измеряются не компоненты вектора состояния, некоторые из которых могут и не иметь явного физического смысла, а выходные и входные координаты объекта, т. е. векторы Z(t) и U(t).

В этих условиях возникает необходимость по наблюдениям за выходом объекта Z(t) и его входом U(t) на некотором конечном временном отрезке [t0, Т] восстанавливать начальное состояние объекта Y(t0). Возможность подобного восстановления называется наблюдаемостью.

Говорят, что некоторое состояние Y(t0) наблюдаемо, если при заданном U(t) существует такой конечный промежуток времени Т–t0, что знания входа объекта U(t) и выхода Z(t) на этом промежутке достаточно для определения Y(t0). Если каждое состояние Y(t) в любой момент t0 является наблюдаемым, то объект по Калману называют полностью наблюдаемым.

Проблема наблюдаемости, как и управляемости, наиболее просто решается для линейных стационарных объектов. С этой целью на основании уравнения состояния ОУ составляется матрица наблюдаемости

(12)

имеющая размерность n×nl, где l – размерность вектора Z(t).

Для полной наблюдаемости объекта необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы Н был равен п, т. е. чтобы среди nl столбцов этой матрицы п столбцов были линейно независимы.

Если объект одномерный и С – вектор-строка, то условие наблюдаемости сводится к требованию невырожденности матрицы Н, т. е. к не равенству нулю определителя этой матрицы.

Наблюдаемость, как и управляемость, отражает внутренние свойства объекта. При рассмотрении проблем оптимального управления будем полагать, что условия управляемости, наблюдаемости и достижимости выполняются.

2.1.5. Типовые задачи оптимального управления

Рассмотрим наиболее распространенные варианты задач оптимального управления [3, 4].

Сформулированная задача оптимального управления предполагает, что оптимальное управление U(t) ищется как функция времени t. Такой стратегии управления соответствует разомкнутая система, не имеющая обратных связей и работающая фактически в программном режиме. Такую задачу называют задачей оптимального программного управления.

На практике часто осуществляется поиск оптимального управления в функции векторов состояния, задающего воздействия и возмущения, т. е. в форме U(Y(t), X(t), F(t)). Этому соответствует комбинированная система управления, обладающая каналами обратной связи и компенсации возмущений, имеющая преимущества в качестве управления по сравнению с разомкнутыми системами.

Задача управления в этом случае сводится к разработке такого алгоритма управляющего устройства, при котором на основании информации об Y(t), X(t), F(t) в каждый момент времени вычисляется допустимое управление, доставляющее экстремум показателю качества. В случае автономной системы оптимальное управление ищется как функция состояния U(Y(t)).

Подобные задачи оптимизации, сопровождаемые организацией оптимальных процедур U(Y(t), X(t), F(t)) или U(Y(t)) и приводящие к системам с обратными связями принято называть задачами синтеза оптимальных управлений. В инженерном отношении эти задачи представляют больший интерес, чем задачи оптимального программного управления, так как приводят к замкнутым системам, но в математическом отношении их решение часто оказывается более сложным.

Решения оптимальных задач существенно определяются ограничениями на состояния ОУ и время управления. По этим признакам выделяются следующие виды задач.

1. Задача без ограничения на переменные состояния. В этих случаях условия (7) снимаются и переменные состояния могут принадлежать всему пространству состояния.

2. Задача с фиксированным временем. Здесь время T является известной фиксированной величиной.

3. Задача с закрепленным правым концом траектории. В этих случаях множество Q1 желаемых значений вектора Y(Т) состоит из единственной точки, в которую должен попасть вектор Y(t) при t= T. Если множество Q1 представляет подобласть пространства состояний, используют термин «задачи с подвижным правым концом».

4. Задача со свободным правым концом. Здесь обычно конечный момент времени Т зафиксирован, но ограничения на положение вектора Y(Т) отсутствуют, т. е. конец вектора Y(Т) может находиться в любой точке пространства состояния.

2.1.6. Общие понятия об адаптивном управлении

Для математической формулировки и последующего решения задачи синтеза оптимальной системы управления необходимо располагать сведениями об объекте управления и условиях работы системы. Объект управления должен быть математически описан, т. е. найдено его дифференциальное уравнение или какой-либо аналог уравнения. Также должны быть в детерминированном или вероятностном смысле известны свойства задающих и возмущающих воздействий. Наличие такой априорной информации позволяет синтезировать систему, имеющую нужные показатели качества.