Лекция 5-7 (стр. 2 )

xk	–1	–2	–3	–4
pk	0,4	0,4	0,2	0,2

в)

xk	1	2	3	…	k	…
pk	0,1	1/22	1/23	…	1/2k	…

г)

xk	1	2	3	…	k	…
pk	1/2	1/3	1/4	…	1/k	…

2. Дискретная с. в. x имеет ряд распределения

xk	– 4	– 2	0	2	4
pk	0,1	0,2	р3	0,2	0,1

а) Чему равна вероятность p3 = P{x = 0}?

б) Построить многоугольник распределения.

в) Найти функцию распределения F(x).

г) Построить график функции распределения F(x).

3. Рассматривается с. в. x – число выпадений герба при двух подбрасываниях монеты (см. пример 1.1). Построить ряд и функцию распределения с. в. x и представить их графически.

4. Найти закон распределения с. в. x – числа выпавших очков на верхней грани при одном бросании игральной кости и представить его графически.

5. В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Из этой партии наудачу взято 3 изделия. Найти закон распределения с. в., равной числу бракованных деталей в выборке, и представить его графически.

6. Вероятность изготовления нестандартного изделия при некотором технологическом процессе равно 0,1. Контролер берет из партии изделие и проверяет его качество. Если оно оказывается нестандартным, дальнейшие испытания прекращаются, а партия задерживается. Если же изделие оказывается стандартным, контролер берет следующее и т. д., но всего не более пяти изделий. Найти закон распределения с. в., равной числу проверенных изделий, и представить его графически.

3. Основные дискретные распределения

1. Распределение Бернулли

Случайная величина ξ имеет распределение Бернулли с параметром р (0 £ р ≤ 1), если она принимает значения 0 и 1 с вероятностями q = 1 – р и р соответственно.

Распределение Бернулли с параметром р имеет число «успехов» в одном испытании Бернулли с вероятностью р осуществления «успеха».

Пример 3.1. Распределение Бернулли с параметром p = 1/2 имеет с. в. x, равная числу выпадений герба при одном бросании симметричной монеты. ·

2. Биномиальное распределение

Случайная величина ξ имеет биномиальное распределение с параметрами n и р (n – натуральное число, 0 £ р £ 1), если она принимает значения 0, 1, …, n в соответствии с биномиальными вероятностями:

pk = Р{ξ = k}= p k q n – k, k = 0, 1, …, n; q = 1–p.

Характеристическое свойство (2.1) дискретного закона распределения выполняется, так как в силу формулы бинома Ньютона

Биномиальное распределение является не чем иным, как распределением числа nn «успехов» в n испытаниях Бернулли с вероятностью р «успеха» и «неудачи» q = 1 – p.

3. Гипергеометрическое распределение

Случайная величина ξ имеет гипергеометрическое распределение с параметрами N, М, n (N, М, n – натуральные числа, М £ N, n £ N), если она принимает значения m0, m0+1, …, m1 с вероятностями

pm = P{ξ = m} = , m = m0, m0+1,…, m1,

где m0 = max (0, M – N + n), m1 = min (M, n).

Гипергеометрическое распределение является распределением числа объектов, обладающих заданным свойством среди n объектов, случайно извлеченных (без возвращения) из совокупности N объектов, из которых М обладают этим свойством.

4. Геометрическое распределение

Случайная величина ξ имеет геометрическое распределение с параметром р (0 < р < 1), если она принимает значения 1, 2, …, n, … с вероятностями, образующими бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем q = 1 – p:

pk = Р{ξ = k} = рqk –1, k = 1, 2, …, n, ….

Воспользовавшись формулой суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, получим

= рq k –1 = р(1 + q + q2 + … + qn +…) = р/(1 – q) = 1,

т. е. характеристическое равенство (2.1) выполняется.

Геометрический закон распределения является распределением числа испытаний Бернулли до появления первого «успеха», включая последнее успешное испытание, если вероятность «успеха» в каждом испытании равна р. Действительно, чтобы осуществилось событие {ξ = k} необходимо, чтобы подряд было (k–1) «неудач» (с вероятностью qк–1), а затем «успех» (с вероятностью р). Используя независимость испытаний, получим требуемую формулу.

Иногда геометрическое распределение определяется равенством

pk = Р{ξ = k} = рqk, k = 0, 1, …, n, ….

Тогда с. в. x, имеющая указанное геометрическое распределение, интерпретируется как число испытаний, которые необходимо провести, прежде чем появится «успех», причем последнее успешное испытание не учитывается.

5. Распределение Пуассона

Случайная величина ξ распределена по закону Пуассона с параметром λ (λ ³ 0), если она принимает значения 0, 1, 2, …, n, … с вероятностями

рk = Р{ξ = k} = , k = 0, 1, …, n, ….

Воспользовавшись разложением в ряд Маклорена функции , проверим выполнение характеристического равенства (2.1):

В схеме Бернулли закон Пуассона появился как предельный случай биномиального распределения, когда вероятность р «успеха» мала, но число n испытаний достаточно велико, а величина nр = λ не велика. Поскольку вероятность р события А в каждом испытании мала, то закон Пуассона часто называют законом редких событий.

Распределение Пуассона часто используется для описания числа сбоев автоматической линии или числа отказов сложной системы, работающих в отлаженном режиме; числа требований на обслуживание, поступивших в единицу времени в систему массового обслуживания; числа несчастных случаев и редких заболеваний и многого другого.

Контрольные вопросы

1. Какое распределение вероятностей называется распределением Бернулли?

2. Какой смысл имеет с. в., распределенная по закону Бернулли с параметром р?

3. Какое распределение вероятностей называется биномиальным распределением? Чем объясняется такое название распределения?

4. Какой смысл имеет с. в., распределенная по биномиальному закону с параметрами n и р?

5. Какое распределение вероятностей называется гипергеометрическим распределением? Какими параметрами оно характеризуется?

6. Какой смысл имеет с. в., распределенная по гипергеометрическому закону?

7. Какое распределение вероятностей называется геометрическим распределением? Чем объясняется такое название распределения?

8. Какой смысл имеет с. в., распределенная по геометрическому закону с параметром р?

9. Какое распределение вероятностей называется распределением Пуассона?

10. Почему закон распределения Пуассона называют также законом «редких событий»?

Контрольные задания

1. Вероятность выигрыша по облигации займа за время его действия равна 0,1. Найти ряд и функцию распределения для с. в. x, равной числу выигравших облигаций среди пяти приобретенных. Построить многоугольник распределения и график функции распределения.

2. В рекламных целях торговая фирма вкладывает в каждую десятую единицу товара денежный приз размером 100 руб. Составить закон распределения с. в. x – размера выигрыша при пяти сделанных покупках и представить его графически.

3. Из шести гвоздик две белые. Найти ряд и функцию распределения с. в., выражающей число белых гвоздик среди трех одновременно взятых. Построить многоугольник распределения и график функции распределения.

4. В магазине продаются 6 импортных и 4 отечественных телевизора. Составить закон распределения с. в., равной числу импортных телевизоров среди четырех наудачу выбранных, и представить его графически.

5. Радист вызывает корреспондента, причем каждый последующий вызов производится лишь в том случае, если предыдущий вызов не принят. Вероятность того, что корреспондент примет вызов, равна 0,4. Составить закон распределения числа сделанных вызовов, если: а) число вызовов не ограничено; б) число вызовов не более пяти.

4. Непрерывные случайные величины

Случайная величина ξ называется непрерывной, если ее функция распределения F(х) непрерывна и дифференцируема для всех хÎR, за исключением, быть может, отдельных точек.

Функция

р(х) = F '(х) = (4.1)

называется плотностью распределения (вероятностей) непрерывной с. в. ξ.

Иногда, как и прежде, чтобы подчеркнуть принадлежность плотности распределения случайной величине ξ наряду с записью р(х) будем употреблять запись рξ(х).

Закон распределения непрерывной с. в. может задаваться, наряду с ф. р. F(х), также и плотностью распределения р(х), поскольку, исходя из плотности распределения р(х), можем найти ф. р. F(х) по формуле

F(х) = (4.2)

Действительно, в силу определения (4.1) и свойства 4° ф. р., имеем

F(х) – F(– ¥) = F(х) – 0 = F(х).

Рассмотрим основные (характеристические) свойства плотности распределения.

Свойства плотности рапределения

1°. Плотность распределения является неотрицательной функцией: р(х) ³ 0 для всех х Î R.

2°. Площадь фигуры, ограниченной графиком плотности распределения и осью абсцисс, равна единице:

(4.3)

Теорема 4.1. Пусть непрерывная с. в. ξ имеет плотность распределения р(х) и функцию распределения F(х). Обозначим через <х1, х2> один из интервалов вида [х1, х2], [х1, х2), (х1, х2], (х1, х2).

Тогда 1) Р{ξ = х0} = 0 для любого х0ÎR ; (4.4)

2) Р{ξÎ<х1, х2>} = F(х2) – F(х1) = (4.5)

p(x)

Вторая формула в выражении (4.5) имеет простой геометрический смысл: вероятность Р{ξÎ<х1, х2>} попадания с. в. x в промежуток <х1, х2> равна площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком плотности распределения, осью абсцисс и прямыми х = х1, х = х2 (рис. 4.1).

x

x1 x2 x x+ Δх

Рис. 4.1. Геометрическая интерпретация вероятности P{ξ Î < х1, х2 >}

Пример 4.1. Случайная величина ξ имеет плотность распределения

Найти неизвестный коэффициент С, функцию распределения F(х); построить графики функций р(х) и F(х). Вычислить вероятность попадания значения с. в. ξ в промежуток [–1, 1].

Решение. В силу характеристического свойства (4.3) плотности распределения, имеем

1 = р(х)dх = 0dх + С(4–х2)dх + 0dх = С(4–х2)dх = С(4х – = С,

откуда С = 3/32.

Теперь плотность распределения полностью определена:

р(х) =

Для нахождения ф. р. F(х) воспользуемся формулой (4.2).

Если х < –2, то р(х) = 0; следовательно,

F(х) =

Если –2 £ х £ 2, то р(х) = ; следовательно,

F(х) = р(t)dt =0dt +(4 – t2)dt = (4 – t2)dt = (4t – =

Если х > 2, то р(х) = 0; следовательно,

F(х) =р(t)dt = 0dt + (4 – t2)dt + 0dt = 1.

Таким образом, искомая функция F(х) имеет вид

Графики функций р(х) и F(х) изображены на рис. 4.2 и 4.3.

Рис. 4.2. Плотность распределения Рис. 4.3. Функция распределения

Подставляя значения х1 = –1 и х2 = 1 в формулу (4.5), получаем

Р{–1 £ ξ £ 1} = F(1) – F(–1) = 1/2 + 3/8 – 1/32 – (1/2 – 3/8 + 1/32) = 0,75.

На рис. 4.2 заштрихована фигура, площадь которой равна полученной вероятности. ·

Контрольные вопросы

1. Какую случайную величину называют непрерывной?

2. Как задают закон распределения непрерывной случайной величины?

3. Что называют плотностью распределения непрерывной с. в.?

4. Как определяется функция распределения непрерывной с. в.?

5. Сформулируйте характеристические свойства плотности распределения.

6. Чему равна вероятность того, что непрерывная с. в. примет какое-либо определенное значение?

7. Как с помощью плотности распределения px(x) вычислить вероятность того, что с. в. x примет значение из промежутка: а) [a, b]; б) [a, b); в) (a, b]; г) (a, b)?

8. Как на графике плотности распределения px(x) изобразить вероятности п. п. а)–г) предыдущего вопроса?

Контрольные задания

1. Является ли плотностью распределения некоторой случайной величины каждая из следующих функций:

а) б)