Лекция 5-7 (стр. 1 )

Лекция 5-7

Тема 1.3. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ЗАКОНЫ ИХ РАСПРЕДЕЛЕнИЯ

1. Понятие случайной величины и закона ее распределения

Результаты многих случайных испытаний (экспериментов, опытов и т. п.) часто выражаются одним или несколькими числами.

Чтобы подчеркнуть то обстоятельство, что измеряемая по ходу испытания числовая характеристика зависит от его случайного исхода и потому сама является случайной, ее называют случайной величиной. Случайной величиной является, в частности, число очков, выпадающее при бросании игральной кости. Случайна сумма очков, выпавших при бросании двух игральных костей, а также их разность, произведение и т. д. Случайными величинами являются рост, вес, возраст и т. д. наудачу выбранного человека. Большинство количественных показателей, которые используются в экономике (объемы производства, стоимости и т. п.), в демографии (показатели рождаемости, смертности и т. п.) также являются случайными величинами.

Понятие случайной величины является одним из важнейших в теории вероятностей. Как видно из приведенных выше примеров, под случайной величиной понимается переменная, которая в результате испытания принимает только одно значение из возможного множества значений, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые нельзя учесть заранее.

Случайные величины принято обозначать строчными буквами ξ, η, ζ и др. греческого алфавита, либо прописными (заглавными) буквами Х, У, Z и др. латинского алфавита. В дальнейшем будем часто использовать краткую запись «с. в.» вместо слов «случайная величина».

Поскольку теория вероятностей основывается на теории множеств, то с этой точки зрения можно дать следующее определение случайной величины.

Случайной величиной называется числовая функция, заданная на пространстве элементарных исходов W = {ω} случайного испытания.

Рассмотрим несколько примеров формального задания случайных величин, как функций элементарных исходов.

Пример 1.1. Монету бросают дважды. Пространство элементарных исходов имеет вид

W = {ГГ, ГР, РГ, РР}.

Определим случайную величину ξ как функцию ξ = ξ(ω) элементарного исхода при помощи следующей таблицы:

	w	ГГ	ГР	РГ	РР
ξ(ω)	2	1	1	0

Тогда с. в. ξ есть число выпадений герба при двух бросаниях монеты. ·

Во многих задачах весьма затруднительно построить пространство элементарных исходов, на котором определена случайная величина. Поэтому представляет интерес описание случайных величин в терминах значений, которые с. в. принимает, и не зависящее явно от пространства элементарных исходов. Однако только перечня значений с. в. еще недостаточно для ее задания. Необходимо знать также как часто, т. е. с какой вероятностью, она принимает эти значения. Наиболее полным, исчерпывающим описанием случайной величины является ее закон распределения.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями с. в. и соответствующими им вероятностями. Про случайную величину говорят, что она «распределена» по данному закону или «подчинена» этому закону распределения. Закон распределения любой случайной величины может быть задан при помощи ее функции распределения.

Функцией распределения случайной величины x называется функция Fx(x) действительной переменной x, выражающая для каждого значения x вероятность того, что с. в. x примет значение, меньшее x:

Fx(x) = P{x < x}, – ¥ < x < ¥. (1.1)

Если речь идет об одной с. в., то в обозначении функции распределения индекс с. в. опускается, т. е. употребляется просто F(x). Слова «функция распределения» в дальнейшем будем часто заменять на «ф. р.».

Свойства функции распределения

1°. Функция распределения есть функция, заключенная между нулем и единицей:

0£ F(x) £ 1, – ¥ < x < ¥.

2°. Функция распределения является неубывающей функцией:

если х1 < х2, то F(х1) £ F(х2).

3°. Функция распределения непрерывна слева:

F(х0 – 0) = F(х0),

где

4°. Функция распределения удовлетворяет следующим предельным соотношениям:

Теорема 1.1. Пусть случайная величина x имеет функцию распределения F(x).

1. Вероятность того, что с. в. x примет значение x0 равна величине скачка функции F(x) в точке x0:

(1.2)

где

2. Имеют место следующие формулы:

P{xÎ[x1, x2)} = P{x1 £ x < x2} = F(x2) – F(x1); (1.3)

P{xÎ[x1, x2]} = P{x1 £ x £ x2} = F(x2 + 0) – F(x1); (1.4)

P{xÎ(x1, x2)} = P{x1 < x < x2} = F(x2) – F(x1 + 0); (1.5)

P{xÎ(x1, x2]} = P{x1 < x £ x2} = F(x2 + 0) – F(x1 +

На рис. 1.1 проиллюстрированы основные свойства функции распределения.

 

x

Рис. 1.1. Функция распределения F(x) с. в.

Контрольные вопросы

1. Что называют случайной величиной?

2. Определите разницу в понятиях «переменная» и «случайная величина».

3. Что называют законом распределения случайной величины?

4. Как задают закон распределения случайной величины?

5. Как определяется функция распределения случайной величины?

6. Какими свойствами обладает функция распределения с. в.?

7. В чем заключаются необходимость и достаточность свойств ф. р.?

8. Как с помощью функции распределения Fx(x) вычислить вероятность того, что с. в. x примет одно определенное значение?

9. Как с помощью функции распределения Fx(x) вычислить вероятность того, что с. в. x примет некоторое значение из промежутка: а) [a, b); б) [a, b]; в) (a, b); г) (a, b] (a < b)?

Контрольные задания

1. Определите как функцию элементарного исхода случайную величину x – число выпадений герба при четырехкратном бросании монеты.

2. Определите как функцию элементарного исхода случайную величину x – число выпавших очков при одном бросании игральной кости.

3. Является ли функцией распределения некоторой с. в. каждая из следующих функций:

а) F(x) = e x , – ¥ < x < + ¥ ; б)

в) г) ?

4. Покажите, что если функция распределения Fx(x) является непрерывной функцией, то с. в. x принимает любое фиксированное значение с нулевой вероятностью: P{x = x0} = 0 для любого x0ÎR.

5. Случайная величина x задана ф. р.

Найдите вероятность того, что в результате испытания с. в. x примет значение равное: а) – p/2; б) 0; в) p/4; г)p/2.

6. Найдите вероятность того, что в результате испытания с. в. x из задания 5 примет значение из промежутка: а) [–p/4, p/4]; б) (0, p/4); в) [0, p/2); г) [0, p/2]; д) (0, p/2].

2. Дискретные случайные величины

Случайная величина ξ называется дискретной, если множество ее возможных значений представляет собой конечную или бесконечную последовательность чисел х1, х2, …, хn, …. В первом варианте с. в. ξ называется конечной, во втором – счетной.

Закон распределения дискретной с. в. может быть задан рядом распределения, который представляет собой совокупность всех возможных значений с. в. х1 < х2 < … < хn < …. и соответствующих им вероятностей р1, р2, р n,….

Здесь рk = Р{ξ = хk}, k = 1, 2, …, n, …

и

р1 + р2 + … + р n + … = = 1, (2.1)

так как события Аk = {ξ = хk} ( k = 1, 2, …, n, …) образуют полную группу попарно несовместных событий.

Ряд распределения дискретной с. в. может быть задан аналитически в виде формулы, устанавливающей связь между возможными значениями с. в. и соответствующими им вероятностями:

рk = Р{ξ = хk} = ¦ (хk), k = 1, 2, …, n, ….

Часто ряд распределения представляют в виде таблицы, в которой перечислены все возможные значения с. в., упорядоченные по возрастанию, и соответствующие им вероятности:

Т а б л и ц а 2.1

xk	х1	х2	…	хn	…
pk	р1	р2	…	рn	...

Чтобы придать ряду распределения более наглядный вид, зачастую прибегают к его графическому изображению – многоугольнику распределения.

Многоугольником распределения дискретной случайной величины называется ломаная на плоскости (рис. 2.1), соединяющая последовательно точки с координатами (хk, рk), k = 1, 2, …, n, ….

 

Рис. 2.1. Многоугольник распределения

Покажем теперь, как, зная ряд распределения дискретной случайной величины, найти ее функцию распределения F(х). Пусть ξ – конечная дискретная с. в., принимающая значения х1 < х2 < … < хn с вероятностями р1, р2, …, рn соответственно, причем Процесс построения ф. р. F(х) разобьем на ряд этапов.

1) Для всех х £ х1 событие {ξ < х} = Æ и F(х) = Р{ξ < х} = Р(Æ) = 0.

2) Если х1 <х £ х2, то событие {ξ < х} = {ξ = х1} и F(х) = Р{ξ < х} = Р{ξ = х1} = р1.

3) При х2 < х £ х2 событие {ξ < х} = {(ξ = х1) + (ξ = х2)} = {ξ = х1} + {ξ = х2} = А1 + А2.

Поскольку события А1 и А2 несовместны, то F(х) = Р{ξ < х} = Р(А1) + Р(А2) = р1 + р2.

……………………………………………………………………

……………………………………………………………………

n –1) Если хn –1 < х £ хn, то событие {ξ < х} = {(ξ = х1) + (ξ = х2) +…+ (ξ = хn–1)} = А1 + А2 +…+ Аn–1.

Так как события А1, А2, …, Аn–1 попарно несовместны, то

F(х) = Р{ξ < х} = Р(А1) + Р(А2) +…+ Р(Аn–1) = р1 + р2 +…+ рn–1.

n) Наконец, при х > хn событие

{ξ < х} = {(ξ = хk)} = Аk = W и

F(х) = Р{ξ < х} = Р(W) = 1.

Таким образом, функция распределения примет вид:

(2.2)

или кратко F(х) = (2.3)

В формуле (2.3) суммирование ведется по всем индексам k, для которых хk < х. График ф. р. конечной дискретной с. в. представлен на рис. 2.2.

 

Рис. 2.2. Функция распределения дискретной с. в.

В общем случае построение ф. р. осуществляется совершенно аналогично, однако ф. р. F(х), в отличие от конечной с. в., никогда не достигает значения 1. Функция распределения F(х) любой дискретной с. в. является разрывной, ступенчатой функцией (см. рис. 2.2) со скачками в точках, координаты которых равны значениям с. в.; величины скачков равны соответствующим этим значениям вероятностям; между скачками функция F(х) сохраняет постоянное значение.

Рассмотрим несколько примеров дискретных с. в. с их законами распределения.

Пример 2.1. Пусть с. в. ξ – число гербов, η – число решек, выпавших при одном бросании симметричной монеты. Величины ξ и η принимают всего два значения: 0 и 1. Ряды распределений с. в. ξ и η имеют вид:

xk	0	1	,	yk	0	1
pk	1/2	1/2		qk	½	1/2

Следовательно, обе эти с. в. имеют одну и ту же функцию распределения

хотя ясно, что ξ всегда отлична от η, ибо η = 1 – ξ.

Данный пример показывает, что в то время как каждая с. в. однозначно определяет свою ф. р., существует сколько угодно различных с. в., имеющих одну и ту же ф. р. ·

Пример 2.2. На зачете студент получил 4 задачи. Вероятность правильно решить каждую задачу равна 0,7. Найти ряд и функцию распределения, построить многоугольник и график функции распределения с. в. ξ – числа правильно решенных задач.

Решение. С. в. ξ принимает значения 0, 1, …, 4. «Успехом» испытания – решения задачи – назовем ее правильное решение. По условию задачи число испытаний n = 4, вероятность «успеха» р = 0,7. Следовательно, по формуле Бернулли можем вычислить вероятности

рк = Р{ξ = к} = р к q 4 – к, к = 0, 1,…, 4; q = 1– p = 0,3.

Ряд и функция распределения имеют вид

xk	0	1	2	3	4
pk	0,0081	0,0756	0,2646	0,4116	0,2401

На рис. 2.3 и 2.4 представлены многоугольник и график функции распределения с. в. ξ.

 

Рис. 2.3. Многоугольник Рис. 2.4. Функция

распределения распределения ·

Контрольные вопросы

1. Какую случайную величину называют дискретной?

2. Какую дискретную с. в. называют: а) конечной? б) бесконечной?

3. Что называют рядом распределения дискретной с. в.?

4. Как задают ряд распределения дискретной с. в.?

5. Что называют многоугольником распределения?

6. Как определяется функция распределения дискретной с. в.: а) конечной; б) бесконечной?

7. Какой вид имеет график функции распределения дискретной с. в.: а) конечной; б) бесконечной?

8. Каким образом по заданной функции распределения дискретной с. в. находится ее ряд распределения?

Контрольные задания

1. Задают ли законы распределения дискретной случайной величины следующие таблицы?

а)

xk	1	2	3	4
pk	0,1	0,2	0,3	0,4

б)