Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Тобольская государственная социально-педагогическая академия
имени »
Кафедра информационных технологий в образовании
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
дисциплина «Численные методы»
факультет физики и информатики, ОЗО
Специальность «050202.65 – Информатика»
III курс, 6 семестр (3,5)
IV курс 7 семестр (5,5)
2009–2010 учебный год
Составила: ст. преподаватель кафедры ИТО
Тобольск 2009
Требования к зачету контрольной работы:
1. На листах формата А4 должны быть распечатаны: условия задач, формулы, подробное решение задач, листинги и протоколы программ, таблицы, графики, ответы.
2. На внешних носителях информации (ГМД, CD) должны быть представлены файлы, содержащие решения заданий.
Указание по выполнению работы: задания выполняются с помощью табличного процессора Microsoft Excel, языка программирования Pascal, математического процессора MathCad, графической программы Advanced Grapher.
Задание I. Методы решения нелинейных уравнений.
1. Отделите корни уравнения:
а) графическим способом и докажите, что полученные отрезки верны, то есть докажите существование и единственность корня на каждом из полученных отрезков;
б) аналитическим способом с шагом 0,1, составив программу на языке программирования.
2. Уточните корни, найденные в задании 1(а, б), методом половинного деления с точностью до 0, составив программу на языке программирования.
Варианты к заданию 1 и 2:
№ 1 а) (x - 3) ∙ cos(x) = 1 б) 3x4 + 4x3 - 12x2 - 5 = 0
№ 2 а) sin(x +
) – 0,5x = 0 б) 2x3 – 9x2 – 60x + 1 = 0
№ 3 а) (x - 1)2 ∙ lg(x + 11) = 1 б) x4 - x - 1 = 0
№ 4 а) cos(x + 0,5) = x3 б) 2x4 - x= 0
№ 5 а) 5∙sin(x) = x б) 3x4 + 8x3 + 6x= 0
№ 6 а) tg(x) = x + 1,25 б) x4 - 18x2 + 6 = 0
№ 7 а) x2 ∙ cos(2x) = -1 б) x4 + 4x3 - 8x= 0
№ 8 а) x ∙ lg(x + 1) = 1 б) x4 - x3 - 2x2 + 3x - 3 = 0
№ 9 а) x2 – 20∙sin(x + 0,5) = 0 б) 3x4 + 4x3 – 12x2 + 1 = 0
№ 10 а) 2∙lg(x) - 
+ 1 = 0 б) 3x4 - 8x3 - 18x2 + 2 = 0
№ 11 а) (x - 2) ∙ cos(x) = 1 б) 2x4 - 8x3 + 8x2 - 1 = 0
№ 12 а) sin(x - 0,5) - x + 0,5 = 0 б) 2x4 + 8x3 + 8x2 - 1 = 0
№ 13 а) (x - 2)2 ∙ lg(x + 11) = 1 б) x4 - 4x3 - 8x2 + 1 = 0
№ 14 а) cos(x + 0,3) = x2 б) 2x + 5x - 3 = 0
№ 15 а) (x - 1)2 ∙ 2x = 1 б) 5x - 6x - 3 = 0
№ 16 а) tg3(x) = x – 1 б) e-2x - 2x + 1 = 0
№ 17 а) 0,5x - 3 = (x + 2)2 б) arctg(x) +
+ 2 = 0
№ 18 а) 2∙x2 - 0,5x - 2 = 0 б) 3x-1 – 1,5 - x = 0
№ 19 а) x∙log 3 (x + 1) = 2 
б) arctg(x - 1) + 2x = 0
№ 20 а) 2∙sin(x -) = 0,5 - x2 б) 2∙arctg(x) - x + 1 = 0
№ 21 а) [log 2 (x + 2)] ∙ (x - 1) = 1 б) 3x + 2x - 2 = 0
№ 22 а) x2 ∙ 2x = 1 б) 2∙arctg(x) - 3x + 2 = 0
№ 23 а) (x – 3,1)2 ∙ log 0,5 (x - 2) = - 1 б) ex + x + 1 = 0
№ 24 а) cos(x + 0,5) = x3 б) 2∙ex = 5x+1
№ 25 а) [log 2 (-x)] ∙ (x + 2) = - 1 б) arctg(x - 1) + 2x - 3 = 0
№ 26 а) 2∙sin(x +) = 0,5x2 – 1 б) 2x - 3x + 2 = 0
№ 27 а) (x + 2) ∙log 2 (x) = 1 б) arctg(x) + 2x - 1 = 0
№ 28 а) (x - 4)2 ∙ log 0,5 (x - 3) = - 1 б) 3x - 2x - 5 = 0
№ 29 а) [(x - ] ∙ 2x = 1 б) 2∙ex - 2x - 3 = 0
№ 30 а) 0,5x + 1 = (x - 2)2 б) arctg(x - 1) + 3x - 1 = 0.
3. Отделите корни уравнения графически и уточните один из них методом хорд с точностью до 0,000001 с использованием табличного процессора Excel.
№ 1 № 2 № 3
x – sin(x) = 0,25 tg(0,58x + 0,1) = x2 
№ 4 № 5 № 6
tg(0,4x + 0,4) = x2 
tg(0,5x + 0,2) = x2
№ 7 № 8 № 9
3x – cos(x) - 1 = 0 x + lg(x) = 0,5 tg(0,5x + 0,1) = x2
№ 10 № 11 № 12
x2 + 4∙sin(x) + 1 = 0 ctg(1,05x) - x2 = 0 tg(0,4x + 0,3) = x2
№ 13 № 14 № 15
x ∙ lg(x) - 1,2 = 0 1,8x2 – sin(10x) = 0 
№ 16 № 17 № 18
tg(0,3x + 0,4) = x2 x2 – 20∙sin(x + 0,1) = 0 
№ 19 № 20 № 21
tg(0,47x + 0,2) = x2 x2 + 4∙sin(x – 0,4) = 0 
№ 22 № 23 № 24
2x – lg(x) - 7 = 0 tg(0,44x + 0,3) = x2 3x – cos(x) - 1 = 0
№ 25 № 26 № 27
(x + 1)2 + 4∙sin(x) = 0 tg(0,36x + 0,4) = x2
№ 28 № 29 № 30
x + lg(x) = 0,5 
4. Отделите корни уравнения аналитически и уточните один из них методом касательных с точностью до 0,000001 с использованием табличного процессора Excel.
№ 1 № 2 № 3
x3 - 3x2 + 9x - 8 = 0 x3 - 6x - 8 = 0 x3 - 3x2 + 6x + 3 = 0
№ 4 № 5 № 6
x3 - 0,1x2 + 0,4x - 1,5 = 0 x3 - 3x2 + 9x + 2 = 0 x3 + x - 5 = 0
№ 7 № 8 № 9
x3 + 0,2x2 + 0,5x - 1,2 = 0 x3 + 3x + 1 = 0 x3 + 0,2x2 + 0,5x - 2 = 0
№ 10 № 11 № 12
x3 - 3x2 + 12x - 9 = 0 x3 - 0,2x2 + 0,3x - 1,2 = 0 x3 - 3x2 + 6x - 2 = 0
№ 13 № 14 № 15
x3 - 0,1x2 + 0,4x - 1,5 = 0 x3 + 3x2 + 6x - 1 = 0 x3 + 0,1x2 + 0,4x - 1,2 = 0
№ 16 № 17 № 18
x3 + 4x - 6 = 0 x3 + 0,2x2 + 0,5x + 0,8 = 0 x3 - 3x2 + 12x - 12 = 0
№ 19 № 20 № 21
x3 - 0,2x2 + 0,3x + 1,2 = 0 x3 - 2x + 4 = 0 x3 - 0,2x2 + 0,5x - 1,4 = 0
№ 22 № 23 № 24
x3 - 3x2 + 6x - 5 = 0 x3 - 0,1x2 + 0,4x +1,2 = 0 x3 - 0,2x2 + 0,5x - 1 = 0
№ 25 № 26 № 27
x3 + 3x2 + 12x + 3 = 0 x3 - 0,1x2 + 0,4x + 2 = 0 x3 - 0,2x2 + 0,4x - 1,4 = 0
№ 28 № 29 № 30
x3 + 0,4x2 + 0,6x - 1,6 = 0 x3 + x - 3 = 0 x3 - 0,2x2 + 0,5x + 1,4 = 0
5. Отделите корни уравнения графически и уточните один из них методом итераций с точностью до 0,000001 с использованием табличного процессора Excel.
№ 1 № 2 № 3
lg(x) + (x + 1)3 = 0 x ∙ 2x = 1 
№ 4 № 5 № 6
x – cos(x) = 0 3x + cos(x) + 1 = 0 x + lg(x) = 0,5
№ 7 № 8 № 9
2 - x = ln(x) 
(2 - x) ∙ ex = 0
№ 10 № 11 № 12
2,2x - 2x = 0 x2 + 4∙sin(x – 0,1) = 0 2x – lg(x) = 7
№ 13 № 14 № 15
5x - 8∙ln(x) = 8 3x - ex = 0 x ∙ (x + 1)2 = 1
№ 16 № 17 № 18
x = (x + 1)3 x2 – 0,5 = sin(x) x3 = sin(x + 0,3)
№ 19 № 20 № 21
x2 = ln(x + 1) 2x + lg(x) = - 0,5
№ 22 № 23 № 24
2x + cos(x) = 0,5 sin(0,5x) + 1 = x2 0,5x + lg(x - 1) = 0,5
№ 25 № 26 № 27
sin(0,5 + x) = 2x - 0,5 lg(2 + x) + 2x = 3 lg(1 + 2x) = 2 - x
№ 28 № 29 № 30
2∙sin(x - 0,6) = 1,5 - x x + lg(1 + x) = 1,5 x + cos(x) = 1.
Задания II. Вычисление определенного интеграла.
1. Вычислите определенный интеграл:
а) по формуле трапеций с тремя десятичными знаками, составив программу на языке программирования;
б) по формуле Симпсона при n = 8, составив программу на языке программирования; оцените погрешность результата, используя формулу строгой оценки. Сравните полученные результаты.
№1 
№2 
№3 
№4 
№5 
№6 
№7 
№8 
№9 
№10 
№11 
№12 
№13 
№14 
№15 
№16 
№17 
№18 
№19 
№20 
№21 
№22 
№23 
№24 
№25 
№26 
№27 
№28 
№29 
№30 
2. Вычислите определенный интеграл по формулам прямоугольников, составив программу на языке программирования:
а) по формулам левых и правых прямоугольников при n = 10, оцените погрешность вычисления, используя формулу строгой оценки погрешности;
б) по формуле средних прямоугольников, применяя для оценки точности двойной пересчет при n1 = 10 и n2 = 20. Сравните полученные результаты.
№1 
№2 
№3 
№4
№5 
№6 
№7 
№8 
№9 
№10
№11 
№12 
№13 
№14 
№15 
№16 
№17 
№18 
№19 
№20 
№21 
№22 
№23 
№24 
№25 
№26
№27 
№28
№29 
№30 
3. С использованием табличного процессора Excel вычислите определенный интеграл по формуле Гаусса, применяя для оценки точности формулу строгой оценки погрешности.
№1 
№2 
№3 
№4 
№5 
№6 
№7 
№8 
№9 
№10 
№11 
№12 
№13 
№14 
№15 
№16 
№17 
№18 
№19 
№20 
№21 
№22 
№23 
№24 
№25 
№26 
№27 
№28 
№29 
№30 
