Устойчивость и управление движением (стр. 3 )

Тема 1. Устойчивость. Основные положения теории устойчивости Ляпунова нелинейных систем. Функции Ляпунова. Теоремы прямого метода об устойчивости и неустойчивости. Теорема об устойчивости по первому приближению. Критерий Рауса-Гурвица. Запас устойчивости.

Тема 2. Линейные управляемые динамические системы. Структурная схема линейной управляемой динамической системы. Понятие о входах и выходах. Представление линейных управляемых систем в пространстве состояний. Преобразование Лапласа. Представление управляемой системы в виде передаточной функции. Понятия внутренней устойчивости и устойчивости по характеристике «вход-выход». Задача стабилизации линейной системы посредством обратной связи. Передаточные функции разомкнутой и замкнутой системы. Условия устойчивости разомкнутой и замкнутой систем.

Тема 3. Управляемые системы в дискретном времени. Управляемые системы в дискретном времени. Дискретное преобразование Лапласа. Представления в пространстве состояний и в виде передаточной функции. Условия устойчивости. Критерий Рауса-Гурвица для систем в дискретном времени.

Тема 4. Управляемость. Простейший пример, демонстрирующий конструктивность понятий управляемости и наблюдаемости. Управляемость. Критерий управляемости. Стабилизация вполне управляемой системы с известным вектором состояния при помощи линейной обратной связи.

Тема 5. Наблюдаемость. Наблюдаемость. Критерий наблюдаемости. Построение асимптотически устойчивого алгоритма оценивания для вполне наблюдаемой системы.

Тема 6. Стабилизация. Стабилизация вполне управляемой и вполне наблюдаемой динамической системы при помощи управления по оценке. Эквивалентная стабилизация, использующая аппарат передаточных функций.

Тема 7. Декомпозиция динамических систем. Декомпозиция динамических систем по управлению и наблюдению. Общая структура таких систем с точки зрения управляемости и наблюдаемости.

Тема 8. Метод наименьших квадратов. Метод наименьших квадратов. Его вероятностная интерпретация. Оценивание вектора состояния по критерию минимума дисперсии ошибки при помощи измерения другого вектора, корреляционно связанного с вектором состояния.

Тема 9. Фильтр Калмана. Динамическая система в дискретном времени со случайными возмущениями. Дискретный фильтр Калмана. Связь оценки по Калману с оценкой по методу наименьших квадратов.

Тема 10. Принцип максимума Понтрягина. Иерархия уровней управления движением. Структура двухуровневого управления механическими системами. Оптимизация прихода на многообразие. Понятие сильного и слабого минимума. Принцип максимума Понтрягина (ПМП) в задаче прихода на многообразие. Программные траектории и программные управления.

Тема 11. Задача Больца. Приращение функционала в задаче с фиксированным временем и свободным концом траектории. Классическая вариация и необходимое условие слабого локального минимума. Связь с вариационным исчислением. Задача Больца

Тема 12. Задача быстродействия. Синтез управления. Игольчатая вариация и необходимое условие сильного локального минимума. ПМП в задаче быстродействия. Достаточность ПМП для управляемой линейной системы. Синтез управления.

Тема 13. Динамическое программирование. Достаточные условия оптимальности. Метод динамического программирования. Уравнение Беллмана. Задача оптимальной стабилизации линейной системы с квадратичным критерием.

Тема 14. Динамическая система с двумя уровнями управления. Полная математическая модель динамической системы с 2-мя уровнями управления. Численная реализация уровней управления.

6. Планы практических занятий

Тема 1. Устойчивость (1 час):

1) функции Ляпунова;

2) устойчивость по первому приближению;

3) критерий Рауса-Гурвица.

Тема 2. Линейные управляемые динамические системы (2 часа):

1) преобразование Лапласа;

2) представление управляемой системы в виде передаточной функции;

3) задача стабилизации линейной системы посредством обратной связи;

4) передаточные функции разомкнутой и замкнутой системы.

Тема 3. Управляемые системы в дискретном времени (1 час):

1) дискретное преобразование Лапласа;

2) представления в пространстве состояний и в виде передаточной функции;

3) критерий Рауса-Гурвица для систем в дискретном времени.

Тема 4. Управляемость (1 час):

1) критерий управляемости;

2) стабилизация вполне управляемой системы с известным вектором состояния при помощи линейной обратной связи.

Тема 5. Наблюдаемость (1 час):

1) критерий наблюдаемости;

2) построение асимптотически устойчивого алгоритма оценивания для вполне наблюдаемой системы.

Тема 6. Стабилизация (1 час):

1) стабилизация динамической системы при помощи управления по оценке;

2) стабилизация, использующая аппарат передаточных функций.

Тема 7. Декомпозиция динамических систем (1 час):

1) декомпозиция динамических систем по управлению;

2) декомпозиция динамических систем по наблюдению.

Тема 8. Метод наименьших квадратов (1 час)

1) метод наименьших квадратов;

2) оценивание вектора состояния по критерию минимума дисперсии ошибки.

Тема 9. Фильтр Калмана (2 часа):

1) динамическая система в дискретном времени со случайными возмущениями;

2) дискретный фильтр Калмана.

Тема 10. Принцип максимума Понтрягина (2 часа):

1) сильный и слабый минимум;

2) принцип максимума Понтрягина;

3) программные траектории и программные управления.

Тема 11. Задача Больца (1 час):

1) приращение функционала в задаче с фиксированным временем и свободным концом траектории;

2) связь с вариационным исчислением;

3) задача Больца.

Тема 12. Задача быстродействия. Синтез управления (1 час):

1) принцип максимума Понтрягина в задаче быстродействия;

2) синтез управления.

Тема 13. Динамическое программирование (1 час):

1) метод динамического программирования;

2) уравнение Беллмана;

3) задача оптимальной стабилизации линейной системы с квадратичным критерием.

Тема 14. Динамическая система с двумя уровнями управления (2 часа):

1) полная математическая модель динамической системы с двумя уровнями управления;

2) численная реализация уровней управления.

7. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины (модуля)

7.1. Примерные задания для контрольной работы

1. Нелинейные уравнения динамики однозвенного манипулятора с упругими шарнирами имеют вид

где – угловые положения, – моменты инерции, – константа, характеризующая упругость шарнира, – масса манипулятора, – расстояние между шарнирами и – управляющий момент. Выберите переменные состояния и выпишите соответствующую модель состояния.

2. Рассмотреть систему

где управляющее воздействие может принимать значения . Построить фазовый портрет системы при . Построить фазовый портрет системы при . Сравнивая эти два фазовых портрета, разработать стратегию переключения управления между значениями так, чтобы кажда\ точка пространства состояния могла быть перемещена в начало координат за конечное время.

3. Для системы

выполнить исследование свойств устойчивости по входу состоянию.

4. С использованием кругового критерия исследуйте вопрос об абсолютной устойчивости систем с передаточной функцией

Определите сектор, в котором система является абсолютно устойчивой.

5. Рассмотреть систему

где и . Используя метод построения закона управления в скользящем режиме, найдите непрерывный закон управления с обратной связью по состоянию, обеспечивающий стабилизацию начала координат.

7.2. Примерные вопросы для подготовки к зачету

1. Основные положения теории устойчивости Ляпунова нелинейных систем.

2. Функции Ляпунова.

3. Теоремы прямого метода об устойчивости и неустойчивости.

4. Теорема об устойчивости по первому приближению.

5. Критерий Рауса-Гурвица.

6. Структурная схема линейной управляемой динамической системы.

7. Понятие о входах и выходах. Представление линейных управляемых систем в пространстве состояний.

8. Преобразование Лапласа.

9. Представление управляемой системы в виде передаточной функции.

10. Понятия внутренней устойчивости и устойчивости по характеристике «вход-выход».

11. Задача стабилизации линейной системы посредством обратной связи.

12. Передаточные функции разомкнутой и замкнутой системы. Условия устойчивости разомкнутой и замкнутой систем.

13. Управляемые системы в дискретном времени.

14. Дискретное преобразование Лапласа. Представления в пространстве состояний и в виде передаточной функции.

15. Условия устойчивости. Критерий Рауса-Гурвица для систем в дискретном времени.

16. Управляемость. Критерий управляемости.

17. Стабилизация вполне управляемой системы с известным вектором состояния при помощи линейной обратной связи.

18. Наблюдаемость. Критерий наблюдаемости.

19. Построение асимптотически устойчивого алгоритма оценивания для вполне наблюдаемой системы.

20. Стабилизация. Стабилизация вполне управляемой и вполне наблюдаемой динамической системы при помощи управления по оценке. Эквивалентная стабилизация, использующая аппарат передаточных функций.

21. Декомпозиция динамических систем по управлению и наблюдению.

22. Метод наименьших квадратов. Его вероятностная интерпретация.

23. Динамическая система в дискретном времени со случайными возмущениями.

24. Дискретный фильтр Калмана. Связь оценки по Калману с оценкой по методу наименьших квадратов.

25. Структура двухуровневого управления механическими системами.

26. Принцип максимума Понтрягина в задаче прихода на многообразие.

27. Программные траектории и программные управления.

28. Приращение функционала в задаче с фиксированным временем и свободным концом траектории.

29. Классическая вариация и необходимое условие слабого локального минимума.

30. Задача Больца

31. Синтез управления. Игольчатая вариация и необходимое условие сильного локального минимума.

32. Принцип максимума Понтрягина в задаче быстродействия.

33. Достаточность принципа максимума Понтрягина для управляемой линейной системы. Синтез управления.

34. Метод динамического программирования.

35. Уравнение Беллмана.

36. Задача оптимальной стабилизации линейной системы с квадратичным критерием.

37. Полная математическая модель динамической системы с 2-мя уровнями управления. Численная реализация уровней управления.

8. Образовательные технологии

При изучении дисциплины «Устойчивость и управление движением» используются следующие образовательные технологии:

– аудиторные занятия (лекционные и практические занятия);

– внеаудиторные занятия (самостоятельная работа, индивидуальные консультации).

В соответствии с требованиями ФГОС при реализации различных видов учебной работы в процессе изучения дисциплины «Устойчивость и управление движением» предусматривается использование в учебном процессе следующих активных и интерактивных форм проведения занятий:

– практические занятия в диалоговом режиме;

– компьютерное моделирование и практический анализ результатов;

– научные дискуссии;

– работа в малых группах по темам, изучаемым на практических занятиях.

9. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля)

9.1. Основная литература

1. Лекции по теории управления. – М.: Изд-во ЛКИ. Т. 1 : Автоматическое регулированиес.

2. Неймарк системы и управляемые процессы. 2-е изд. – М. : Изд-во ЛКИ, 20с.

3. Неймарк, точечных отображений в теории нелинейных колебаний. - 2-е изд. – М. : Изд-во ЛКИ, 20с.

9.2. Дополнительная литература

1. Зубов по теории управления. СПб.: Лань, 2009. – 496 с.

2. , , Парусников в динамику управляемых систем. М.: Изд-во мех-мат. ф-та МГУ, 1993. – 189 с.

3. , , Носов теория конструирования систем управления. М.: Высш. шк., 2003. – 615 с.

4. Болтянский методы оптимального управления. М.: Наука, 1969 – 408 с.

5. , , и др. Оптимальное управление. М.: МЦНМО, 2008. – 320 с.

6. Егоров дифференциальные уравнения с приложениями. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. – 384 с.

7. Егоров теории управления. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. – 504 с.

8. Демидович по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. – 472 с.

9. Основы физики. Курс общ. физики в 2-х т. Том 1. Механика, электричество и магнетизм, колебания и волны, волновая оптика/ , (под ред.). Учебник для вузов. М.:ФИЗМАТЛИТ, 2007.

10. С, , Ольхов физики. Курс общей физики: Учебн. В 2 т. Т.1. Механика, электричество и магнетизм, колебания и волны, волновая оптика / Под ред. . – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007.

11. , , Кувыркин исчисление и оптимальное управление. М.: Изд-во МГТУ им. , 2006. – 488 с.

12. Мухин теории управления. М.: Экзамен, 2003. – 256 с.

13. , Щербаков устойчивость и управление - М.: Наука. 2002. – 303 с.

14. Ройтенберг управление. М.: Наука, 1992. – 576 с.

15. Халил системы. М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2009. – 832 с.

10. Программное обеспечение и Интернет – ресурсы

Интернет – ресурсы:

1. Электронная библиотека Попечительского совета механико-математического факультета Московского государственного университета http://lib. *****

2. eLIBRARY – Научная электронная библиотека (Москва) http://*****

Для работы на практических занятиях необходимы пакеты Maple и Matlab.

11. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля)

Лекционная аудитория с мультимедийным оборудованием, компьютерный класс для практических занятий.

ПРИЛОЖЕНИЕ

КАРТА КОМПЕТЕНЦИЙ ДИСЦИПЛИНЫ «УСТОЙЧИВОСТЬ И УПРАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЕМ»

НАПРАВЛЕНИЕ 010100.68 – МАТЕМАТИКА

профили подготовки: «Математическое моделирование».

код	Формулировка компетенции	Результат обучения в целом	Результаты обучения по уровням освоения материала	Виды занятий	Оценочные средства
минимальный	базовый	повышенный
ОК-6	способностью работать самостоятельно, заботой о качестве, стремлением к успеху	Знает: основные направления исследований в области устойчивости и управления движением	основные направления исследований в области устойчивости и управления движением	практические примеры применения методов исследования теории устойчивости и управления движением (дополнительно к минимальному уровню)	возможные сферы приложения методов исследования теории устойчивости и управления движением в самостоятельной профессиональной деятельности (дополнительно к минимальному и базовому уровням)	Лекции, практические занятия	Контрольная работа, зачет
Умеет: применять основные прикладные методы при решении стандартных задач	применять типовые алгоритмы при решении простейших задач	применять основные прикладные методы при решении стандартных задач (дополнительно к минимальному уровню)	выбирать методы решения задач, представлять и интерпретировать полученные результаты (дополнительно к минимальному и базовому уровням)	Лекции, практические занятия	Контрольная работа, зачет
Владеет: приемами и методами построения и исследования математических моделей	типовыми алгоритмами решения простейших задач	приемами и методами решения стандартных задач (дополнительно к минимальному уровню)	приемами и методами построения и исследования математических моделей (дополнительно к минимальному и базовому уровням)	Лекции, практические занятия	Контрольная работа, зачет
ПК-4	самостоятельный анализ физических аспектов в классических постановках математических задач	Знает : простейшие модели, методы и приемы их исследования	основные понятия и определения теории устойчивости и управления движением	простейшие модели, методы и приемы их исследования (дополнительно к минимальному уровню)	основные модели; формулировки важнейших утверждений, методы их доказательства, возможные сферы их приложения (дополнительно к минимальному и базовому уровням)	Лекции, практические занятия	Контрольная работа, зачет
Умеет: интерпретировать результаты исследования простейших задач	пользоваться основными определениями и понятиями	интерпретировать результаты исследования простейших задач (дополнительно к минимальному уровню)	самостоятельно проанализировать и объяснить характер поведения систем с применением важнейших теорем и их следствий (дополнительно к минимальному и базовому уровням)	Лекции, практические занятия	Контрольная работа, зачет
Владеет: навыками анализа и объяснения характера поведения систем с применением важнейших теорем и их следствий	навыками использования определений и понятий	навыками интерпретации результатов исследования простейших задач (дополнительно к минимальному уровню)	навыками анализа и объяснения характера поведения систем с применением важнейших теорем и их следствий (дополнительно к минимальному и базовому уровням)	Лекции, практические занятия	Контрольная работа, зачет
ПК -7	умение ориентироваться в современных алгоритмах компьютерной математики, совершенствовать, углублять и развивать математическую теорию, лежащую в их основе	Знает : типовые алгоритмы исследования задач устойчивости и управления движением с помощью систем компьютерной математики	о возможности применения компьютерной математики при исследовании задач теории устойчивости и управления движением	типовые алгоритмы исследования задач устойчивости и управления движением с помощью систем компьютерной математики (дополнительно к минимальному уровню)	математическую теорию, лежащую в основе алгоритмов аналитического и численного исследования задач устойчивости и управления движением с помощью систем компьютерной математики (дополнительно к минимальному и базовому уровням)	Лекции, практические занятия	Контрольная работа, зачет
Умеет: пользоваться при аналитическом и численном исследовании систем с помощью современных систем компьютерной математики	применять системы компьютерной математики при решении простейших задач	пользоваться при аналитическом и численном исследовании систем с помощью современных систем компьютерной математики (дополнительно к минимальному уровню)	самостоятельно разрабатывать алгоритмы аналитического и численного исследования систем с помощью современных систем компьютерной математики (дополнительно к минимальному и базовому уровням)	Лекции, практические занятия	Контрольная работа, зачет
Владеет: методами и приемами построения алгоритмов аналитического и численного исследования задач теории устойчивости и управления движением с помощью современных систем компьютерной математики	навыками применения систем компьютерной математики при решении простейших задач	навыками использования возможностей современных систем компьютерной математики для аналитического и численного исследования задач теории устойчивости и управления движением (дополнительно к минимальному уровню)	методами и приемами построения алгоритмов аналитического и численного исследования задач теории устойчивости и управления движением с помощью современных систем компьютерной математики (дополнительно к минимальному и базовому уровням)	Лекции, практические занятия	Контрольная работа, зачет