ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ЭКЗАМЕНА В АСПИРАНТУРУ ПО
СПЕЦИАЛЬНОСТИ 01.01.01 – вещественный, комплексный и
функциональный анализ
1. Аксиоматика вещественных чисел.
2. Числовая последовательность. Критерий Коши сходимости последовательности.
3. Непрерывность функций одной и нескольких переменных в точке и на множестве.
Определения и примеры. Теорема Вейерштрасса об ограниченности функции,
непрерывной на ограниченном замкнутом множестве.
4. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Связь дифференцируемости с
существованием частных производных.
5. Формула Тейлора для функций одной и нескольких переменных.
6. Интеграл Римана. Свойства интеграла.
7. Числовые ряды. Признаки сходимости.
8. Функциональные последовательности. Равномерная сходимость. Теорема о
непрерывности предела функциональной последовательности.
9. Функциональные ряды. Определение и признаки равномерной сходимости.
10. Теорема о непрерывности суммы функционального ряда.
11. Ряды Фурье и их сходимость.
12. Кратные и криволинейные интегралы. Формула Грина и формула Стокса.
13. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса.
14. Определители и их свойства.
15. Алгебраические структуры: группы, кольца, алгебры, поля. Определения и примеры.
16. Кольцо многочленов. Разложение многочленов на неприводимые множители над полями комплексных и действительных чисел.
17. Линейные пространства. Базис и размерность. Примеры.
18. Линейные операторы и их матрицы. Преобразование матрицы оператора при замене
базиса.
19. Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования (матрицы).
Приведение матрицы к жордановой нормальной форме.
20. Билинейные и квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к
каноническому виду.
21. Евклидовы пространства. Процесс ортогонализации Грамма-Шмидта.
22. Топологические пространства. Определение и примеры. Слабая топология.
23. Дифференцируемые многообразия. Определение и примеры.
24. Теорема Коши существования и единственности решения обыкновенного
дифференциального уравнения.
25. Линейные системы дифференциальных уравнений 1-го порядка и линейные уравнения
высших порядков.
26. Устойчивость положения равновесия системы дифференциальных уравнений.
27. Измеримые множества и их свойства. Аддитивность меры.
28. Интеграл Лебега. Теоремы о предельном переходе под знаком интеграла.
29. Норма линейного оператора. Определение, свойства, примеры.
30. Принцип сжимающих отображений. Применение к доказательству существования
решения дифференциального уравнения.
31. Интегральные уравнения Фредгольма.
32. Уравнения в частных производных: волновое уравнение, уравнение теплопроводности,
уравнение Лапласа.
33. Задача Коши для уравнений в частных производных. Понятие фундаментального
решения для уравнения в частных производных.
34. Пространства обобщенных функций.
35. Определение голоморфной функции. Условия Коши-Римана.
36. Аналитичность голоморфных функций. Разложение голоморфных функций в ряды
Тейлора.
37. Интегральная теорема Коши. Интегральная формула Коши.
38. Ряд Лорана. Особые точки голоморфной функции.
39. Вычеты. Вычисление вычетов.
40. Случайные величины и их характеристики.
41. Предельные теоремы теории вероятностей.
42. Логика высказываний, ее полнота и непротиворечивость. Дизъюнктивно-нормальные
и конъюнктивно-нормальные формы.
43. Прямые на плоскости и в пространстве. Различные уравнения.
44. Кривые и поверхности второго порядка.
Список литературы
1. Кудрявцев анализ. Т. 1-2.
2. , Фомин теории функций и функционального анализа.
3. Привалов в теорию функций комплексного переменного.
4. Понтрягин дифференциальные уравнения.
5. Кострикин в алгебру.
6. Постников по геометрии. Семестры 1-2.
7. Владимиров математической физики.
8. Введение в математическую логику.
9. Колмогоров понятия теории вероятностей.
Дополнительная литература.
Фихтенгольц математического анализа. Т.1-3. Шабат в комплексный анализ. Т.1. Смирнов высшей математики. Т.Составитель д. ф.-м. н
