Функция. Просто, сложно, интересно (стр. 6 )

Исходя из этих данных, можно построить график функции (см. рис. 98).

Возьмем дополнительные точки:

х			1	2	4
у			2

Вторая ветвь графика получается с помощью симметрией относительно начала координат, в силу нечетности функции.

Очевидно, что график дает возможность добавить некоторые свойства функции.

Определение. Точка из области определения функции f называется точкой максимума этой функции, если существует такая окрестность точки , что для всех из этой окрестности .

Рис. 98

Окрестностью точки называется отрезок , где а – некоторое маленькое пложительное число.

О п р е д е л е н и е. Точка x0 из области определения функции f называется точкой минимума этой функции, если существует такая окрестность точки x0, что для всех х ¹ x0 из этой окрестности f(x) > f(x0).

Заметим, что точки и полностью удовлетворяют этим определениям. Пусть , тогда окрестность точки 1 – отрезок ; для всех точек этого отрезка , значит – точка минимума. Аналогично, – точка максимума функции.

Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках – экстремумами функции.

Заметим, что при график приближается к оси ординат, а при и график приближается к прямой у = х.

Эти прямые называются асимптотами графика функции.

О п р е д е л е н и е. Асимптотой называется прямая линия, к которой неограниченно приближается график функции по мере удаления его от начала координат в бесконечность.

П р и м е р 2. Построить график функции .

Исследуем функцию по схеме.

1) .

Точки и – точки разрыва.

2) Ввиду несимметричности области определения функция не может быть ни четной, ни нечетной.

3) найти довольно трудно. Пусть b – некоторое значение функции. Найдем, для каких b функция существует.

для любого b.

Значит, .

4) при .

Для определения промежутков знакопостоянства решим неравенство ; получим, что при и и соответственно при и .

5) Рассмотрим

на каждом из интервалов ; ; . Эта разность положительна при . Значит, функция возрастает на каждом интервале.

6) При , при слева , справа , при аналогично. Исходя из полученного исследования, построим график (см. рис. 99). Добавим, глядя на график, что прямые и являются вертикальными асимптотами графика функции.

Рис. 99

Эта функция не имеет экстремумов.

З а д а н и я д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я.

З а д а н и е 1. В результате исследования некоторой функции выяснилось, что:

1) D(f):(–¥; +¥);

2) f – четная, непрерывная функция;

3) ;

4) , при ;

5) функция f возрастает на ;

6) при x > + ∞ .

Изобразите схематически график функции (см. рис. 100).

Рис. 100

З а д а н и е 2. Проведите исследование и постройте график функции:

а) ; в) ;

б) ; г) .

О т в е т:

а) 1) ;

2) четная;

3) ;

4) для любых х;

5) убывает на промежутке [0; +¥), возрастает на промежутке

(–¥; 0];

6) при (рис. 101)

Рис. 101

б) 1) ;

2) четная;

3) ;

4) нулей нет, всегда;

5) убывает на промежутке (–¥; 0], возрастает на промежутке

[0; +¥);

6) при (см. рис. 102).

Рис. 102

в) 1) D(f) = [–4; 4];

2) четная;

3) E(f) = [0; 4];

4) у = 0 при х = ± 4;

5) убывает при хÎ[0; 4], возрастает при хÎ[–4; 0];

6) при х = 0 у = 4 – наибольшее значение (рис. 103).

г) 1) ;

2) четная;

3) ;

4) при ;

5) на промежутке [4; +¥) f возрастает, на промежутке (–¥; –4]

f убывает.

6) при f(x) ® + ¥ (см. рис. 104).

Рис. 103 Рис. 104

З а д а н и е 1. Постройте график функции и по графику исследуйте функцию:

а)

б)

О т в е т:

а) См рис. 105.

1) ;

2) у – ни четная, ни нечетная;

3) , у ограничена сверху; наибольшее значение 3;

4) у = 0 при , х = –1, , , ;

при ;

при ;

5) у возрастает при ;

у убывает при ;

6) точки минимума: , , , ;

минимумы: ;

точки максимума: , х = 0, х = 2, х = 4;

максимумы: , , , .

Рис. 105

б) См. рис. 106;

1) ;

2) у – четная.

3) , ограничена снизу, наименьшее значение у = 0;

4) , при , , ;

5) у возрастает при ;

у убывает при ;

6) точки минимума: , , ; минимум: у = 0;

точки максимума: , ; максимум: у = 1.

Рис. 106

Занятие 9
Функционально-графический метод
решения уравнений

Цели: закрепить знания и умения по исследованию функций и построению графиков в практической ситуации при решении уравнений.

Х о д з а н я т и я

Ребята должны понять, что исследование функций и построение графиков порой существенно облегчает решение уравнений, позволяет определить число корней, угадать значения корня.

У ч и т е л ь. Для того чтобы решить уравнение с одним неизвестным графическим способом, нужно, перенося все его члены в левую часть, представить это уравнение в виде . После этого необходимо построить график функции . Абсциссы точек пересечения или касания этого графика с осью х равны корням исходного уравнения. Если таких точек нет, то уравнение не имеет решений.

В ряде случаев при решении уравнений с одним неизвестным целесообразней воспользоваться другим способом. Для этого уравнения записывается в виде и заменяется системой решаемой графически. Абсциссы точек пересечения или касания графиков f1(x) и f2(x) равны корням исходного уравнения.

В некоторых случаях построение графиков функций можно заменить опорой на какие-либо свойства функций.

Если, например, одна из функций , возрастает, а другая убывает, то уравнение либо не имеет корней, либо имеет один корень, который иногда можно угадать. Или другая разновидность функционально-графического метода: если на промежутке Х наибольшее значение одной из функций , равно А и наименьшее значение другой функции тоже равно А, то уравнение равносильно системе .

П р и м е р 1. Решить уравнение .

Изобразим в одной системе координат (см. рис. 107) графики функций и .

Графики пересеклись в точке (–1; 2). Следовательно, корень данного уравнения .

Рис. 107

П р и м е р 2. Решить уравнение .

Перепишем уравнение в виде . Очевидно, что является корнем данного уравнения. А в силу того, что возрастает на R, а убывает на R, других корней нет.

П р и м е р 3. Решить уравнение .

Наименьшее значение функции равно 0, наибольшее значение функции также равно 0.

Значит, уравнение равносильно системе

Отсюда – корень уравнения.

П р и м е р 4. (ЕГЭ).

Нечетная функция определена на всей числовой прямой. Для всякого неположительного значения переменной х значение этой функции совпадает со значением функции . Сколько корней имеет уравнение ?

Р е ш е н и е.

Ясно, что при , , , .

В силу нечетности будет равна 0 в точках , и , так как ее график симметричен относительно начала координат. То есть уравнение имеет 3 корня.

З а д а н и я д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я.

З а д а н и е 1. Решите уравнение:

а) ; б) .

О т в е т: а) х = 1 – подбором, слева возрастающая функция, справа – убывающая, значит, других корней нет; б) , слева – функция возрастающая на , справа – постоянная, других корней нет.

З а д а н и е 2. Решите уравнение:

а) ; б) .

О т в е т: а) , , (см. рис. 108); б) , (см. рис. 109).