Методы приближения и аппроксимации функций (стр. 3 )

4. Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами.

Дисциплина изучается в шестом семестр. Знания, приобретенные студентами в результате изучения дисциплины, будут использоваться при выполнении курсовых и выпускных квалификационных работ, связанных с математическим моделированием и обработкой наборов данных, решением конкретных задач из механики, физики и т. п. Все темы будут востребованы при изучении современных численных методов решения задач алгебры и анализа.

5. Содержание дисциплины.

Тема 1. Методы приближения функции одной переменной

1. Постановка задачи о приближении функций. Многочленная интерполяция. Построение интерполяционного многочлена с помощью системы линейных уравнений. Интерполяционные формулы Ньютона. Оценка погрешности.

2. Определители Вандермонда. Интерполяционные полиномы Лагранжа. Интерполирование с кратными узлами. Формула Эрмита. Оценки погрешности в интерполяционной формуле Лагранжа. Остаточный член в форме Коши.

3. Конечные разности и факториальные полиномы. Бесконечные интерполяционные процессы и их сходимость. Примеры расходящихся интерполяционных процессов.

Тема 2. Кусочно-многочленная аппроксимация

4. Преимущества кусочно-многочленной аппроксимации. Кусочно-линейная интерполяция.

5. Кусочно-линейная аппроксимация методом наименьших квадратов. Постановка задачи. Вычисление матрицы системы задачи линейной интерполяции. Свойства приближающей функции. Вычисление правой части системы задачи линейной интерполяции.

Тема 3. Многочлены Чебышева

6. Разложение по многочленам Чебышева. Постановка задачи линейной интерполяции. Алгоритм построения разложения. Связь разложения по многочленам Чебышева и интерполяции.

7. Аппроксимация многочленами Чебышева методом наименьших квадратов. Интегральные свойства многочленов Чебышева. Постановка задачи. Вычисление коэффициентов разложения. Алгоритм вычисления коэффициентов разложения. Оценка количества арифметических операций.

Тема 4. Интерполяция кусочно-кубическими функциями

8. Общая схема. Алгоритм вычисления коэффициентов многочлена.

9. Кусочная интерполяция кубическими многочленами Эрмита.

10. Кусочная интерполяция кубическими многочленами Бесселя.

11. Кусочная интерполяция кубическими многочленами методом Акимы.

12. Кусочная интерполяция кубическими многочленами с использованием разделенных разностей.

13. Интерполяция кубическими сплайнами.

14. Определение недостающих граничных условий по известным значениям первой и второй производной функции в граничных узлах. "Естественные" граничные условия. Экстраполяция в приграничных узлах

Тема 5. Интерполяция параболическими сплайнами

15. Общая схема. Алгоритм вычисления коэффициентов многочлена. Интерполяция параболическими сплайнами. Определение недостающих граничных условий.

Тема 6. Интерполяция функций многих переменных тензорными произведениями

16. Постановка задачи интерполяции тензорными произведениями и теорема корректности. Оценка числа арифметических операций. Алгоритм интерполяции тензорными произведениями.

17. Интерполяции тензорными произведениями в случае многочленной аппроксимации. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Разделенные разности для функции многих переменных. Интерполяционная формула Ньютона. Разложение по многочленам Чебышева

Тема 7. Приближение функций многих переменных методом конечных элементов

18. Постановка задачи линейной интерполяции. Приближение функций в прямоугольном треугольнике. Приближение линейными функциями. Приближение квадратическими функциями. Приближение кубическими функциями.

6. Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).

Лабораторная работа №1. Многочленная интерполяция. Построение интерполяционного многочлена с помощью системы линейных уравнений. Интерполяционные полиномы Лагранжа. Интерполирование с кратными узлами.

Лабораторная работа №2. Кусочно-линейная интерполяция.

Лабораторная работа №3. Кусочно-линейная аппроксимация методом наименьших квадратов.

Лабораторная работа №4. Аппроксимация функций многочленами Чебышева методом наименьших квадратов.

Лабораторная работа №5. Кусочная интерполяция кубическими многочленами Эрмита. Кусочная интерполяция кубическими многочленами Бесселя. Кусочная интерполяция кубическими многочленами методом Акимы.

Лабораторная работа №6. Кусочная интерполяция кубическими многочленами с использованием разделенных разностей.

Лабораторная работа №7. Интерполяция кубическими сплайнами. Интерполяция параболическими сплайнами.

Лабораторная работа №8. Интерполяции тензорными произведениями и теорема корректности. Интерполяции тензорными произведениями в случае многочленной аппроксимации.

Лабораторная работа №9. Приближение функций многих переменных методом конечных элементов

7. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины.

Вопросы к коллоквиуму

1. Общая схема интерполяции кусочно-кубическими функциями.

2. Алгоритм вычисления коэффициентов многочлена.

3. Кусочная интерполяция кубическими многочленами Эрмита.

4. Кусочная интерполяция кубическими многочленами Бесселя.

5. Кусочная интерполяция кубическими многочленами методом Акимы.

6. Кусочная интерполяция кубическими многочленами с использованием разделенных разностей.

7. Интерполяция кубическими сплайнами.

8. Определение недостающих граничных условий по известным значениям первой и второй производной функции в граничных узлах.

9. "Естественные" граничные условия. Экстраполяция в приграничных узлах

Вопросы для подготовки к зачету

1. Постановка задачи о приближении функций. Многочленная интерполяция.

2. Построение интерполяционного многочлена с помощью системы линейных уравнений.

3. Интерполяционные формулы Ньютона. Оценка погрешности.

4. Определители Вандермонда. Интерполяционные полиномы Лагранжа.

5. Интерполирование с кратными узлами. Формула Эрмита.

6. Оценки погрешности в интерполяционной формуле Лагранжа. Остаточный член в форме Коши.

7. Конечные разности и факториальные полиномы.

8. Бесконечные интерполяционные процессы и их сходимость. Примеры расходящихся интерполяционных процессов.

9. Преимущества кусочно-многочленной аппроксимации. Кусочно-линейная интерполяция.

10. Кусочно-линейная аппроксимация методом наименьших квадратов.

11. Разложение по многочленам Чебышева. Постановка задачи линейной интерполяции.

12. Алгоритм построения разложения по многочленам Чебышева. Связь разложения по многочленам Чебышева и интерполяции.

13. Аппроксимация многочленами Чебышева методом наименьших квадратов.

14. Общая схема интерполяции кусочно-кубическими функциями. Алгоритм вычисления коэффициентов многочлена.

15. Кусочная интерполяция кубическими многочленами Эрмита.

16. Кусочная интерполяция кубическими многочленами Бесселя.

17. Кусочная интерполяция кубическими многочленами методом Акимы.

18. Кусочная интерполяция кубическими многочленами с использованием разделенных разностей.

19. Интерполяция кубическими сплайнами.

20. Определение недостающих граничных условий по известным значениям первой и второй производной функции в граничных узлах.

21. "Естественные" граничные условия. Экстраполяция в приграничных узлах

22. Общая схема интерполяции параболическими сплайнами. Алгоритм вычисления коэффициентов многочлена. Определение недостающих граничных условий.

23. Постановка задачи интерполяции тензорными произведениями и теорема корректности. Оценка числа арифметических операций. Алгоритм интерполяции тензорными произведениями.

24. Интерполяции тензорными произведениями в случае многочленной аппроксимации.

25. Приближение функций многих переменных методом конечных элементов. Постановка задачи линейной интерполяции.

26. Приближение функций многих переменных методом конечных элементов. Приближение функций в прямоугольном треугольнике.

27. Приближение линейными функциями. Приближение квадратическими функциями. Приближение кубическими функциями.

10. Образовательные технологии.

Активные и интерактивные формы: лекции, практические занятия, контрольные работы, тестирование. В течение семестра студенты решают задачи, указанные преподавателем, готовят сообщения на лекции. По каждой теме проводятся контрольные работы на практических занятиях или индивидуальные домашние контрольные работы.

11. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины.

9.1. Основная литература:

1. Ахиезер по теории аппроксимации, М., 1965.

2. Волков методы, Санкт-Петербург: Лань, 2007.-256 с.

3. Корнейчук в теории приближения, М.: Наука, 1984.

4. Пирумов методы: учеб. пособие для студ. вузов, обуч. по напр. подготовки диплом. спец. «Прикладная математика»/ . - Москва: Дрофа, 2004.-224 с.

5. Численные методы : сб. задач : учеб. пособие для студ. вузов, обуч. по напр. подготовки «Математика. Прикладная математика»/ ред. . - Москва: Дрофа, 2007.-144 с.

9.2. Дополнительная литература:

1. Алберг Дж., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения, М.: Мир, 197с.

2. Гончаров интерполирования и приближения функций, М., 1954;

3. Никольский функций многих переменных и теоремы вложения, М., 1969;

4. Тиман приближения функций действительного переменного, М.: 1960.

9.3. Программное обеспечение и Интернет – ресурсы:

1. http://www. *****

12. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины

Аудитории для лекций и практических занятий (с необходимым материальным оснащением – компьютерный класс). Наличие рекомендованной литературы. Наличие электронных версий методических материалов.