iir-logo-big

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

Институт международных отношений

Факультет:

«Управления и экономики высоких технологий»

Кафедра:

№

Специальность:

030701

«Международные отношения»

Доклад НА ТЕМУ:

«Квантовые компьютеры»

Студент

Б.

 

 

Группа У4-01

 

Руководитель работы

 

 

МОСКВА, 2011 г

Квантовый компьютер — вычислительное устройство, работающее на основе квантовой механики. Квантовый компьютер принципиально отличается от классических компьютеров, работающих на основе классической механики. Полномасштабный квантовый компьютер является пока гипотетическим устройством, сама возможность построения которого связана с серьезным развитием квантовой теории в области многих частиц и сложных экспериментов; эта работа лежит на переднем крае современной физики

Идея построения квантового компьютера была предложена в 1980 году советским математиком Ю. Маниным

Типы квантовых компьютеров.

Строго говоря, можно выделить два типа квантовых ком­пьютеров. И те, и другие основаны на квантовых явлениях, только разного порядка.

Представителями первого типа являются, например, компьютеры, в основе которых лежит квантова­ние магнитного потока на наруше­ниях сверхпроводимости - Джозефсоновских переходах. На эф­фекте Джозефсона уже сейчас де­лают линейные усилители, аналого-цифровые преобразователи, СКВИДы и корреляторы. Известен проект создания RISC-процессора на RSFQ-логике (Rapid Single Flux Quantum). Эта же элементная база используется в проекте создания петафлопного (1015 оп./с) компью­тера. Экспериментально достиг­нута тактовая частота 370 ГГц, ко­торая в перспективе может быть доведена до 700 ГГц. Однако время расфазировки волновых функций в этих устройствах сопоставимо со временем переключения отдель­ных вентилей, и фактически на но­вых, квантовых принципах реали­зуется уже привычная нам элемент­ная база - триггеры, регистры и другие логические элементы.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Другой тип квантовых компью­теров, называемых еще квантовы­ми когерентными компьютерами, требует поддержания когерентно­сти волновых функций исполь­зуемых кубитов в течение всего вре­мени вычислений - от начала и до конца (кубитом может быть лю­бая квантомеханическая система с двумя выделенными энергетиче­скими уровнями). В результате, для некоторых задач вычислительная мощность когерентных квантовых компьютеров пропорциональна 2N, где N - число кубитов в компью­тере. Именно последний тип уст­ройств имеется в виду, когда го­ворят о квантовых компьютерах.

Математические и физические основы функционирования квантовых компьютеров.

Если классический процессор в каждый момент может находиться ровно в одном из состояний |0\rangle, |1\rangle,\ldots, |N-1\rangle, (обозначения Дирака) то квантовый процессор в каждый момент находится одновременно во всех этих базисных состояниях, при этом в каждом состоянии |j\rangle - со своей комплексной амплитудой λj. Это квантовое состояние называется «квантовой суперпозицией» данных классических состояний и обозначается как

|\Psi\rangle=\sum\limits_{j=0}^{N-1}\lambda_j|j\rangle .

Базисные состояния могут иметь и более сложный вид. Тогда квантовую суперпозицию можно проиллюстрировать, например, так: «Вообразите атом, который мог бы подвергнуться радиоактивному распаду в определённый промежуток времени. Или не мог бы. Мы можем ожидать, что у этого атома есть только два возможных состояния: «распад» и «не распад», но в квантовой механике у атома может быть некое объединённое состояние — «распада — не распада», то есть ни то, ни другое, а как бы между. Вот это состояние и называется «суперпозицией»[1].


Квантовое состояние |\Psi\rangle может изменяться во времени двумя принципиально различными путями:

А) Унитарная квантовая операция (квантовый вентиль - quantum gate, в дальнейшем просто операция).

Б) Измерение (наблюдение).

Если классические состояния |j\rangle есть пространственные положения группы электронов в квантовых точках, управляемых внешним полем V то унитарная операция есть решение уравнения Шредингера для этого потенциала.

Измерение есть случайная величина, принимающая значения |j\rangle,\ j=0,1,\ldots, N-1 с вероятностями | λj | 2 соответственно. В этом состоит квантово механическое правило Борна. Измерение есть единственная возможность получения информации о квантовом состоянии, так как значения λj нам непосредственно не доступны. Квантовое вычисление есть контролируемая классическим управляющим компьютером последовательность унитарных операций простого вида (над одним, двумя или тремя кубитами). В конце вычисления состояние квантового процессора измеряется, что и дает искомый результат вычисления.

Классический компьютер состоит, грубо говоря, из некоторого числа битов, с которыми можно выпол­нять арифметические операции. Основным элементом кванто­вого компьютера (КК) являются квантовые биты, или кубиты (от Quantum Bit, qubit). Обычный бит - это классическая система, у которой есть только два возмож­ных состояния.

Остроумная идея за­ключается в использовании для хра­нения, передачи и обработки ин­формации существенно квантовых свойств вещества. В основном такие свойства проявляют объекты мик­ромира: элементарные частицы, атомы, молекулы и небольшие сгу­стки молекул, так называемые кла­стеры Одним из квантовых свойств веще­ства является то, что некоторые ве­личины при измерении (наблюде­нии) могут принимать значения лишь из заранее определенного дискрет­ного набора. Такой величиной, на­пример, является проекция собст­венного момента импульса, или, ина­че говоря, спина элементарной час­тицы, на любую заданную ось. На­пример, у электрона возможно только два значения проекции: +1/2 или –1/2. Таким образом, количество информации, необходимое для со­общения о проекции, равно одному биту. Записав в классическую одно­битную ячейку памяти определен­ное значение, мы именно его оттуда и прочтем, если не произойдет ка­кой-нибудь ошибки.

Классической ячейкой может послужить и спин электрона. Од­нако квантовая механика позволя­ет записать в проекции спина боль­ше информации, чем в классике.

Для описания поведения кван­товых систем было введено понятие волновой функции. Существуют волновые функции, называемые собственными для какой-то кон­кретной измеряемой величины. В состоянии, описываемом собствен­ной функцией, значение этой вели­чины может быть точно предсказа­но до ее измерения. Именно с таки­ми состояниями работает обычная память. Квантовая же система может находиться и в состоянии с волно­вой функцией, равной линейной комбинации собственных функции, соответствующих каждому из воз­можных значений (назовем здесь такие состояния сложными). В сложном состоянии результат из­мерения величины не может быть предсказан заранее. Заранее из­вестно только, с какой вероятно­стью мы получим то или иное зна­чение. В отличие от обычного ком­пьютера, в квантовом для представ­ления данных используются такие ячейки памяти, которые могут на­ходиться в сложном состоянии. В нашем примере мы определили бы, что спин электрона с определенной вероятностью смотрит вверх и вниз, то есть можно сказать, что в кубит записаны сразу и 0, и 1. Количество информации, содержащееся в та­кой ячейке, и саму ячейку называют квантовым битом, или, сокращен­но, кубитом. Кубит же - это квантовая система с двумя возможными состояниями, одновременно сосуществуюшими. Но, поскольку система квантовая, ее пространство состо­яний будет несравненно богаче. Математически кубит - это двумерное комплек­сное пространство. .. Каждому возможно­му значению величины, представ­ленной кубитом, соответствует ве­роятность, с которой это значение может быть получено при чтении. Эта вероятность равна квадрату мо­дуля коэффициента, с которым соб­ственная функция этого значения входит в линейную комбинацию. Именно вероятность и является ин­формацией, записанной в кубит.

Вычисление

Упрощённая схема вычисления на квантовом компьютере выглядит так: берется система кубитов, на которой записывается начальное состояние. Затем состояние системы или её подсистем изменяется посредством базовых квантовых операций. В конце измеряется значение, и это результат работы компьютера.

Оказывается, что для построения любого вычисления достаточно двух базовых операций. Квантовая система дает результат, только с некоторой вероятностью являющийся правильным. Но за счет небольшого увеличения операций в алгоритме можно сколь угодно приблизить вероятность получения правильного результата к единице.

Один классический бит может находиться в одном и только в одном из состояний |0\rangle или |1\rangle. Квантовый бит, называемый кубитом, находится в состоянии |\psi\rangle=a\,|0\rangle+b\,|1\rangle, так что |a|² и |b|² — вероятности получить 0 или 1 соответственно при измерении этого состояния; a,b \in \mathbb{C}; |a|² + |b|² = 1. Сразу после измерения кубит переходит в базовое квантовое состояние, соответствующее классическому результату.

Пример:

Имеется кубит в квантовом состоянии \frac45\,|0\rangle-\frac35\,|1\rangle

В этом случае, вероятность получить при измерении

0

составляет

(4/5)²=16/25

= 64 %,

1

(-3/5)²=9/25

= 36 %.

В данном случае, при измерении мы получили 0 с 64 % вероятностью.

В результате измерения кубит переходит в новое квантовое состояние |0\rangle, то есть, при следующем измерении этого кубита мы получим 0 со стопроцентной вероятностью .

С помощью базовых квантовых операций можно симулировать работу обычных логических элементов, из которых сделаны обычные компьютеры. Поэтому любую задачу, которая решена сейчас, квантовый компьютер решит, и почти за такое же время. Следовательно, новая схема вычислений будет не слабее нынешней.

Чем же квантовый компьютер лучше классического? Большая часть современных ЭВМ работают по такой же схеме: n бит памяти хранят состояние и каждый такт времени изменяются процессором. В квантовом случае система из n кубитов находится в состоянии, являющимся суперпозицией всех базовых состояний, поэтому изменение системы касается всех 2n базовых состояний одновременно. Теоретически новая схема может работать намного (в экспоненциальное число раз) быстрее классической. Практически (квантовый) алгоритм Гровера поиска в базе данных показывает квадратичный прирост мощности против классических алгоритмов

Квантовую механику не случай­но называют иногда волновой ме­ханикой. Дело в том, что квантово-механические волновые функции ведут себя подобно световой или какой-либо другой волне. И для волновых функций, благодаря их способности интерферировать, также может быть введено понятие когерентности. Именно это свой­ство используется в когерентном квантовом компьютере. Набор кубитов представляется когерентны­ми волновыми функциями. Ока­зывается, что существует вполне определенный класс воздействий на квантовую систему, называе­мый унитарными преобразования­ми, при которых не теряется запи­санная в кубит информация и не нарушается когерентность волно­вых функций кубитов. Унитарные преобразования обратимы - по результату можно восстановить ис­ходные данные. После прохожде­ния через квантовый процессор, использующий унитарные преоб­разования, волновые функции ку­битов заставляют интерферировать друг с другом, наблюдая получаю­щуюся картину и судя по ней о результате вычисления. . С точки зрения геометрии такие пре­образования - прямой аналог вращении и симметрий обычного трехмерного пространства. Согласно принципу суперпозиции вы можете складывать состояния, вычитать их, ум­ножать на комплексные числа. Эти состояния образуют фазовые пространства.

Квантовый параллелизм

Из-за того, что для представле­ния информации используются кубиты, в которых записано сразу оба значения - и 0, и 1, в процессе вычислений происходит парал­лельная обработка сразу всех воз­можных вариантов комбинаций би­тов в процессорном слове. Таким образом, в КК реализуется естест­венный параллелизм, недоступный классическим компьютерам. Другими словами, существенно, что система «находится одновременно во всех возможных состояниях». Как пишут многие авторы популяр­ных введений в KB, возникает со­вершенно чудовищный параллелизм вычислении: к примеру, в случае нашей системы из двух кубитов мы как бы оперируем одновременно со всеми возможными ее состояниями: 00, 01, 11, 10.

Алгоритмы и задачи

За счет возможности параллельной работы с большим числом вариантов, в идеале равным 2N (где N - число кубитов), квантовому компьютеру необходимо гораздо меньше вре­мени для решения определенного класса задач с помощью определенных алгоритмов:

§ Алгоритм Гровера позволяет найти решение уравнения f(x)=1,\; 0\le x < N за время O(\sqrt{N}).

§ Рассмотрим базу дан­ных, содержащую 2N записей. Мы хотим найти ровно одну запись. Имеется некая процедура опреде­ления того, нужную запись мы взяли или нет. Записи не упоря­дочены. С какой скоростью мы можем решить эту задачу на обыч­ном компьютере? В худшем слу­чае нам придется перебрать все 2N записей - это очевидно. Оказывается, что на КК достаточно числа запросов по­рядка корня из числа записей – 2N/2.

§ Алгоритм Шора позволяет разложить натуральное число n на простые множители за полиномиальное от log(n) время.(Применение квантовая криптография. Для того, например, чтобы получить доступ к кредитной карте, нужно разложить на два простых множителя число длиной в сотни цифр. Даже для самых быстрых современных компьютеров выполнение этой задачи заняло больше бы времени, чем возраст Вселенной, в сотни раз. Благодаря алгоритму Шора эта задача становится вполне осуществимой, если квантовый компьютер будет построен.)

§ Алгоритм Залки - Визнера позволяет моделировать унитарную эволюцию квантовой системы системы n частиц за почти линейное время с использованием O(n) кубит.

§ Алгоритм Дойча — Джоза позволяет «за одно вычисление» определить, является ли функция двоичной переменной f(n) постоянной (f1(n) = 0, f2(n) = 1 независимо от n) или «сбалансированной» (f3(0) = 0, f3(1) = 1; f4(0) = 1, f4(1) = 0).

Проблемы построения и работы квантовых компьютеров.

Пытаясь осуществить свой за­мысел, ученые упираются в про­блему сохранения когерентности волновых функций кубитов, так как потеря когерентности хотя бы од­ним из кубитов разрушила бы ин­терференционную картину. В на­стоящее время основные усилия экспериментальных рабочих групп направлены на увеличение отно­шения времени сохранения коге­рентности ко времени, затрачивае­мому на одну операцию (это отно­шение определяет число операций, которые можно успеть провести над кубитами). Главной причиной по­тери когерентности является связь состояний, используемых для ку­битов, со степенями свободы, не участвующими в вычислениях. На­пример, при передаче энергии элек­трона в возбужденном атоме в по­ступательное движение всего ато­ма. Мешает и взаимодействие с ок­ружающей средой, например, с со­седними атомами материала ком­пьютера или магнитным полем Зем­ли, но это не такая важная проблема. Вообще, любое воздействие на ко­герентную квантовую систему, ко­торое принципиально позволяет получить информацию о каких-ли­бо кубитах системы, разрушает их когерентность. Потеря когерентно­сти может произойти и без обмена энергией с окружающей средой.

Воздействием, нарушающим когерентность, в частности, явля­ется и проверка когерентности. При коррекции ошибок возникает сво­его рода замкнутый круг: для того чтобы обнаружить потерю коге­рентности, нужно получить ин­формацию о кубитах, а это, в свою очередь, также нарушает когерент­ность. В качестве выхода предло­жено много специальных методов коррекции, представляющих так­же и большой теоретический инте­рес. Все они построе­ны на избыточном кодировании.

Что касается технической сто­роны появляются сообщения, что созда­ются реальные квантовые систе­мы с небольшим числом битов - с десятью, скажем. Эксперименталь­ные, в железе, так сказать.

Так что эксперименты есть, но пока очень далекие от реальнос­ти. Десять бит - это и для класси­ческого и для квантового компь­ютера слишком мало! Чтобы мо­делировать молекулу белка, нуж­но порядка ста тысяч кубитов. Для Алгоритма Шора, чтобы вскрывать шифры, достаточно примерно тысячи кубитов.

Если в области передачи инфор­мации уже созданы реально рабо­тающие системы и до коммерческих продуктов осталось лишь несколько шагов, то коммерческая реализация квантового когерентного процессо­ра - дело будущего. К настоящему времени КК научился вычислять сум­му 1+1! Это большое достижение, если учесть, что в виде результата он выдает именно 2, а не 3 и не 0. Кроме того, не следует забывать, что и пер­вые обычные компьютеры были не особенно мощны.

Физической системе, реализующей квантовый компьютер, можно предъявить пять требований:

1. Система должна состоять из точно известного числа частиц.

2. Должна быть возможность привести систему в точно известное начальное состояние.

3. Степень изоляции от внешней среды должна быть очень высока.

4. Надо уметь менять состояние системы согласно заданной последовательности унитарных преобразований ее фазового пространства.

5. Необходимо иметь возможность выполнять «сильные измерения» состояния системы (то есть такие, которые переводят ее в одно из чистых состояний).

Из этих пяти задач наиболее трудными считаются третья и четвертая. От того, насколько точно они решаются, зависит точность выполнения операций. Пятая задача тоже весьма неприятна, так как измерить состояние отдельной частицы нелегко.

Области применения.

1)Моделирование различных систем(Биологических, квантовых и тд.)

2)Квантовая криптография.

Можно ожидать распрост­ранения через не очень долгое время квантовых криптографи­ческих систем. Что касается квантовой передачи данных, к настоящему времени экспериментально реализованы системы обмена секретной информацией по незащищенному от несанкционированного доступа каналу. Они основаны на фундаментальном постулате квантовой механики о невоз­можности измерения состояния без оказания влияния на него. Подслушивающий всегда изменяет состояние кубитов, кото­рые он подслушал, и это может быть зафиксировано связы­вающимися сторонами. Данная система защиты информации абсолютно надежна, так как способов обойти законы кванто­вой механики пока еще никто не выдумал. Подобные системы, кото­рые уже реализованы, используют све­товод. Универсальный КК здесь не нужен. Нужно специа­лизированное квантовое устрой­ство, способное выполнять только небольшой набор операций, - сво­его рода квантовый кодек. Благодаря огромной скорости разложения на простые множители, квантовый компьютер позволит расшифровывать сообщения, зашифрованные при помощи популярного асимметричного криптографического алгоритма RSA. До сих пор этот алгоритм считается сравнительно надёжным, так как эффективный способ разложения чисел на простые множители для классического компьютера в настоящее время неизвестен.

Применение идей квантовой механики уже открыли новую эпоху в области криптографии, так как методы квантовой криптографии открывают новые возможности в области передачи сообщений.

Физические реализации квантовых компьютеров.

Построение квантового компьютера в виде реального физического прибора является фундаментальной задачей физики 21 века. В настоящее время построены только ограниченные его варианты (в пределах 10 кубит). Вопрос о том, до какой степени возможно масштабирование такого устройства, является предметом новой интенсивно развивающейся области - многочастичной квантовой механики. Центральным здесь является вопрос о природе декогерентности (точнее, о коллапсе волновой функции), который пока остается открытым.

История

На рубеже 21 века во многих научных лабораториях были созданы однокубитные квантовые процессоры (по существу, управляемые двухуровневые системы, о которых можно было предполагать возможность масштабирования на много кубитов). Очень скоро был реализован жидкостной ЯМР - квантовый компьютер (до 7 кубит, IBM, И. Чанг). В 2005 году группой Ю. Пашкина (NEC, Япония) был построен двухкубитый квантовый процессор на сверхпроводящих элементах. Примерно в это время до десятка кубит было сделано на ионах в ловушках Пауля (Д. Винланд, П. Золлер, Р. Блатт).

В России разработкой вопросов физической реализации квантового компьютера занимается ряд исследовательских групп, ядро которых составляет школа академика : Физико-технологический институт РАН (лаборатория ФКК), МГУ (ф-т ВМК, кафедра КИ, физический ф-т, кафедра КЭ), МФТИ, МИФИ, МИЭТ, КГУ, ЯрГУ, а также ряд сотрудников институтов РАН (ИТФ, ИФТТ и др.) и Вузов.

Главные технологии для квантового компьютера:

1) Твердотельные квантовые точки на полупроводниках: в качестве логических кубитов используются либо зарядовые состояния (нахождение или отсутствие электрона в определенной точке) либо направление электронного и/или ядерного спина в данной квантовой точке. Управление через внешние потенциалы или лазерным импульсом.

2) Сверхпроводящие элементы (джозефсоновские переходы, сквиды и др.). В качестве логических кубитов используются присутствие/отсутствие куперовской пары в определенной пространственной области. Управление: внешний потенциал/магнитный поток.

3) Ионы в вакуумных ловушках Пауля (или атомы в оптических ловушках). В качестве логических кубитов используются основное/возбужденное состояния внешнего электрона в ионе. Управление: классические лазерные импульсы вдоль оси ловушки или направленные на индивидуальные ионы + колебательные моды ионного ансамбля.

4) Смешанные технологии: использование заранее приготовленных запутанных состояний фотонов для управления атомными ансамблями или для как элементы управления классическими вычислительными сетями.

В ноябре 2009 года физикам из Национального института стандартов и технологий в США впервые удалось собрать программируемый квантовый компьютер, состоящий из двух кубит

Вместо заключения…

Пока квантовым компьютерам по плечу только наиболее простые за­дачи - например, они уже умеют складывать 1 и 1, получая в резуль­тате 2. Было также запланировано взятие дру­гого важного рубежа - фактори­зации числа 15, его предстоит раз­ложить на простые множии 5. А там, глядишь, дойдет дело и до более серьезных задач.

Опытные образцы сейчас со­держат менее десяти квантовых би­тов. По мнению Нейла Гершенфельда (Nell Gershenfeld), участвовав­шего в создании одной из первых действующих моделей квантового компьютера, необходимо объеди­нить не менее 50-100 кубитов, что­бы решать полезные с практиче­ской точки зрения задачи. Интерес­но, что добавление каждого сле­дующего кубита в квантовый ком­пьютер на эффекте объемного спи­нового резонанса требует увеличе­ния чувствительности аппаратуры в два раза. Десять дополнительных кубитов, таким образом, потребуют увеличения чувствительности в 1000 раз, или на 60 дБ. Двадцать - в миллион раз, или на 120 дБ...

He исключе­но, что в информационном обще­стве появление квантового компь­ютера сыграет ту же роль, что в свое время, в индустриальном, - изоб­ретение атомной бомбы. Действи­тельно, если последняя является средством «уничтожения мате­рии», то первый может стать сред­ством «уничтожения информа­ции» - ведь очень часто то, что известно всем, не нужно никому.

Приложение

Уравне́ние Шрёдингера — уравнение, описывающее изменение в пространстве и во времени чистого состояния, задаваемого волновой функцией, вгамильтоновых квантовых системах. Играет в квантовой механике такую же важную роль, как уравнение второго закона Ньютона в классической механике. Его можно назвать уравнением движения квантовой частицы. Установлено Эрвином Шрёдингером в 1926 году.

Уравнение Шрёдингера предназначено для частиц без спина, движущихся со скоростями много меньшими скорости света. В случае быстрых частиц и частиц со спином используются его обобщения

В квантовой физике вводится комплекснозначная функция \! \Psi , описывающая чистое состояние объекта, которая называется волновой функцией. В наиболее распространеннойкопенгагенской интерпретации эта функция связана с вероятностью обнаружения объекта в одном из чистых состояний (квадрат модуля волновой функции представляет собой плотность вероятности). Поведение гамильтоновой системы в чистом состоянии полностью описывается с помощью волновой функции.

Пусть волновая функция задана в N-мерном пространстве, тогда в каждой точке с координатами  \vec{r}({x}_1, {x}_2, {x}_3,\ldots,{x}_n), в определенный момент времени t она будет иметь вид \ \Psi \left( \vec{r}, t \right) . В таком случае уравнение Шрёдингера запишется в виде:

- {{\hbar}^2 \over 2 m} {\Delta} \Psi ( \vec{r} , t) + {E}_p ( \vec{r} ) \Psi ( \vec{r} , t ) = i \hbar {\partial \over \partial t} \Psi (\vec{r},t) , \qquad ( 1 )

где  \hbar = {h \over 2 \pi} , \! h  — постоянная Планка; \! m — масса частицы, \! {E}_p ( \vec{r} )  — внешняя по отношению к частице потенциальная энергия в точке \vec{r}({x}_1, {x}_2, {x}_3,\ldots,{x}_n), \! \Delta  — оператор Лапласа (или лапласиан), эквивалентен квадрату оператора набла и в n-мерной системе координат имеет вид:

\Delta \equiv {\nabla}^{\,2} \! = {{\partial}^2 \over \partial {x}_1^2} + {{\partial}^2 \over \partial {x}_2^2} + {{\partial}^2 \over \partial {x}_3^2} + \ldots + {{\partial}^2 \over \partial {x}_n^2}

Случай трёхмерного пространства

В трёхмерном случае пси-функция является функцией трёх координат и \! \Delta \Psi  в декартовой системе координат заменяется выражением

\! \Delta \Psi = {{\partial}^2 \Psi \over \partial {x}^2} + {{\partial}^2 \Psi \over \partial {y}^2} + {{\partial}^2 \Psi \over \partial {z}^2} ,

тогда уравнение Шрёдингера примет вид:

- {{\hbar}^2 \over 2 m} \left( {{\partial}^2 \Psi \over \partial {x}^2} + {{\partial}^2 \Psi \over \partial {y}^2} + {{\partial}^2 \Psi \over \partial {z}^2} \right) + {E}_p ( x , y , z ) \Psi = i \hbar {\partial \Psi \over \partial t} ,

где  \hbar = {h \over 2 \pi} , \! h  — постоянная Планка; \! m — масса частицы, \! {E}_p ( x , y , z )  — потенциальная энергия в точке \! ( x , y , z )

Фазовое пространство в математике и физике — пространство, на котором представлено множество всех состояний системы, так, что каждому возможному состоянию системы соответствует точка фазового пространства.

Сущность понятия фазового пространства заключается в том, что состояние сколь угодно сложной системы представляется в нём одной единственной точкой, а эволюция этой системы — перемещением этой точки.

Файл:Focal stability.png

Особенность квантовой системы

Согласно квантовой механике (КМ), пока система эволюционирует под дей­ствием наших унитарных операто­ров, мы не можем сказать, в каком именно классическом состоянии она находится. То есть она находится в каком-то квантовом состоянии, но измеряем-то мы, когда общаемся с системой, все равно какие-то классические значения

Спин (от англ. spin — вертеть[-ся]) — собственный момент импульса элементарных частиц, имеющий квантовую природу и не связанный с перемещением частицы как целого. Спином называют также собственный момент импульса атомного ядра или атома; в этом случае спин определяется как векторная сумма (вычисленная по правилам сложения моментов в квантовой механике) спинов элементарных частиц, образующих систему, и орбитальных моментов этих частиц, обусловленных их движением внутри системы.

Спин измеряется в единицах \hbar (приведённой постоянной Планка, или постоянной Дирака) и равен \hbar J, где J — характерное для каждого сорта частиц целое (в том числе нулевое) или полуцелое положительное число — так называемое спиновое квантовое число, которое обычно называют просто спином (одно из квантовых чисел).

В связи с этим говорят о целом или полуцелом спине частицы.

Список литературы.

1. Китаев A. Ю. Квантовые вычисления: алгоритмы и исправление ошибок. //Успехи математических наук.2005

2. Материалы с сайта http://ru. wikipedia. org. Обновление от 15 марта 2011г.

3. Квантовый компьютер и квантовые вычисления / Под ред. 2009

4. ,  А. компьютеры: надежды и реальность. — М.—Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2004.

5.Лекции 2011г