Питання до екзаменів (стр. 2 )

17. Обмежені числові послідовності. Теорема про існування границі монотонно-зростаючої (спадної) і обмеженої зверху (знизу) послідовності.

18. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

19. Критерій Коші.

20. Деякі види невизначеності. Число e. Натуральні логарифми.

21. Границя функцій в точці. Означення за Коші. Геометричний зміст. Означення границі за Гейне.

22. Властивості функції, що має границю в точці.

23. Властивості границь.

24. Границя функції на нескінченності. Геометричний зміст. Нескінченні границі.

25. Перша важлива границя.

26. Друга важлива границя.

27. Теореми про границі функцій (в точці і на нескінченності).

28. Нескінченно малі функції та їх властивості.

29. Теорема про зв’язок функції, що має границю, з нескінченно малою функцією.

30. Порівняння нескінченно малих функцій.

31. Однобічні (односторонні) границі функції в точці. Зв’язок границі функції в точці з однобічними границями.

32. Неперервність функції в точці. Означення. Геометричний зміст. Неперервність функції на проміжку.

33. Теорема про неперервність складеної функції. Односторонні неперервності.

34. Арифметичні дії над неперервними функціями.

35. Точки розриву функції та їх класифікація.

36. Властивості функцій, неперервних на відрізку.

37. Рівномірна неперервність функції на деякому проміжку.

38. Обернена функція, її існування та неперервність.

39. Приклади обернених функцій до степеневих та показникових функцій.

40. Приклади обернених функцій до тригонометричних функцій.

41. Задачі, що приводятьдо поняття похідної.

42. Означення похідної, її геометричний та механічний зміст.

43. Означення диференційовності функції в точці. Неперервність диференційовної функції.

44. Правила диференціювання.

45. Диференціювання складеної та оберненої функції.

46. Друге означення диференційовності функції, його еквівалентність першому. Диференціал, його геометричний та механічний зміст.

47. Правила диференціювання (для диференціала).

48. Застосування диференціала до наближених обчислень.

49. Диференціювання параметрично заданих функцій.

50. Похідні і диференціали вищих порядків.

51. Похідні вищих порядків від параметрично заданих функцій.

52. Теорема Ролля. Геометричний зміст.

53. Теорема Лагранжа. Геометричний зміст. Формула Лагранжа. Наслідки з теореми Лагранжа.

54. Теорема Коші. Наслідок.

55. Логарифмічне диференціювання.

56. Формула Тейлора для многочлена.

57. Формула Тейлора для довільної функції із залишковим членом у формі Лагранжа.

58. Залишковий член формули Тейлора у формі Коші. Формула Тейлора для деяких елементарних функцій.

59. Застосування формули Тейлора до наближених обчислень.

60. Монотонні функції. Зв’язок між знаком похідної і характером монотонності в даній точці.

61. Точки екстремуму функцій. Екстремум. Необхідні і достатні умови екстремуму.

62. Найбільше і найменше значення функцій на відрізку.

63. Опуклість та вгнутість кривої. Точки перегину. Інтервали опуклості та вгнутості кривої.

64. Асимптоти кривої. Знаходження похилих, горизонтальних та вертикальних асимптот.

65. Перше правило Лопіталя.

66. Друге правило Лопіталя. Теорема (без доведення). Приклад.

67. Первісна функція та її властивості.

68. Невизначений інтеграл та його властивості.

69. Таблиця інтегралів.

70. Основні методи інтегрування.

71. Інтегрування елементарних раціональних дробів.

72. Інтегрування раціональних функцій.

73. Інтегрування в скінченному вигляді.

74. Інтегрування ірраціональних функцій 1-го і 2-го типу.

75. Інтегрування ірраціональних функцій. підстановки Ейлера.

76. Інтегрування диференціальних біномів.

77. Інтегрування тригонометричних функцій.

78. Задача про площу криволінійної трапеції.

79. Поняття визначеного інтеграла. Необхідна умова інтегровності функції.

80. Достатні умови інтегровності функції.

81. Властивості визначеного інтегралу.

82. Теореми про середнє значення визначеного інтеграла.

83. Визначений інтеграл із змінною верхньою межею. Теорема.

84. Формула Ньютона-Лейбніца.

85. Замінна змінної та формула інтегрування частинами для визначеного інтеграла.

86. Застосування визначених інтегралів до обчислення площ плоских фігур.

87. Застосування визначених інтегралів до обчислення довжини дуги кривої.

88. Застосування визначених інтегралів до обчислення об’єму тіл обертання.

89. Застосування визначених інтегралів до обчислення площі поверхні обертання.

90. Застосування визначених інтегралів до розв’язування задач механіки (центр мас матеріальної дуги та пластинки).

91. Невласні інтеграли.

92. Числові ряди. Основні поняття.

93. Геометрична прогресія.

94. Основні властивості збіжних рядів.

95. Знакододатні числові ряди. Необхідна і достатня умова збіжності.

96. Ознаки збіжності знакододатних числових рядів (ознаки порівняння, Д’Аламбера, Коші, інтегральна ознака Коші).

97. Знакозмінні числові ряди. Теорема Лейбніца і наслідки до неї.

98. Абсолютна та умовна збіжність ряду.

99. Функціональна послідовність та функціональний ряд.

100. Теорема Вейєрштрасса про рівномірну збіжність функціонального ряду.

101. Властивості рівномірно-збіжних функціональних рядів.

102. Степеневі ряди. Теорема Абеля.

103. Властивості степеневих рядів.

104. Ряд Тейлора.

105. Розклад елементарних функцій в степеневий ряд.

106. Наближені обчислення за допомогою числових рядів.

107. Тригонометричні ряди Фур’є.

108. Ряд Фур’є для парних і непарних функцій.

109. Ряд Фур’є для -періодичних функцій.

110. Ряд Фур’є для неперіодичних функцій.

111. Застосування рядів Фур’є.

ІІ МІ

1. Ортогональна система функцій. Тригонометричний ряд формули Ейлера-Фур’є. Ряд Фур’є.

2. Кусково-диференційовні функції. Теорема про розвинення функцій в ряд Фур’є.

3. Ряд Фур’є для парної та непарної функцій.

4. Ряд Фур’є для функцій з довільним періодом.

5. Ряд Фур’є для неперіодичної функції.

6. Комплексна форма для ряду Фур’є.

7. Метричні простори в шкільному курсі математики.

8. Означення метричного простору. Приклади метричних просторів.

9. Основні метричні простори. п-вимірний евклідовий простір. . Простір .

10. Простір .

11. Простір . Простір .

12. Збіжні послідовності та їх властивості.

13. Поняття відкритої та замкнутої кулі, -околу точки, граничної та узагальненої точки у метричному просторі.

14. Класифікація точок множини, що лежить у метричному просторі.

15. Необхідна і достатня умова того, щоб деяка точка множини, що належить метричному простору, була граничною.

16. Теорема про зв’язок відкритої та замкненої множин.

17. Критерій відкритої множини.

18. Критерій замкненої множини.

19. Об’єднання і переріз відкритих множин.

20. Об’єднання і переріз замкнених множин.

21. Повні метричні простори. Означення. Теорема: якщо послідовність має границю, то вона є фундаментальною.

22. Теорема: для того, щоб послідовність точок евклідового простору збігалась, необхідно й достатньо, щоб вона була фундаментальною.

23. Теорема: для того, щоб фундаментальна послідовність метричного простору була збіжною необхідно і достатньо, щоб вона мала збіжну послідовність у цьому просторі.

24. Довести повноту евклідового метричного простору .

25. Довести повноту простору .

26. Компактні множини. Означення. Теорема. Непорожня множина Д метричного простору є компактною, якщо будь-яка нескінченна підмножина Д1 має принаймні одну граничну точку.

27. Означення -сітки. Цілком обмежена множина. Теорема Хаусдорфа, наслідки.

28. Теорема: у евклідовому просторі множина всіх неперервних непорожніх замкнених обмежених множин утворюють компакт і тільки вони.

29. Неперервні оператори та функціонали. Основні поняття. Означення неперервності за Коші і за Гейне.

30. Критерій неперервності оператора в точці.

31. Властивості неперервних операторів.

32. Стискуючі відображення. Нерухомі точки відображення. Метод послідовних наближень.

33. Теорема Банаха.

34. Розв’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь методом стислих відображень.

35. Функції багатьох змінних. Границя функцій багатьох змінних. Означення. Приклади.

36. Неперервність функцій багатьох змінних. Означення, приклади.

37. Теореми про властивості функцій багатьох змінних, неперервних на обмежених замкнених множинах.

38. Частинні похідні функцій багатьох змінних. Геометричний зміст частинних похідних для функцій двох змінних.

39. Диференційовність функцій багатьох змінних. Зв’язок між диференційовністю та неперервністю, між диференційовністю та частинними похідними.

40. Повний диференціал функцій багатьох змінних. Застосування певного диференціала до наближених обчислень.

41. Скалярне поле. Лінії та поверхні рівня.

42. Похідна за напрямом. Градієнт.

43. Похідні складених функцій.

44. Диференціал складеної функції. Інваріантність форми першого диференціала.

45. Похідна вищих порядків. Теорема про рівність мішаних похідних.

46. Диференціали вищих порядків.

47. Формула Тейлора для функції двох змінних.

48. Дотична площина і нормаль до поверхні. Геометричний зміст повного диференціала.

49. Неявні функції. Теорама 1.

50. Неявні функції. Теореми 2 і 3.

51. Екстремум функції багатьох змінних. Основні поняття. Необхідні умови екстремуму. Правило дослідження на екстремум.

52. Достатні умови екстремуму для функції багатьох змінних.

53. Найбільше і найменше значення функції в замкненій області. Правило дослідження на глобальний екстремум.

54. Умовний екстремум для функції двох змінних.

55. Умовний екстремум для функції трьох змінних.

56. Еквівалентні множини. Поняття потужності. Властивості еквівалентних множин.

57. Поняття зчисленної множини. Приклади зчислених множин.

58. Властивості зчисленних множин.

59. Поняття континуальної множини. Приклади континуальних множин. Властивості континуальних множин.

60. Гіпотеза континууму. Існування як завгодно великих потужностей.

61. Поняття частинних похідних та їхній геометричний зміст.

62. Диференційовність функції кількох змінних. Необхідні умови диференційованості.

63. Достатні умови диференційовності функції двох змінних..

64. Повний диференціал функції, його геометричний зміст.

65. Застосування повного диференціала до наближених обчислень.

66. Похідні складних функцій. Приклади.

67. Диференціали складних функцій, інваріантність їхньої форми. Правила диференціювання.

68. Похідна за напрямом та її обчислення. Приклади.

69. Градієнт функції та його зв'язок з похідною за напрямом.

70. Частинні похідні вищих порядків. Приклади.

71. Теорема про рівність мішаних похідних.

72. Диференціали вищих порядків, неінваріантність їхньої форми.

73. Формула Тейлора для функції двох змінних.

74. Поняття екстремуму функції кількох змінних. Необхідна умова існування екстремуму.

75. Достатні умови існування екстремуму функції двох змінних.

76. Найбільше та найменше значення функції в обмеженій замкненій області.

77. Розвязування прикладних задач на відшукання екстремуму.

78. Неявні функції однієї змінної. Умови існування та диференційовності.

79. Неявні функції двох змінних. Умови існування та диференційовності.

80. Поняття та необхідні умови існування умовного екстремуму.

81. Достатні умови існування умовного екстремуму.

82. Міра Жордана у просторі та її основні властивості.

83. Поняття елементарного прямокутника у проторі та його міри.

84. Поняття подвійного інтеграла та умови його існування.

85. Основні властивості подвійного інтеграла.

86. Обчислення подвійних інтегралів у випадку прямокутної області.

87. Обчислення подвійних інтегралів у випадку криволінійної області.

88. Заміна змінної у подвійних інтегралах (загальний випадок).

89. Подвійні інтеграли в полярних координатах.

90. Потрійні інтеграли, їхні властивості. Обчислення потрійних інтегралів.

91. Потрійні інтеграли у сферичних та циліндричних координатах.

92. Застосування кратних інтегралів у геометрії.

93. Застосування кратних інтегралів у фізиці.

94. Криволінійні інтеграли першого роду (поняття, властивості, умови існування, обчислення).

95. Застосування криволінійних інтегралів першого роду.

96. Криволінійні інтеграли другого роду (поняття, властивості, умови існування).

97. Формула Гріна.

98. Умови незалежності криволінійного інтеграла другого роду від шляху інтегрування.

99. Застосуваня криволінійних інтегралів другого роду.

100. Означення міри Жордана через характеристичну функцію множини. Основні властивості міри.

101. Множини L-міри нуль, їхні властивості та приклади.