Питання до екзаменів (стр. 3 )

102. Східчасті функції та їхні властивості.

103. L інтеграл від східчастої функції та його основні властивості.

104. L-інтеграл функції по прямокутнику та його властивості.

105. L-міра для довільної множини з . Властивості міри.

106. L-інтеграл функції по довільній вимірній множині з .

ІІ МФ, МЕ

1. Степеневий ряд. Інтервал і радіус збіжності. Теорема Коші – Адамара.

2. Властивості суми степеневого ряду.

3. Розкладання функцій у степеневий ряд. Необхідна умова, критерій і достат­ня умова.

4. Поняття тригонометричного ряду і ряду Фур’є. Теорема про єдиність триго­нометричного ряду.

5. Мінімальна властивість многочленів Фур’є та наслідки з неї.

6. Інтегральне представлення многочленів Фур’є.

7. Збіжність ряду Фур’є у випадку кусково диференційовної функції.

8. Розкладання функцій у тригонометричний ряд. Різні способи. Приклади.

9. Потужність множин. Порівняння потужностей.

10. Зчисленні множини та їхні властивості. Довести теореми про потужність об’єднання і про нерівність .

11. Зчисленні множини та їхні властивості. Довести теореми про потужність індексованої множини і про об’єднання нескінченної множини з не більш ніж зчисленною.

12. Континуальні множини та їхні властивості. Довести теореми про об’єднання континуальних множин і про потужність множин та .

13. Континуальні множини та їхні властивості. Довести теорему про контину­альність індексованої множини.

14. Континуальні множини та їхні властивості. Довести теореми про потужність просторів і та про нерівність .

15. Множина всіх підмножин даної множини. Неіснування найбільшої потуж­ності. Континуум-гіпотеза.

16. Означення метричного простору. Основні метричні простори. Довести мет­ричність простору .

17. Означення метричного простору. Основні метричні простори. Довести мет­ричність просторів і .

18. Означення метричного простору. Основні метричні простори. Довести мет­ричність просторів і .

19. Означення метричного простору. Основні метричні простори. Довести мет­ричність простору .

20. Збіжні послідовності у метричному просторі. Умови збіжності в , і .

21. Класифікація точок метричного простору відносно множини. Приклади.

22. Основні типи множин у метричному просторі. Властивості відкритих і замкнених множин. Необхідні умови компактності.

23. Будова відкритої лінійної множини.

24. Будова замкненої лінійної множини, зокрема обмеженої.

25. Будова досконалої лінійної множини, у тому числі обмеженої.

26. Відкрита і досконала множини Кантора. Їхня потужність і довжина.

27. Повні метричні простори. Довести повноту простору .

28. Повні метричні простори. Довести повноту простору .

29. Повні метричні простори. Довести повноту простору .

30. Повні метричні простори. Довести неповноту простору .

31. Границя і неперервність функцій у метричних просторах. Властивості функцій, неперервних на компактних і зв’язних множинах.

32. Оператори стиску і теорема Банаха про нерухому точку.

33. Функції двох змінних: їхній графік, лінії рівня, границя й неперервність, частинні похідні.

34. Властивості границь і неперервних функцій двох змінних.

35. Два означення диференційовної функції двох змінних та їх рівносильність.

36. Необхідні умови диференційовності функції двох змінних.

37. Достатня умова диференційовності функції двох змінних.

38. Диференціал функції двох змінних, застосування його до наближених обчислень. Дотична площина і нормаль до графіка функції.

39. Похідна за напрямком, її існування та обчислення. Градієнт.

40. Диференціювання складеної функції однієї змінної.

41. Диференціювання складеної функції двох і більше змінних.

42. Інваріантна властивість диференціала першого порядку.

43. Критерій сталості функції двох змінних.

44. Неявна функція, її існування, єдиність і неперервність.

45. Диференціювання неявної функції.

46. Частинні похідні вищих порядків. Теорема про рівність мішаних похідних.

47. Поняття разів диференційовної функції багатьох змінних та диференціала -го порядку, формула його обчислення.

48. Формула Тейлора для функції двох змінних.

49. Локальні екстремуми функції багатьох змінних. Необхідні та достатні умови.

50. Глобальні екстремуми функцій багатьох змінних. Способи їх відшукання та доведення існування.

51. Означення кратного інтеграла по елементарному прямокутнику. Необхідна умова інтегровності.

52. Суми Дарбу та їхні властвості.

53. Інтеграли Дарбу. Теорема Дарбу.

54. Критерії інтегровності функції багатьох змінних на прямокутнику.

55. Достатні умови інтегровності на прямокутнику.

56. Властивості кратного інтеграла по прямокутнику.

57. Обчислення подвійного інтеграла по прямокутнику за допомогою повтор­них інтегралів.

58. Обчислення потрійного інтеграла по прямокутнику за допомогою повторних інтегралів.

59. Означення міри Жордана.

60. Зв’язок між мірою Жордана та інтегралом Рімана.

61. Властивості міри Жордана.

62. Лема про множину нульової міри та критерій множини нульової міри через покриття прямокутниками.

63. Теорема про зв’язок між вимірністю множини та її межі.

64. Лема про міру графіка функції. Достатні умови квадровності множини.

65. Означення кратного інтеграла по вимірній за Жорданом множині. Теорема про його існування.

66. Обчислення подвійних інтегралів по елементарних областях I та II типів.

67. Обчислення потрійного інтеграла по циліндричному тілу.

68. Властивості кратних інтегралів по вимірній множині.

69. Незалежність кратного інтеграла від множини нульової міри.

70. Перехід до полярних координат у подвійному інтегралі.

71. Перехід до сферичних координат у потрійному інтегралі.

72. Задача про обчислення маси неоднорідної дротини.

73. Означення криволінійного інтеграла I роду, його існування та обчислення у випадку задання кривої натуральним параметром.

74. Існування та обчислення криволінійного інтеграла I роду у випадку довіль­ного параметричного задання кривої.

75. Властивості криволінійних інтегралів I роду.

76. Задача про роботу змінної сили вздовж кривої.

77. Означення криволінійних інтегралів II роду: за абсцисою, за ординатою і повного.

78. Обчислення криволінійних інтегралів II роду.

79. Властивості криволінійних інтегралів II роду.

80. Формула Гріна.

81. Обчислення площі фігури за допомогою криволінійного інтеграла.

82. Незалежність криволінійного інтеграла від форми кривої і його рівність нулю.

83. Незалежність криволінійного інтеграла від форми кривої і умова повного диференціала.

84. Умова незалежності криволінійного інтеграла від форми кривої в однозв’яз­ній області.

ІІ ФІА

1. Ортогональна система функцій. Тригонометричний ряд. Формули Ейлера-Фур’є. Ряд Фур’є.

2. Кусково-диференційовна функція. Теорема про розвинення функції в ряд Фур’є.

3. Ряди Фур’є для парної та непарної функцій.

4. Ряд Фур’є для функцій з довільним періодом.

5. Ряд Фур’є для неперіодичної функції.

6. Комплексна форма ряду Фур’є.

7. Поняття функцій багатьох змінних. Лінії та поверхні рівня.

8. Метричні простори. аксіоми метричного простору. п-вимірний евклідовий простір .

9. Відкрита та замкнена куля, сфера. Окіл точки п-вимірного простору.

10. Класифікація точок множини метричного простору.

11. Послідовності точок метричного простору. Збіжність. Властивості збіжних послідовностей.

12. Границя функції багатьох змінних. Різні означення границі.

13. Неперервність функції багатьох змінних.

14. Класифікація множин метричного простору.

15. Властивості функцій, заданих і неперервних на однозв’язній замкненій множині.

16. Частинні похідні. Означення. Геометричний зміст частинних похідних функцій двох змінних.

17. Повний приріст функцій. Диференційовність функцій двох змінних. Зв’язок між диференційовністю і неперервністю функцій кількох змінних.

18. Зв’язок між диференційовністю і частинними похідними.

19. Повний диференціал функції двох змінних.

20. Частинні похідні складеної функції двох змінних.

21. Інваріантність форми першого диференціала.

22. Застосування повного диференціала.

23. Похідні вищих порядків. Теорема про рівність мішаних похідних другого порядку.

24. Диференціали вищих порядків.

25. Формула Тейлора для функції двох змінних.

26. Скалярне поле. Похідна за напрямом.

27. Градієнт, його зв’язок з похідною за напрямом. Оператор Гамільтона.

28. Дотична площина і нормаль до поверхні.

29. Неявні функції. Теорема 1 і 2.

30. Екстремум функції багатьох змінних. Похідні умови екстремуму.

31. Достатні умови екстремуму. Правило дослідження функції на екстремум.

32. Найбільше і найменше значення функції в замкненій області. Правило дослідження функції на найбільше і найменше значення.

33. Задачі. Що приводять до поняття подвійного інтеграла.

34. Означення подвійного інтеграла, умови інтегровності.

35. Властивості подвійного інтеграла.

36. Обчислення подвійних інтегралів.

37. Поняття потрійного інтеграла та його властивості.

38. Обчислення потрійних інтегралів.

39. Застосування подвійних інтегралів.

40. Застосування потрійних інтегралів.

41. Диференціальні рівняння. Основні поняття.

42. Приклади і задачі, які приводять до диференціальних рівнянь.

43. Диференціальні рівняння І порядку з відокремлюваними змінними.

44. Однорідні диференціальні рівняння І порядку.

45. Лінійні диференціальні рівняння І порядку.

46. Рівняння Бернулі.

47. Диференціальні рівняння І порядку в повних диференціалах.

48. Інтегруючий множник.

49. Метод послідовного наближення розв’язування диференціальних рівнянь.

50. Теорема Пікара про існування та єдиність розв’язку задачі Коші для диференціальних рівнянь І порядку.

51. Обвідна однопараметричної сім’ї кривих.

52. Особливі розв’язки диференціальних рівнянь І порядку.

53. Рівняння Клеро.

54. Рівняння Лагранжа.

55. Диференціальні рівняння вищих порядків. Основні поняття.

56. Найпростіші типи диференціального рівняння вищого порядку.

57. Лінійні диференціальні рівняння вищого порядку. Основні поняття.

58. Теорема про властивості частинних розв’язків лінійного, однорідного диференціального рівняння вищого порядку.

59. Критерій лінійної незалежності частинних розв’язків лінійного однорідного диференціального рівняння вищого порядку.

60. Теорема про структуру загального розв’язку лінійного, однорідного диференціального рівняння вищого порядку.

61. Лінійні однорідні диференціальні рівняння ІІ порядку із сталими коефіцієнтами.

62. Схема розв’язування лінійного однорідного диференціального рівняння п-го порядку із сталими коефіцієнтами.

63. Структура загального розв’язку лінійного неоднорідного диференціального рівняння вищого порядку.

64. Метод Лагранжа знаходження частинного розв’язку лінійного неоднорідного диференціального рівняння ІІ порядку.

65. Метод Лагранжа знаходження частинних розв’язків лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь п-го порядку.

66. Метод невизначеного коефіцієнта знаходження частинних розв’язків лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь п-го порядку.

67. Лінійні диференціальні рівняння і коливання.

68. Диференціальні рівняння І порядку, як поля напрямів. Ізокліни.

69. Ламані Ейлера.

70. Ізогональні та ортогональні проекції.

71. Нормальні системи диференціальних рівнянь.

72. Системи лінійних однорідних диференціальних рівнянь із сталими коефіцієнтами.

73. Основні типи інтегральних рівнянь.

74. Метод ітерації для рівняння Фредгольма.

75. Метод ітерації для рівняння Вольтера.

76. Метод ітерації для нелінійних інтегральних рівнянь.

77. Розв’язування інтегральних рівнянь за допомогою квадратичних формул.

78. Інтегральні рівняння з виродженим ядром. теорема Фредгольма.

79. Диференціальні та інтегральні рівняння і математичні моделі.

80. Диференціальні рівняння. Основні поняття.

81. Прикладні задачі, які приводять до диференціальних рівнянь.

82. Диференціальні рівняння 1-го порядку з відокремлюваними змінними.

83. Однорідні диференціальні рівняння 1-го порядку.

84. Лінійні диференціальні рівняння 1-го порядку.

85. Рівняння Бернуллі.

86. Диференціальні рівняння 1-го порядку в повних диференціалах.

87. Інтегруючий множник.

88. Метод послідовних наближень розв’язування диференціальних рівнянь.

89. Теорема Пікара про існування та єдиність розв’язку задачі Коші для диференціальних рівнянь 1-го порядку.

90. Обвідна однопараметричної сім’ї кривих.

91. Особливі розв’язки диференціальних рівнянь 1-го порядку.

92. Рівняння Клеро.

93. Рівняння Лагранжа.

94. Диференціальні рівняння 1-го порядку, як поля напрямів. Ізокліни.

95. Ламані Ейлера.

96. Ізогональні та ортогональні траєкторії.

97. Диференціальні рівняння вищого порядку. Основні поняття.

98. Найпростіші типи диференціальних рівнянь вищого порядку.

99. Лінійні диференціальні рівняння вищого порядку. Основні поняття.

100. Теорема про властивості частинних розв’язків лінійного однорідного диференціального рівняння вищого порядку.

101. Критерій лінійної незалежності частинних розв’язків лінійного однорідного диференціального рівняння вищого порядку.

102. Теорема про структуру загального розв’язку лінійного однорідного диференціального рівняння вищого порядку.

103. Лінійні однорідні диференціальні рівняння 2-го порядку із сталими коефіцієнтами.

104. Схема розв’язування лінійного однорідного диференціального рівняння п-го порядку із сталими коефіцієнтами.

105. Структура загального розв’язку лінійного неоднорідного диференціального рівняння вищого порядку.

106. Метод Лагранжа знаходження частинного розв’язку лінійного неоднорідного диференціального рівняння 2-го порядку.