Диофантовы уравнения (стр. 2 )

Тогда y=2m, m Î N.

Предположим, z нечетное число, тогда, согласно условию, имеем

(6-1)z=3y+4Û6c-1=3y+4Û2c-3y-1-1=2/3, где cÎN, что невозможно. Тогда z=2n, nÎN.

Имеем 52n-32m=4Û(5n-3m)( 5n+3m)=4, откуда

ì5n-3m=1 или ì5n-3m=2 Û

î5n+3m=4 î5n+3m=2

ì5n=2,5 или ì5n=2

î3m=1,5 î3m=0, что невозможно.

Уравнение 4+3y=5z решения не имеет.

3) Пусть x=3, тогда имеем уравнение 8+3y=5z.

Предположим, y нечетное.

Получаем (4+1)z=8+(4-1)y Û 4a+1=8+4b-1 Û a-b-2=1/2 , где a,bÎN, что невозможно. Тогда, y=2m, mÎN.

Предположим z=2n+1.

Имеем 52n+1=8+(8+1)m Û 5(24c+1)=8+(8d+1) Û d-15c+1=1/2 , где c,dÎN, что невозможно.

Итак, z=2n, nÎN.

Тогда имеем 52n-32m=8 Û (5n-3m)( 5n+3m)=8, учитывая, что 5n ±3m четные и 5n-3m<5n+3m, получаем ì5n-3m=2 Þ 5n=3, что невозможно.

î5n+3m=4 .

4) Пусть x=4,тогда имеем уравнение 16+3y=5z.

Предположим y-нечетное.

Получаем (4+1)z=16+(4-1)y Û 4a+1=16+4b-1 Û a-b-31/2=0 , где a,bÎN, что невозможно. Тогда y=2m, mÎN.

Предположим z=2n+1.

Имеем 52n+1=16+(8+1)m Û 5(24c+1)=16+(8d+1) Û 15c-d=11/2 , где c,dÎN, что невозможно.

Итак z=2n, nÎN.

Имеем (5n-3m)( 5n+3m)=16, учитывая, что 5n±3m четные и

5n-3m<5n+3m, получаем ì 5n-3m=2 Û ì2×5n=10 Ûì5n=5 Û

î5n+3m=8 . î2×3m=6 î3m=3

n=m=1. Значит, (4;2;2)- решение уравнения 2x+3y=5z.

5) Предположим, x³5 , тогда 2x+3y=5z . 5z -3y=2x . (5z -3y)делится на 32, т. е. числа 3y и 5z дают один и тот же остаток при делении на 32 .

Рассмотрим остатки от деления на 32 5z и 3y.

5z при делении на 32 дает остатки: 5; 25; 29; 17; 21; 9; 13; 1, а

3y при делении на 32 дает остатки: 3; 9; 27; 17; 19; 25; 11; 1. Итак, возможны пары (z;y):

(8k+2; 8l+6); (8k+4; 8l+4); (8k; 8l).

Во всех случаях числа z,y четные, т. е. z=2a, y=2b a,bÎN, тогда

52a-32b=2x Û (5a-3b)( 5a+3b)=2x Û ì5a-3b=2c

î5a+3b=2d ,