Диофантовы уравнения (стр. 5 )

8.) Пусть y>2. Возможны случаи: 34n+2+24m+1=11z ; 34n+1+24m+3=11z.

34n+2+24m+1=11z , x>1, тогда 11z-34n+2=24m+1 делится на 4, т. е. 11z и 3y дают одинаковые остатки при делении на 4. 11z при делении на 4 дает остатки: 3;n+1) при делении на 4 дает остаток 1. Тогда z=2k. Получили 112k-34n+2=2x Û ì11k-32n+1=2a

î11k+32n+1=2b, где b>a, a+b=x, тогда 11z=2a-1(2b-a+1), что возможно только при a=1, тогда

10d+1=2b-1+1, 2b-1=10d, откуда 2b-1:5, что невозможно.

34n+1+24m+3=11z. y>1, тогда 34n+1=11z -24m+3 делится на 9, т. е.

11z и 24m+3 дают одинаковые остатки.

11z при делении на 9 дает остатки: 2; 4; 8; 7; 5; 1.

2x при делении на 9 дает остатки: 2; 4; 8; 7; 5; 1. (из п.6.2) x¹2m, тогда возможно 3 варианта.

1*)

z=6k+1, x=6m+1 ,откуда 11(116k-1)+11-2(26m-1)-2=3y.

7a+7b+9=3yÛ 7d+2=3y, тогда 3y при делении на 7 дает остаток 2.

3y при делении на 7 дает остатки: 3; 2; 6; 4; 5; 1. Откуда y=6k+2, что противоречит условию(y=4n+1)

2*)

z=6k+3, x=6n+3, откуда 113(116k-1)+113-23(26n-1)-23=3y 7a+7b+7×189=3y

7d=3y, тогда 3y:7 , что невозможно.

3*)

z=6k+5, x=6n+5 откуда

115(116k-1)+115-25(26n-1)-25=3y

7a+5=3y, тогда 3y при делении на 7 дает остаток 5.

3y при делении на 7 дает остатки: 3; 2; 6; 4; 5; 1. Откуда y=6k+5.

Получаем 116k+5-26m+5=36n+5. Заметим, что 36-1 делится на 13, тогда 36n-1 делится на 13 (См. Приложение.)

36n+5=35(36n-1)+ 35=13d+9.

Остатки от деления 11z на 13: 11;4;5;3;7;12;2;9;8;10;6;1.

Остатки от деления 2x на 13: 2;4;8;3;6;12;11;9;5;10;7;1.

Получаем 116k+5º7 (mod 13) и 116k+5º6 (mod 13), а

26k+5º6 (mod 13) и 26k+5º7 (mod 13).

Тогда возможны варианты : 116k+5=13a+7 или 116k+5=13a+6, а

26k+5=13b+6 или 26k+5=13b+7.

116k+5-26m+5=(13a+7)-(13b+6)=13(a-b)+1,

116k+5-26m+5=(13a+7)-(13b+7)=13(a-b),

116k+5-26m+5=(13a+6)-(13b+6)=13(a-b),

116k+5-26m+5=(13a+6)-(13b+7)=13(a-b)-1=13c+12,

что противоречит равенству 36n+5=13d+9.

Ответ: (1;2;1);(3;1;1).

7. Решение уравнения 2x+3y=13z

1.) Рассмотрим остатки при делении на 13 2x и 3y

Остатки 2x при делении на 13: 2;4;8;3;6;12;11;9;1.

Остатки 3у при делении на 13: 3,9,1. Откуда x=2m.

2.) Пусть x=2, тогда имеем уравнение 4+3y=11z.

13z-3y=4.

Рассмотрим остатки от деления 13z и 3y на 4:

13z на 4:1.

3y на 4: 3;1. Получили, что y=2n. Тогда 13z-4=32n,

13z-4=9n, при n=1 решение(2;2;1 решение 2x+3y=13z),

пусть n>1, тогда (13z-4):27.

Рассмотрим остатки от деления 13z на 27:

13z на 27: 13; 7; 10 22; 16; 19; 4; 25; 1. Откуда z=9k+7.

Заметим, что (139-1):10 Þ (139k-1):10.

139k+7-4=9n Û 137(139k-1)+137-4=9n учитывая что (139k-1):10,

получаем 10a+7-4=9n Û 9n-3=10a Þ (9n-3):10, что невозможно