Вероятность безотказной работы P(t) является убывающей функцией времени и обладает свойствами: в начальный момент времени равна 1: Р(0) = 1, а при t →∞ стремится к нулю (так как N(t→∞)→0).
На практике иногда более удобной характеристикой является вероятность отказа Q(t). Безотказная работа аппаратуры и появление отказа являются событиями несовместимыми и противоположными, поэтому их вероятности подчиняются условию
P(t) + Q(t) = 1.
Следовательно,
Q(t) = 1 - P(t). (11.2)
Частотой отказов называется отношение числа образцов, отказавших за единицу времени, к числу изделий, первоначально поставленных на испытания:
f(t) = n(t)/ΔtN0 , (11.3)
число n(t) равно разности количества образцов, исправно работавших в начале интервала Δt и оставшихся работоспособными в конце этого интервала, т. е.
n(t) = N(t) - N(t + Δt).
Количество работоспособных изделий в начале и конце интервала можно выразить через вероятность того, что в соответствующие моменты времени не произойдет отказа:
N(t) = N0P(t); N(t + Δt) = N0P(t + Δt).
Подставляя эти значения в (11.3), получим
f(t) = ((P(t) – P(t + Δt)) / Δt.
Устремив Δt к нулю и перейдя к пределу, получим
f(t) = -lim [(P(t+Δt)-P(t))/Δt] = -(dP(t)/dt) = dQ(t)/dt. (11.4)
Δt→0
Таким образом, частота отказов есть плотность вероятности распределения времени работы изделия до первого отказа. Соответственно вероятность появления отказа за время t будет равна
t
Q(t) = ∫ f(t)dt, (11.5)
0
а вероятность безотказной работы
t ∞
P(t) = 1- ∫ f(t)dt = ∫ f(t)dt. (11.6)
0 t
Опасность отказов (интенсивность) может быть выражена как отношение числа изделий, отказавших за единицу времени, к среднему числу Ncp исправно работавших изделий в тот же промежуток времени:
λ(t) = n(t) / ΔtNcp. (11.7)
Подставим в это выражение значение n(t):
λ(t) = (N0[P(t)-P(t+Δt)]) / NcpΔt.
Так как Ncp/N0 при большом N0 есть вероятность безотказной работы P(t), то, устремив Δt к нулю и переходя к пределу, получим
λ(t) = -(1/P(t))lim [(P(t+Δt)-P(t))/Δt] = -(1/P(t))(dP(t)/dt), (11.8)
Δt→0
или, с учетом (11.4),
λ(t) = f(t) / P(t).
Интегрируя выражение (11.8), окончательно будем иметь:
t t
∫λ(t)dt = -∫(dP(t)/P(t)) = - ln P(t). (11.9)
0 0
Отсюда следует основная формула теории надежности:
t
P(t) = exp [-∫λ(t)dt]. (11.10)
0
Среднее время безотказной работы характеризует наработку до возникновения первого отказа и определяется как математическое ожидание непрерывной случайной величины — времени работы изделия до отказа:
∞ ∞
T0 = ∫ tf(t)dt = ∫t[-(dP(t))/dt]dt. (11.11)
0 0
Интегрируя по частям, получим
∞ ∞
T0 = - tP(t)| + ∫ P(t)dt.
0 0
Учитывая, что Р(0) = 1, Р(∞) = 0, имеем
∞
Т0 = ∫p(t)dt. (11.12)
0
Как показывает практика, типичная зависимость интенсивности отказов от времени имеет три характерных участка (рис. 11.1) На начальном участке (от 0 до t1, называемом периодом приработки, наблюдается повышенная частота отказов, что объясняется быстрым выходом из строя всех элементов со скрытыми дефектами. Затем начинается период нормальной работы (от t1 до t2), когда интенсивность отказов остается более или менее постоянной. После этого начинается период старения, при котором количество отказов начинает быстро увеличиваться из-за износа элементов.
Рис. 11.1. Зависимость интенсивности отказов от
продолжительности работы оборудования
В период нормальной эксплуатации, когда интенсивность отказов остается примерно постоянной, опасность отказа, вероятность безотказной работы и среднее время безотказной работы определяются выражениями (см. (11.10) и (11.12)):
λ(t) = λ = const; P(t) = e-λt; Т0 = 1/λ. (11.13)
Из (11.13) нетрудно определить гарантированное время безотказной работы tγ, в течение которого изделие не выйдет из строя с гарантированной вероятностью P(t≤tγ)≥ γ; γ є [0; 1,0]:
tγ = (1/λ) lnγ = -T0 lnγ. (11.13а)
В частности, если γ є [0,9; 1,0], то справедливо:
tγ = T0 (1-γ).
Экспоненциальный закон распределения вероятности (11.13)
справедлив для большинства радиоэлектронных и многих механических систем при наличии внезапных отказов типа механических поломок, а также обрывов и коротких замыканий в электрических элементах. Обязательным условием применимости экспоненциального закона распределения является окончание периода приработки и отсутствие заметного старения.
В период старения опасность отказов начинает возрастать вследствие увеличивающегося износа элементов. Это особенно характерно для таких устройств, как электровакуумные приборы, в частности электронно-лучевые трубки и дисплеи, подшипники и другие элементы с трением. Распределение вероятностей наработки в этом случае может быть представлено законом нормального распределения.
Для вероятностного описания периода приработки, когда происходит быстрое «выгорание» ненадежных элементов, может быть использовано логарифмически-нормальное распределение.
Наиболее общим распределением времени безотказной работы, пригодным для всех режимов работы, в том числе для периода приработки, является распределение Вейбулла:
f(t) = βtβ-1exp(-λtβ), (11.14)
где β — параметр формы, β > 0; λ — параметр масштаба.
В зависимости от значения постоянных λ и β распределение Вейбулла описывает закономерности отказов технических устройств в различных режимах. При β < 1 интенсивность отказов монотонно убывает, что соответствует периоду приработки. При β > 1 интенсивность возрастает, что происходит, когда имеет место старение, а при β = 1 распределение совпадает с экспоненциальным и соответствует периоду нормальной работы, когда интенсивность отказов постоянная.
Наиболее удобной характеристикой надежности простых элементов, в частности компонентов средств измерения в режиме нормальной работы, является опасность (интенсивность) отказов λ, так как она имеет постоянную величину и ее сравнительно легко получить экспериментальным путем. Обычно она приводится либо в процентах на 1000 ч работы, либо в виде десятичной дроби на 1 ч. Для большинства отдельных элементов опасность (интенсивность) отказов составляет порядка 1/ч. Таким образом, теоретически (см. формулу (11.13)) время работы отдельных элементов может составлять несколько миллионов часов, т. е. соответствовать непрерывной работе более тысячи лет. Совершенно очевидно, что ни один элемент не работает столь продолжительное время, так как аппаратура стареет и изнашивается гораздо раньше. Кроме того, основная доля отказов приходится не на сами элементы, а на их соединения, в частности, для электронной аппаратуры — на паяные и сварные контакты и другие внутрисхемные соединения.
Процесс восстановления (оживления) аппаратуры также удобно описывать на вероятностно-статистическом языке. При этом время восстановления tв, как период времени от момента начала ремонта до его окончания, можно считать случайной величиной с распределением вероятности P(t):
PВ (t) = P(tВ ≤ t).
По физическому смыслу: PВ (t=0)=0, PВ (t =∞)=1. Удобно принять, что
PB(t) = 1-e-µt; (dPВ(t)/dt)=µt-µt, (11.15)
где µ — показатель интенсивности восстановления (аналог λ — интенсивности отказа в (11.13)).
Функция dPB(t)/dt имеет смысл плотности распределения вероятности (т. е. закона распределения времени восстановления). В таком случае можно определить среднее время восстановления Тв:
∞
TB=∫t(dPB(t)/dt)dt = 1/µ. (11.16)
0
Величины µ и Тв определяются на основе статистических испытаний для конкретных типов аппаратуры (элементов, блоков).
Для оценки надежности как отдельного электрорадиоэлемента (транзистора, диода, резистора и т. п.), так и блока (системы) в целом используют следующие показатели (см. гл. 2):
1) интенсивность отказов λ (среднее число отказов в час);
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 |
