МЕТОДИ РЕНОРМАЛІЗАЦІЙНОЇ ГРУПИ В
КВАНТОВІЙ ТЕОРІЇ ПОЛЯ
Лектор: кандидат фіз.-мат. наук, cт. наук. співр. Шадура Віталій Миколайович.
Викладач: кандидат фіз.-мат. наук, cт. наук. співр. Шадура Віталій Миколайович.
НАВЧАЛЬНО-ТЕМАТИЧНИЙ План ЛЕКЦІЙ І СЕМІНАРСЬКИХ ЗАНЯТЬ
№ теми | Назва лекції | Кількість годин | |||
лекції | семінари/ лаборат., практичні | самост. робота | Інші форми конт. | ||
Змістовий модуль 1 | |||||
1 | Ренормалізаційна група і фізика фазових переходів та квантових критичних явищ | 4 | 2 | ||
2 | Теорія середнього поля Ландау | 2 | 2 | 4 | |
3 | Зв‘язок моделі взаємодіючого скалярного поля та моделі Ізінга | 2 | 2 |
| |
4 | Гаусове наближення в моделі взаємодіючого скалярного поля та критерій Гінзбурга порушення теорії Ландау | 2 | 4 | ||
5 | Теорія збурень для моделі взаємодіючого скалярного поля | 2 | 2 | 4 | |
6 | Ефективна дія моделі взаємодіючого скалярного поля та ії обчислення в однопетльовому наближенні | 2 | 4 | ||
Модульна контрольна робота (аудиторна) | 2 | ||||
Змістовий модуль 2 | |||||
7 | Гіпотеза скейлінгу для вільної енергії і кореляційних функцій та співвідношення між критичними індексами | 2 | 2 | 4 | |
8 | Феноменологічний вивід скейлінгу за допомогою блочної конструкції Каданова | 2 | 6 | ||
9 | Основні ідеї ренормалізаційної групи Вильсона | 2 | 2 | 4 | |
10 | Ренормгрупа Вільсона для двовимірної моделі Ізінга | 2 | 4 | ||
11 | Ренормгрупа Вильсона для моделі взаємодіючого скалярного поля. | 2 | 2 | 4 | |
12 | Обчислення критичних індексів за допомогою e - розкладу | 2 | 4 | ||
13 | Поправки до скейлінгових співвідношень | 2 | 4 | ||
14 | Ренормгрупові рівянння Гелмана-Лоу | 2 | 2 | 4 | |
15 | Ренормгрупові рівянння Калана-Сіманзіка | 2 | 4 | ||
Модульна контрольна робота (аудиторна) | 2 |
Змістовий модуль 1
Лекція 1-2.
Ренормалізаційна група і фізика фазових переходів та квантових критичних
явищ – 4 год.
Зв‘язок між квантовою теорією поля і статистичною механікою. Визначення фазових переходів першого і другого роду та квантових критичних явищ. Приклади цих фазових переходів. Визначення критичних індексів. Фазовий перехід в квантовому ланцюжку Ізінга в поперечному полі як приклад квантових критичних явищ.
Лекція 3.
Теорія середнього поля Ландау – 2 год.
Основні положення теорії середнього поля Ландау. Обчислення критичних індексів в феромагнетику за допомогою теорії середнього поля Ландау. Кореляційні функції в теорії середнього поля Ландау
Практичне заняття 1.
Теорія середнього поля Ландау з багатокомпонентним
параметром порядку – 2 год.
Обчислення критичних індексів. Спонтанне порушення симетрії. Теорема Голдстоуна.
Практичне заняття 2.
Зв‘язок моделі взаємодіючого скалярного поля та моделі Ізінга – 2 год.
Представлення статистичної суми моделі Ізінга у вигляді функціонального інтегралу для самодіючого скалярного поля.
Практичне заняття 3.
Гаусове наближеня в ефективній теорії поля та критерій Гінзбурга порушення теорії Ландау – 2 год.
Обчислення питомої теплоємності в гаусовому наближенні. Критерій Гінзбурга порушення теорії середнього поля Ландау.
Лекція 4.
Теорія збурень для моделі взаємодіючого скалярного поля
Функціональний інтеграл для моделі скалярного поля з самодією четвертої степені та теорія збурень. Генеруючі функціонали для зв‘язаних та одночастинково незвідних функцій Гріна. Ефективна дія.
Практичне заняття 4.
Теорія збурень для моделі взаємодіючого скалярного поля з самодією
шостої степені – 2 год.
Практичне заняття 5.
Ефективна дія моделі взаємодіючого скалярного поля та ії обчислення
в однопетльовому наближенні – 2 год.
Обчислення вкладу в ефективну дію фейнманівських діаграм древесного і наближення середнього поля Ландау. Обчислення однопетльових фейнманівських діаграм у теорії скалярного поля з самодією четвертої степені у всіх порядках теорії збурень та сумування всіх однопетльових діаграм.
Змістовий модуль 2
Лекція 5.
Гіпотеза скейлінгу для вільної енергії і кореляційних функцій та співвідношення між критичними індексами – 2 год.
Вивід співвідношень між критичними індексами з гіпотези властивості узагальненої однорідності сингулярного вкладу у вільну енергію та кореляційну функцію в околі критичної точки.
Практичне заняття 6.
Гіпотеза скейлінгу для систем з скінченими розмірами («скейлінг скінченого розміру»)– 4 год.
Властивості узагальненої однорідності термодинамічних потенціалів для скінчених систем в критичній точці. Перевірка скейлінгу скінченого розміру на прикладі точнорозв‘язуваних моделей.
Практичне заняття 7.
Феноменологічний вивід скейлінгу за допомогою блочної конструкції
Каданова – 2 год.
Блочна конструкція Каданова, ефективний параметр порядку в околі критичної точки та ефективні гамільтоніани. Рекурсивні співвідношення для ефективних гамільтоніанів.
Лекція 6.
Основні ідеї ренормалізаційної групи Вильсона – 2 год.
Опис критичних точок за допомогою нерухомих точок ренормалізаційних перетворень для ефективних гамільтоніанів. Ренормалізаційні перетворення в околі нерухомих точок, критичні індекси та класифікація ефективних гамільтоніанів в околі нерухомих точок. Ренормгрупові потоки. Вивід скейлінгу.
Практичне заняття 8.
Ренормгрупа Вільсона для одновимірної моделі Ізінга – 2 год.
Обчислення ренормалізаційних перетворень, нерухомих точок та ренормалізаційних потоків в одновимірній моделі Ізінга.
Практичне заняття 9.
Ренормгрупа Вільсона для двовимірної моделі Ізінга – 2 год.
Обчислення рекурентних співвідношень для ефективних гамільтоніанів в трикутній моделі Ізінга за допомогою явної конструкції блочних спинів Каданова за теорією збурень. Знаходження нерухомих точок та ренормгрупових потоків в двовимірній моделі Ізінга, класифікація нерухомих точок
Лекція 7.
Ренормгрупа Вильсона для моделі взаємодіючого скалярного поля – 2 год.
Ренормгруппові перетворення Вільсона в імпульсному просторі. Обчислення реногрупових перетворень за теорією збурень. e - регуляризація фейнманівських діаграм. Обчислення нерухомих точок.
Практичне заняття 10.
Ренормгрупа Вільсона для вільної моделі скалярного поля – 2 год.
Обчислення реногрупових перетворень, нерухомих точок, ренормгрупових потоків та критичних індексів для моделі вільного скалярного поля.
Практичне заняття 11.
Обчислення критичних індексів за допомогою e - розкладу – 2 год.
Обчислення критичних індексів у вигляді рядів по e = 4-d за допомогою
e - регуляризації фейнманівських діаграм.
Практичне заняття 12.
Поправки до скейлінгових співвідношень – 2 год.
Обчислення поправок до скейлінгу за допомогою ренормгрупи Вільсона для моделі взаємодіючого скалярного поля.
Лекція 8.
Ренормгрупові рівняння Гелмана-Лоу – 2 год.
Вивід ренормгрупових рівнянь Гелмана-Лоу. Розв‘язки рівнянь Гелмана-Лоу. Зв‘язок з ренормгруппою Вільсона.
Практичне заняття 13.
Ренормгрупові рівняння Гелмана-Лоу в моделі взаємодіючого скалярного поля – 2 год.
Обчислення b - функцій в рівнянні Гелмана-Лоу для теорії скалярного поля з самодією четвертої степені за допомогою e - регуляризації фейнманівських діаграм.
Практичне заняття 14.
Ренормгрупові рівняння Калана-Сіманзіка – 2 год.
Вивід ренормгрупових рівнянь Калана-Сіманзіка. Розв‘язки рівнянь Калана-Сіманзіка. Зв‘язок з ренормгруппою Вільсона.
Контрольні запитання:
1. Фазовий перехід рідина–газ. Параметр порядку та критична точка.
2. Фізика фазового переходу в квантовому ланцюжку Ізінга в поперечному полі.
3. Критичні індекси для фазового переходу в феромагнетиках.
4. Співвідношення між критичними індексами.
5. Значення критичних індексів в теорії середнього поля.
6. Критичні індекси для кореляційної функції в феромагнетику.
7. Крітерій Гінзбурга.
8. Аналіз розмірності фізичних величин в теорії середнього поля.
9. Аномальні розмірності в квантовій теорії поля і критичні індекси.
10. Генеруючий функціонал для зв‘язаних функцій Гріна.
11. Ефективна дія.
12. Правила для діаграм Фейнмана в моделі скалярного поля з самодією четвертої степені.
13. Однопетльові діаграми для ефективної дії в моделі скалярного поля з самодією четвертої степені.
14. Скейлінг скінченого розміру.
15. Блочний спін та рекурентні співвідношення Каданова.
16. Основні положення ренормгрупи Вільсона.
17. Нерухомі точки ренормгрупового перетворення і критичні точки.
18. Ренормгрупові деференціальні рівняння в теорії вільсона.
19. Нерухомі точки та ренормгрупові потоки в двовимірній моделі Ізінга.
20. Істотні, неістотні та маргінальні змінні в околі нерухомої точки.
21. Критичні індекси і нерухомі точки ренормгрупового перетворення.
22. e - регуляризація фейнманівських діаграм.
23. Нерухомі точки та ренормгрупові потоки в теорії вільного скалярного поля в першому порядку по e.
24. Нерухомі точки та ренормгрупові потоки в моделі скалярного поля з самодією четвертої степені в першому порядку по e.
Теми для самостійної роботи:
1. Рівняння Ван-дер-Ваальса в моделі граткового газу і фазовий перехід рідина–газ.
2. Теорія середнього поля Ландау для трикритичної точки.
3. Ефективна дія в однопетльовому наближенні в моделі скалярного поля з самодією шостої степені.
4. Теорія середнього поля Ландау для магнетиків з модульованими фазами.
5. Обчислення b - функцій в рівнянні Гелмана-Лоу для теорії скалярного поля
з самодією шостої степені за допомогою e - регуляризації фейнманівських діаграм.
6. Ренормгрупові рівняння Калана-Сіманзіка для теорії скалярного поля
з самодією шостої степені.
Рекомендована література
1. Н.Н. Боголюбов, . Квантовые поля. М.: Наука.
Гл. ред. физ.-мат. лит., 1980.
2. Ш. Ма. Современная теория критических явлений. М.: Мир, 1980.
3. N. Goldenfeld. Lectures on phase transitions and thre renormalization group.
Perseus Book Publishing, 1992.
Програму склав: к. ф.-м. н.,
