Рабочая программа дисциплины Функциональный анализ (стр. 3 )

студентов.

Тест.

1. Какие из следующих пар множеств равномощны:

А) R и Q; B) Q и Z; C) C и Z; D) R и I; E) Q и I?

Выберите один из вариантов.

1) A, B, D; 2) B, C, D; 3) B, D.

2. Укажите верное утверждение: 1) ; 2); 3) .

3. Какие из данных множеств являются счетными:

А) ; B) множество точек окружности; С) ;

D) D =; E) множество простых чисел.

Выберите один из вариантов: 1) A, C, D; 2) A, D, E; 3) A, C, E

4. Какие из данных множеств имеют мощность континуума: А) [0; 1]; B) {0; 1};

C) D) множество точек окружности; Е) множество окружностей на плоскости с рациональными координатами центра и рациональным радиусом?

Выберите один из вариантов.

1) A, C, D; 2) A, D; 3) A, D, E.

5. Любое плоское множество, имеющее хотя бы одну внутреннюю точку является:

1) счетным; 2) имеет мощность континуума; 3) может иметь разную мощность.

6. А – множество точек плоскости, В – множество точек прямой. Какое из утверждений верно:

1) ; 2) 3)

7. Между какими из данных множеств можно установить взаимно-однозначное соответствие?

А) интервал (0; 1) и луч [0; +); В) и N;

C) множество окружностей на плоскости с данным центром и множество натуральных чисел;

D) интервал (-1; 0) и множество иррациональных чисел; Е)

Выберите один из вариантов. 1) А, В, Е; 2) А, В; 3) А, В, D, E.

8. А = [a; b]; B = Q[a; b]. Какое из утверждений верно?

1) ; 2) ; 3) .

9. А и В счетные множества. Какое из утверждений верно?

1) ; 2) ; 3) для сравнения мощностей множеств АВ и А не хватает данных.

10. Мера Лебега множества равна

1) 1; 2) 4; 3) 2; 4) 0.

11. Мера Лебега множества равна

1) 1; 2) 4; 3) 2; 4) 0.

Вопросы к собеседованию.

1.  Множества измеримые по Лебегу.

2.  Теоремы об измеримых множествах.

3.  Функции, измеримые по Лебегу, их свойства.

4.  Интеграл Лебега от ограниченной функции и его свойства.

5.  Предельный переход под знаком интеграла Лебега.

6.  Сравнение интегралов Римана и Лебега.

7.  Интеграл Лебега от произвольной неотрицательной функции.

8.  Понятие метрического пространства. Примеры метрических пространств.

9.  Сходимость в метрических пространствах. Полные метрические пространства.

10.  Принцип сжимающих отображений.

Вопросы к коллоквиуму.

1.  Применение принципа сжимающих отображений к решению алгебраических уравнений.

2.  Применение принципа сжимающих отображений к решению систем линейных алгебраических уравнений.

3.  Применение принципа сжимающих отображений к решению интегральных уравнений.

4.  Применение принципа сжимающих отображений к нахождению пределов последовательностей, заданных рекуррентно.

5.  Линейные нормированные пространства, их связь с метрическими.

6.  Примеры банаховых пространств.

7.  Неравенства Гельдера и Минковского.

8.  Пространства LP, их полнота.

9.  Норма в предгильбертовом пространстве. Примеры.

10.  Тождество параллелограмма.

11.  Непрерывные линейные операторы. Норма оператора.

12.  Пространство линейных операторов, его полнота.

13.  Ядро и образ линейного оператора. Обратный оператор.

14.  Обратный оператор. Теорема Банаха об обратном операторе.

15.  Линейные функционалы. Общий вид линейных функционалов в некоторых функциональных пространствах.

16.  Универсальность пространства С[0,1].

Контрольная работа

Вариант 1.

1. Задает ли норму на числовой прямой функция .

2. Проверьте, что С[a, b] – нормированное пространство.

3. Найдите норму функции в пространстве С[a, b].

4. Докажите, что последовательность имеет предел и найдите его.

5. Решите интегральное уравнение .

6. Докажите, что функция интегрируема по Лебегу на [0, 1] и найдите .

Вариант 2.

1. Задает ли норму на числовой прямой функция .

2. Проверьте, что С1[a, b] – нормированное пространство.

3. Найдите норму функции в пространстве С1[a, b].

4. Докажите, что последовательность имеет предел и найдите его.

5. Решите интегральное уравнение .

6. Докажите, что функция интегрируема по Лебегу на [0, 2] и найдите .

Вопросы к зачету

1.  Множества измеримые по Лебегу.

2.  Теоремы об измеримых множествах

3.  Интеграл Лебега от ограниченной функции и его свойства.

4.  Предельный переход под знаком интеграла.

5.  Сравнение интегралов Римана и Лебега

6.  Метрические пространства.

7.  Полнота и сходимость в метрических пространствах.

8.  Принцип сжимающих отображений.

9.  Применение принципа сжимающих отображений к решению алгебраических уравнений.

10.  Применение принципа сжимающих отображений к решению систем линейных алгебраических уравнений.

11.  Применение принципа сжимающих отображений к решению интегральных уравнений.

12.  Применение принципа сжимающих отображений к нахождению пределов последовательностей, заданных рекуррентно.

13.  Линейные нормированные пространства, их связь с метрическими пространствами.

14.  Примеры банаховых пространств.

15.  Неравенства Гельдера и Минковского.

16.  Пространства LP, их полнота.

17.  Норма в предгильбертовом пространстве. Примеры.

18.  Тождество параллелограмма.

19.  Непрерывные линейные операторы. Норма оператора.

20.  Пространство линейных операторов, его полнота.

21.  Ядро и образ линейного оператора. Обратный оператор.

22.  Обратный оператор. Теорема Банаха об обратном операторе.

23.  Линейные функционалы. Общий вид линейных функционалов в некоторых функциональных пространствах.

24.  Пространства основных и обобщенных функций. Свойства обобщенных функций.

25.  Дифференцирование в линейных пространствах.

26.  Экстремальные задачи.

27.  Метод Ньютона.

28.  Банаха-Штейнгауза, ее приложения.

7. Учебно-методическое и информационное обеспечение

дисциплины “Функциональный анализ”

а) основная литература:

Учебники и учебные пособия.

1. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука. 1976.

2. , Соболев курс функционального анализа. М.: Высшая школа. 1982.

3. Треногин В. А. Функциональный анализ. М.: Наука. 1980.

4. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука. 1984.

5. Вулих в функциональный анализ. М.: Наука. 1990.

6. Лебедев В. И. Функциональный анализ и вычислительная математика. – М.: Физматлит, 2000.

Задачники.

1. Городецкий решения задач по функциональному анализу. М.: Высшая школа. 1990.

2. Треногин В. А. и др. Задачи и упражнения по функциональному анализу. М.: Мир. 1984.

3. , , Граев функционального анализа в задачах. М.: Просвещение. 1988.

б) дополнительная литература:

Учебники и учебные пособия.

1. Приложения функционального анализа и теории операторов. М.: Мир.

1983.

2. Садовничий В. А. Теория операторов. М.: Высшая школа. 1999.

3. Банах С. Теория линейных операций. – М.: R&C, 2001.

4. Пугачев В. С. Лекции по функциональному анализу. М.: Изд-во МАИ. 1996.

5. Лекции по математике. Том 5. Функциональный анализ. М. Изд-во: КомКнига.

2005.

6. Кутателадзе функционального анализа.3-е издание. Новосибирск.

Изд-во: Новосибирский Институт Математики. 2000.

Задачники.

1. , , Филиппов по функциональному анализу. Нижний Новгород. Изд-во: НижнеНовгородский Гос Университет. 1998.

в) Программное обеспечение и Интернет-ресурсы.

№	Название	Электронный адрес	Содержание
1.	Math.ru	www. math. ru	Сайт посвящён математике (и математикам. Этот сайт — для школьников, студентов, учителей и для всех, кто интересуется математикой. Тех, кого интересует зона роста современной науки математика.
2.	Exponenta.ru	www. exponenta. ru	Студентам: - запустить установленный у Вас математический пакет, выбрать в списке примеров, решенных в среде этого пакета, подходящий и решить свою задачу по аналогии; Преподавателям: - использовать математические пакеты для поддержки курса лекций. Всем заинтересованным пользователям: 1.  – можно ознакомиться с примерами применения математических пакетов в образовательном процессе. 2.  – найти демо-версии популярных математических пакетов, электронные книги и свободно распространяемые программы.
3.	Математика	www. mathematics. ru	учебный материал по различным разделам математики – алгебра, планиметрия, стереометрия, функции, графики и другие.
4.	Truba. nnov	www. truba. nnov. ru	Сайт о математическом анализе.
5.	fismat	www. fismat. ru	Высшая математика для студентов – интегралы и производные, ряды; лекции, задачи, учебники.
4.	Российское образование.	www. edu. ru	федеральный образовательный портал: учреждения, программы, стандарты, ВУЗы, тесты ЕГЭ.
6.	Математика для студентов и прочее.	www. xplusy. isnet. ru	содержит большое количество видеолекций для школьников, абитуриентов и студентов по математике и физике.

8. Материально-техническое обеспечение дисциплины

«Функциональный анализ»

Для освоения данной дисциплины необходимы:

– мультимедийные средства обучения (компьютер и проектор; интерактивная доска; Интернет - ресурсы).

Рабочая программа дисциплины «Функциональный анализ» составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций примерной ООП ВПО по направлению подготовки

_010400 Прикладная математика и информатика

и профилю подготовки

Системное программирование и компьютерные технологии

Программу составили:

1._ кандидат физ.- мат. наук, _доцент________ __

2.__ кандидат физ.- мат. наук, _доцент __________________

Настоящая программа не может быть воспроизведена ни в какой форме без предварительного письменного разрешения кафедры-разработчика программы.

Программа одобрена на заседании кафедры _математического анализа

Протокол № ___ от «____» _________ 2011 года

Зав. кафедрой математического

анализа ___________________________

(подпись)

Программа одобрена учебно-методическим советом физико-математического факультета

Протокол № ___ от «____» ______________ 2011 года

Председатель учебно-методического совета

физико-математического факультета ___________________________

(подпись)

Программа одобрена учебно-методическим управлением университета

«_____» _____________ 2011 года

Начальник учебно-методического

управления университета ___________________________

(подпись)