Контрольная работа 1 (стр. 2 )

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения.

1)  метод Крамера.

Решение

Выпишем основную матрицу системы и столбец свободных членов:

, .

Вычислим определитель:

.

Пусть — определитель системы; — определитель, полученный из определителя системы заменой j–ого столбца столбцом свободных членов. По формулам Крамера вычисляем определители:

.

.

.

Применим формулы Крамера:

.

Ответ: .

2)  метод Гаусса

Решение

Составим расширенную матрицу системы и сведем ее с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду:

Перейдем к равносильной системе уравнений:

Ответ: .

3)  с помощью обратной матрицы.

существует обратная матрица. Найдем алгебраические дополнения элементов ее определителя по формуле: .

Обратную матрицу находим по формуле:, где — присоединенная матрица, состоящая из алгебраических дополнений:

.

Проверка

.

Ответ: .

Задание 4. Линия задана уравнением в полярной системе координат. Требуется:

1)  построить линию по точкам, начиная от до , придавая значения через промежуток ;

2)  найти уравнение линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс с полярной осью;

3)  по уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить какая это линия.

.

Формулы перехода от полярных координат к декартовым координат:

, где — полярный радиус, — полярный угол.

, , .

Подставляя эти формулы в функцию, получаем:

.

Эта линия — эллипс, сдвинутый на 2 единицы вправо по оси , , Уравнение эллипса:

Построим линию по точкам, начиная от до , придавая значения через промежуток :

i	j	x	y
0	0	4	0
1	0,392699	3,560023	1,47461
2	0,785398	2,467125	2,467125
3	1,178097	1,169697	2,823898
4	1,570796	1,63E-16	2,666667
5	1,963495	-0,90504	2,184962
6	2,356194	-1,52595	1,525949
7	2,748894	-1,8836	0,780214
8	3,141593	-2	2,45E-16
9	3,534292	-1,8836	-0,78021
10	3,926991	-1,52595	-1,52595
11	4,31969	-0,90504	-2,18496
12	4,712389	-4,9E-16	-2,66667
13	5,105088	1,169697	-2,8239
14	5,497787	2,467125	-2,46713
15	5,890486	3,560023	-1,47461
16	6,283185	4	0

Задание 5. Дано комплексное число . Требуется:

1)  записать число в алгебраической, тригонометрической и показательной формах;

2)  найти все значения и изобразить их радиусами-векторами;

3)  найти , ответ записать в тригонометрической, алгебраической и показательной формах.

.

Решение

1)  Найдем алгебраическую форму числа :

.

Тригонометрическая форма числа:

.

Показательная форма числа:

.

2)  Правила извлечения корней, возведения в степень для комплексных чисел в тригонометрической форме задают формулы Муавра.

.

Т. к. , то в поле комплексных чисел существует 3 различных корня 3-й степени из числа :

,

;

3) 

— тригонометрическая форма числа.

— алгебраическая форма числа.

— показательная форма числа.
Контрольная работа 2

Задание 6. Найдите пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

a) 

b) 

.

c) 

.

d)  .

Воспользовавшись эквивалентностью: т. к. ~, ~.

e)  .

Воспользовавшись эквивалентностью: т. к. ~, получился 2-й замечательный предел: .

Задание 7. Найти производные данных функций:

а) .

б) .

.

в) .

.

г) .

Найдем производную сложно-показательной функции. Логарифмируем обе части равенства:

.

Дифференцируем равенство по , считая функцией от :

;

;

.

д) .

Найдем производную функции, заданной неявно. Дифференцируем равенство по , считая функцией от :

.

Задание 8. Найти и для заданных функций: а) , б) , .

а) .

.

.

б) , .

Если функция задана параметрически , то .

.

.

Задание 9. В прямоугольной системе координат через точку проведена прямая, образующая вместе с осями координат треугольник, расположенный в первом квадранте. Каковы должны быть отрезки, отсекаемые прямой на осях координат, чтобы сумма их была наибольшей?

Решение

Напишем каноническое уравнение прямой по точке , которая принадлежит прямой и вектору , параллельному этой прямой (в направлении вектора ).

.

Находим . Если , то:

.

Находим . Если , то:

.

Обозначим .

.

Чтобы найти наименьшую сумму отрезков, найдем производную этой функции и приравняем ее нулю.

.

Поскольку по условию треугольник находится в 1-м квадранте, то должны быть и .

Ответ: отрезки, отсекаемые прямой на осях координат: , .

Задание 10. Исследовать функции методами дифференциального исчисления и на основании результатов исследования построить их графики.

а) б)

а) .

1.  Область определения функции ОДЗ:

.

2.  Функция общего вида; функция непериодическая.

3.  Найдем точки пересечения с осью ОХ: ;

― точки и .

Найдем точки пересечения с осью ОY: .

4.  Асимптоты функции:

― вертикальная асимптота.

Найдем наклонную асимптоту: .

.

.

― наклонная асимптота.

5.  Находим точки подозрительные на экстремум:

.

.

(точка — точка максимума).

(точка — точка минимума).

(точка — точка минимума).

				0
	+	0	-	0	+	не сущ.	-	0	+
		0,25				не сущ.		10,(6)
		max		min		экстр. нет		min

6.  Находим точки подозрительные на перегиб:

.— перегиб.

	-	0	+
		0,085
		перегиб

б) .

1.  Область определения функции ОДЗ:

.

2.  Функция общего вида; функция непериодическая.

3.  Найдем точки пересечения графика с осью :

— точек пересечения с осью нет.

Найдем точки пересечения графика с осью :

точка пересечения .

4.  Вертикальных асимптот нет.

Найдем наклонную асимптоту: .

.

Использовали правило Лопиталя:

― наклонная асимптота.

5.  Находим точки подозрительные на экстремум:

(точка — точка максимума).

		0
	+	0	-
		max

6.  Находим точки подозрительные на перегиб:

.

Решим биквадратное уравнение. Сделаем замену:

(точка — точка перегиба).

(точка — точка перегиба).

		-1		1
	+	0	-	0	+
		1,1		1,1
		перегиб			перегиб