Контрольная работа 1 (стр. 1 )

Контрольная работа 1

Вариант 4

Задание 1. Даны матрицы , , , .

1)  Найти матрицы , , , .

2)  Вычислить определитель матрицы .

1)  , , , .

Решение

Если число столбцов матрицы равно числу строк матрицы , то тогда определяется произведение матрицы на матрицу :

.

.

.

Элемент матрицы вычисляется как скалярное произведение i-й строки матрицы на j-й столбец матрицы .

.

.

.

2)  Определитель матрицы :

.

Это определитель третьего порядка. Вычислим его по формуле:

.

.

Вычислим определитель методом понижения порядка.

Используя свойства определителя, преобразуем исходный определитель так, чтобы во 2-м столбце все элементы, кроме одного стали нулями. Раскроем определитель по 2-му столбцу:

Задание 2. Даны координаты точек , , , : , , , .

1)  Доказать, что точки , , , не лежат в одной плоскости.

2)  Принимая точки за координаты вершин пирамиды, найти:

a)  длину ребра ;

b)  угол между ребрами и ;

c)  угол между ребром и гранью ;

d)  площадь грани ;

e)  объем пирамиды;

f)  уравнение плоскости ;

g)  уравнение прямой ;

h)  уравнение высоты, опущенной из вершины на грань .

Решение

1)  Для того, чтобы доказать, что точки , , , не лежат в одной плоскости построим по 3-м точкам уравнение плоскости и покажем, что 4-я точка не принадлежит этой плоскости, подставляя ее координаты в уравнение плоскости.

Уравнение плоскости имеет вид: ,

где — это точка, через которую проходит эта плоскость и — вектор нормали.

Найдем координаты векторов:

;

.

Вектор перпендикулярен векторам и и является вектором нормали к этой плоскости. Найдем векторное произведение:

.

Возьмем точку , через которую проходит искомая плоскость.

Напишем уравнение плоскости:

.

Точки и тоже лежат в плоскости, а точка не принадлежит этой плоскости. Подставим координаты точки в уравнение плоскости: .

Если точки , , , лежат в одной плоскости, то векторы , и лежат в этой же плоскости, т. е. смешанное произведение векторов должно быть равным нулю.

Найдем координаты вектора: .

Смешанное произведение:

векторы не компланарны точки , , , не лежат в одной плоскости.

2)  Длина ребра . Векторы, — найдены.

Длина вектора: .

Найдем длину вектора :

.

Угол между ребрами и — это угол между векторами и ,который найдем по формуле:

.

.

Найдем скалярное произведение векторов:

.

Угол между ребром и гранью .

Найдем угол между прямой и плоскостью . Уравнение прямой, проходящей через две точки и :

.

Найдем уравнение прямой :

Угол между прямой и плоскостью найдем из формулы:

,

где: .

Углом между прямой и плоскостью наз. угол , образованный направляющим вектором прямой и его проекцией на плоскости .

.

Площадь грани .

Площадь грани — это площадь треугольника :

.

; .

Векторное произведение векторов и :

— вектор нормали плоскости .

Длина векторного произведения равна площади параллелограмма, построенного на векторах, выходящих из одной точки.

.

Площадь треугольника — :

(ед2).

Объем пирамиды .

Модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах:

,

Найдем объем пирамиды:

.

Координаты векторов:

; ; .

Векторное произведение векторов и :

Cмешанное произведение:

.

(ед3).

Уравнение плоскости : .

Уравнение прямой :

Подставим координаты точек и .

.

Уравнение высоты, опущенной из вершины на грань .

Напишем уравнение перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость . Вектор нормали этой плоскости будет и направляющим вектором этой прямой:

.

Найдем проекцию точки на плоскости , т. е. точку пересечения перпендикуляра и плоскости.

.

Подставляем в уравнение плоскости:

.

Следовательно, проекцией точки на заданной плоскости буде точка .

Напишем уравнение прямой, проходящей через точки и :

— это уравнение высоты.

Задание 3. Дана система линейных уравнений. Доказать ее совместность и решить тремя способами:

1)  методом Крамера;

2)  методом Гаусса;

3)  средствами матричного исчисления.