Поэтому и возникает проблема нахождение более удобных выражений (так называемых асимптотик) для частных сумм расходящихся рядов при большом числе слагаемых. Ниже будет выведена одна такая формула.
Итак, нам надо оценить поведение сумм вида 
при 
. Мы построим такую оценку в тех предположениях о функции 
, которые были сделаны выше.
Начинаем с основного неравенства
.
Вычитаем из всех частей неравенства 
умножаем на 
и складываем, меняя k от 1 до п:
Обратите внимание на то, что, согласно предыдущему неравенству, все слагаемые в сумме 
положительны. Поэтому эта сумма монотонно возрастает с ростом п, но ее значения ограничены сверху величиной 
. Ссылаясь на теорему о пределе монотонно возрастающей последовательности можно утверждать, что существует конечный
.
А теперь отбросим этот предел. Но тогда мы обязаны в правой части добавить слагаемое, которое стремится к нулю и написать
,
где 
, то есть 
является бесконечно малой величиной.
Теперь имеем
,
,
.
Обозначая 
через С, получаем окончательную формулу
,
или, в явном виде,
,
правда константа С так и остается неопределенной и ее надо находить из каких-то других соображений.
Эта формула, являющаяся частным случаем гораздо более общей формулы, носящей название формулы Эйлера-Маклорена, и определяет асимптотику поведения частных сумм расходящегося ряда.
Пример.
Вернемся к 
. В данном случае, 
, 
, и мы получим
.
В данном случае константа С (она носит название постоянной Эйлера) есть 
Теперь можно считать эти суммы и при 
! Вот только бы еще оценить …(ищи формулу Эйлера-Маклорена).
9.7 Знакопеременные ряды
Пусть имеется последовательность чисел 
, такая, что 
. Ряд
называется знакопеременным рядом.
Признак Лейбница. Если 
, то ряд 
сходится.
Доказательство.
Рассмотрим следующую частную сумму изучаемого ряда
с чётным индексом 2m. Ее можно записать двояко. Записывая ее в форме
и вспоминая, что 
монотонно убывают, получаем, что все слагаемые положительны и поэтому 
монотонно возрастают с ростом m. С другой стороны, записывая эту же частную сумму в виде
,
так как все выражения, стоящие в скобках, опять-таки положительны. Поэтому, по теореме о пределе монотонно возрастающей последовательности, существует конечный 
.
Рассмотрим теперь частные суммы знакопеременного ряда с нечетным индексом. Имеем
.
Но тогда
.
Поэтому вообще 
и ряд сходится. <
Оценка остатка знакопеременного ряда
Пусть 
есть остаток знакопеременного ряда после п-го слагаемого.
Пусть 
. Тогда имеем:
.
Проделаем с этим выражением преобразования, аналогичные тем, которые проделывались с частными суммами. Группируя слагаемые так
получаем, что 
. Группируя слагаемые так
получаем, что 
. Окончательно имеем 
Пусть 
. Тогда имеем:
.
Но тогда
и все предыдущие рассуждения повторяются слово в слово. В этом случае 
.
Оба полученных неравенства можно объединить в одно
.
Словами его часто формулируют так: остаток знакопеременного ряда меньше первого отброшенного слагаемого.
9.8 Сходимость рядов с произвольными слагаемыми.
Пусть теперь 
есть вещественные числа произвольного знака. Рассмотрим критерии сходимости ряда 
.
Признак сходимости Больцано-Коши
Для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы
.
Доказательство.
Сходимость ряда , по определению, означает существование конечного предела его частных сумм 
. Но, по признаку Больцано-Коши для последовательности, для существования такого предела необходимо и достаточно, чтобы
.
Но легко видеть, что 
, что и дает доказываемый признак. <
Следствие. Если сходится ряд 
, то сходится и ряд .
Доказательство. В приводимой ниже цепочке следований два раза идет ссылка на признак сходимости Больцано-Коши
Ряд сходится Þ по признаку Больцано-Коши
.
Но тогда
< 
Þ
по тому же признаку ряд сходится. <
Определение. Если ряд сходится, то ряд называется абсолютно сходящимся рядом. Если ряд сходится, но 
, то ряд называется неабсолютно сходящимся рядом.
Пример неабсолютно сходящегося ряда.
Таким рядом является, например, ряд
,
который сходится по признаку Лейбница. Но ряд, составленный из модулей
расходится, как гармонический ряд с s = 1.
Признак Больцано-Коши не является рабочим признаком, но на его основе строятся рабочие признаки. Но, прежде, чем переходить к их изложению, рассмотрим один вспомогательный вопрос.
Преобразование Абеля
Пусть 
есть некоторые вещественные числа и 
. Тогда верна формула
.
Эта формула и называется преобразованием Абеля. Она является дискретным вариантом формулы интегрирования определенных интегралов по частям.
Доказательство.
Имеем
; 
; 
; … ;
Отсюда
; 
; 
; 
; …; 
.
Теперь имеем следующую цепочку преобразований:
. <
Признак Дирихле
Пусть
1. Все частные суммы ряда 
ограничены, то есть 
;
2. 
.
Тогда ряд 
сходится.
Доказательство.
1. Согласно первому ограничению мы имеем
Пусть
.
Тогда 
.
2. Þ 
.
3. Считая, что 
, 
, а также, что 
и 
используем преобразование Абеля. Получаем (вначале особых пояснений не требуется):
(делаем преобразование Абеля)
И тут наступает самый тонкий момент вывода. Вспомним, что, согласно ограничению 2, 
монотонно убывают. Поэтому все разности вида 
отрицательны, то есть 
. В силу этого
,
и, продолжая прерванный вывод, получим:
.
Но e сколь угодно мало. Поэтому, со ссылкой на признак сходимости Больцано-Коши, можно утверждать, что ряд сходится. <
Следствие. Если , то сходятся ряды 
(при 
) и 
(при любых х).
Доказательство.
Пусть 
. Начнем с известной со школы формулы
.
Имеем
k = 1: 
;
k = 2: 
;
k = 3: 
;
……………..
k = n: 
.
Складывая все эти равенства, получим:
.
Теперь мы имеем очень интересную формулу
.
Но тогда
,
если 
, то есть, если . По признаку Дирихле, при ряд сходится.
Для ряда все выкладки совершенно аналогичны, надо только начинать с формулы
.
Условие можно убрать, так как при 
и сумма ряда просто равна нулю.
Признак Абеля. Если ряд сходится (не обязательно абсолютно!), а последовательность чисел монотонна и ограничена, то ряд сходится.
Доказательство.
1. Ряд сходится Þ по признаку Больцано-Коши
.
2. Последовательность чисел ограничена Þ 
.
3. Дальнейшие выкладки сначала полностью повторяют признак Больцано-Коши
(делаем преобразование Абеля)
С этого момента начинаются отличия. Если раньше действовала оценка 
, то теперь будет оценка 
:
В этом месте - самый тонкий момент. Согласно ограничению, последовательность чисел монотонна Þ все разности 
одного знака, или все положительные, или все отрицательные. Поэтому можно записать
.
Поэтому, продолжая доказательство, можно записать:
.
Заключительная фраза та же самая: e сколь угодно мало. Поэтому, со ссылкой на признак сходимости Больцано-Коши, можно утверждать, что ряд сходится. <
9.9 Сочетательное свойство сходящихся рядов
Рассмотрим два ряда
который будем называть рядом (А), и ряд
,
который будем называть рядом (
).
Теорема. Если ряд (А) сходится, то ряд () тоже сходится и имеет ту же сумму.
Доказательство.
Пусть 
есть частная сумма ряда (А), то есть 
. Рассмотрим теперь частные суммы ряда (). Имеем
; 
; 
; … 
.
Но тогда, если 
, то и 
, потому, что последовательность 
есть подпоследовательность последовательности 
. <
Замечания.
1. Это свойство нельзя применять наоборот, то есть из сходимости ряда () не следует сходимость ряда (А). Другими словами, в сходящемся ряду собирать слагаемые в группы и заключать эти группы в скобки можно, а вот раскрывать скобки, вообще говоря, нельзя, точнее, надо делать это очень осторожно. Это можно делать лишь тогда, когда ряд, получающийся после раскрытия скобок, является сходящимся рядом, а это надо доказывать.
Пример. Ряд
сходится и сумма его равна нулю, а вот ряд, полученный после раскрытия скобок,
расходится, так как его общий член не стремится к нулю.
2. Это свойство неверно для расходящихся рядов, то есть в расходящемся ряду собирать слагаемые в группы и заключать эти группы в скобки нельзя.
Пример. Ряд
расходится, но ряды
,
сходятся, и имеют разные суммы.
9.10 Переместительное свойство сходящихся рядов
Фразу «от перемены мест слагаемых сумма не меняется» в школе так вбивают в голову, что она кажется аксиомой. Она действительно верна, если слагаемых конечное число. Но будет ли она верна, если слагаемых бесконечно много? Ответу на этот вопрос и посвящены две следующие теоремы.
Пусть дан сходящийся ряд 
(ряд А). Пусть 
есть некоторая перестановка чисел 
, причем чисел переставлено бесконечно много. Рассмотрим ряд 
(ряд 
), где 
. Будет ли выполняться равенство 
?
Теорема. Если ряд А сходится абсолютно, то ряд А’ тоже абсолютно сходится и имеет ту же сумму.
Доказательство.
1. Пусть 
и есть частная сумма рада А. Так как все слагаемые неотрицательны, то, очевидно, все частные суммы меньше суммы ряда А.
Рассмотрим теперь частные суммы ряда :
.
Возьмем 
. Тогда очевидно, что 
, так как в сумме 
не больше слагаемых, чем в сумме . Но 
, и поэтому 
и ряд сходится. При этом верно соотношение 
.
Но ряд А также получается из ряда перестановкой слагаемых. Поэтому должно одновременно выполняться и неравенство 
. Отсюда и следует, что .
2. Пусть теперь слагаемые ряда А могут иметь произвольный знак, но ряд, составленный из их модулей, сходится: 
.
Основная идея дальнейшего состоит в том, чтобы разбить ряд А на два ряда, в одном их которых будут собраны все положительные слагаемые, а в другом - все отрицательные. Представим себе, что мы просматриваем все слагаемые ряда А по порядку номеров. Если окажется, что 
, то обозначим его через 
(величины 
нумеруются в порядке их появления). Если окажется, что 
, то введем величину 
(величины 
также нумеруются в порядке их появления. Таким образом, вместо одного ряда А появятся два ряда 
и 
.
Так как 
частные суммы этих рядов удовлетворяют неравенствам 
, 
, то оба этих ряда сходятся. Далее очевидно, что 
и 
.
Но перестановка слагаемых в ряде А приведет лишь к перестановке слагаемых в рядах P и Q. Все слагаемые этих рядов положительные, следовательно, согласно п.1, от такой перестановки их суммы не изменятся, а поэтому не изменится сумма ряда А. <
Итак, в абсолютно сходящихся рядах от перестановки слагаемых из сумма не меняется. А как насчет неабсолютно сходящихся рядов?
Теорема Римана. Если ряд 
сходится неабсолютно, то, какое бы ни взять число В (конечное, или равное ± ¥), можно так переставить слагаемые в ряде, что его сумма станет равной В.
Так что от перестановки местами слагаемых сумма все-таки может меняться!
Доказательство.
1. Проделаем с нашим рядом ту же процедуру, что и в предыдущей теореме, и построим ряды P и Q. Но теперь ситуация меняется кардинально: есть конечное число, а 
. Это может быть лишь в том случае, когда 
и 
, то есть ряды P и Q расходящиеся.
2. Возьмем конечное число В. Пусть, для определенности, 
. Начнем строить новый ряд следующим образом.
Начнем сначала складывать положительные слагаемые из ряда Р. Так как этот ряд расходящийся, то есть его сумма равна + ¥, то на каком-то шаге накопленная сумма превзойдет число В. Мы остановимся, как только это произойдет в первый раз, то есть будет выполнено следующее
.
А теперь начнем прибавлять отрицательные слагаемые ряда А, то есть вычитать слагаемые ряда Q. Сумма этого ряда также равна + ¥, и поэтому на каком-то шаге накопленная сумма обязательно станет меньше В. Мы снова остановимся, как только это произойдет в первый раз, то есть будет выполнено следующее
,
.
Снова начнем прибавлять положительные слагаемые, пока накопленная сумма не превзойдет В, затем снова отрицательные, пока накопленная сумма не станет меньше В, и т. д. и т. д.
Эту процедуру можно проиллюстрировать следующим рисунком (рис. 9.3):
Рис. 9.3 | Каждый раз членов рядов P и Q берется не больше, чем необходимо для первого осуществления требуемого неравенства. Тогда отклонения накопленных сумм от В по модулю не превысят последнего написанного члена. В силу сходимости ряда А его общий член стремится к нулю. Следовательно, накопленные суммы стремятся к числу В, так что построенный ряд сходится и его сумма равна именно В. |
3. Пусть 
.
Возьмем последовательность чисел 
, такую, что
, 
.
Трудность заключается в том, что нам надо разместить не только положительные, но и отрицательные члены ряда. Поэтому поступаем следующим образом:
Сначала складываем положительные слагаемые до тех пор, пока их сумма в первый раз не превысит число В1:
.
Затем добавляем одно отрицательное слагаемое и снова добавляем положительные, пока их сумма в первый раз не превысит число В2:
.
Снова добавляем одно отрицательное слагаемое и снова добавляем положительные, пока их сумма в первый раз не превысит число В3 и т. д. Так как чисел 
счетное множество, то разместятся не только все положительные, но и все отрицательные слагаемые.
Очевидно, что сумма построенного таким образом ряда равна + ¥. <
Пример.
Рассмотрим ряд
,
который сходится по признаку Лейбница. Переставим его слагаемые по следующему правилу: после положительного слагаемого идут два отрицательных:
.
Из экономии, мы не будем доказывать, что этот ряд сходится - попробуйте сделать это сами.
Каждая тройка слагаемых имеет следующую структуру
,
Тогда построенный ряд принимает вид
,
так что сумма построенного ряда уменьшилась в два раза.
Таким образом, в неабсолютно сходящемся ряде можно переставлять местами только конечное число слагаемых, а вот переставлять местами бесконечное число слагаемых нельзя - можно получить все, что угодно.
9.11 Перемножение рядов
Пусть даны два ряда
(ряд А) и
(ряд В).
Как определить произведение этих рядов?
Рассмотрим бесконечную матрицу
,
составленную из всевозможных произведений вида 
. Нам надо сложить все элементы этой матрицы. Как это сделать? Моно, например, по диагоналям складывать
, (*)
а можно и так
,
можно еще тысячами разных способов. Но где гарантия, что все эти ряды имеют одну и ту же сумму?
Теорема Коши. Если ряды (А) и (В) сходятся абсолютно, то их произведение, составленное из слагаемых вида , взятых в любом порядке, также сходится и имеет своей суммой 
.
Доказательство.
Рассмотрим ряд вида
в которое входят все комбинации типа , и рассмотрим его частную сумму
.
Пусть 
. Тогда
,
где 
, 
. Следовательно, ряд 
сходится. В силу этого ряд 
сходится абсолютно и поэтому его слагаемые можно располагать в любом порядке. Беря частные суммы ряда С в виде
и поэтому 
. <
на практике чаще всего суммируют по диагоналям бесконечной матрицы, как в (*).
9.12 Двойные ряды
Обобщением рассмотренной выше ситуации является следующая. Дана бесконечная матрица
.
Рассмотрим суммы 
. Рассмотрим двойной предел, когда m и n одновременно независимо друг от друга стремятся в + ¥ (более строгое определение понятия двойного предела смотрите в следующей главе):
,
который называется двойным рядом, и обозначается символом 
.
Кроме этого можно рассмотреть и так называемые повторные пределы, когда в + ¥ уходит сначала n, а потом т
,
или, наоборот, сначала т, а потом п
.
Они называются повторными рядами.
Теорема. Если из трех рядов
, 
, 
то сходятся и два остальные и верно равенство
=
=
.
Доказательство.
1. Пусть 
. Тогда очевидно, что 
. Но 
монотонно возрастает с ростом п, и, в силу ограниченности сверху, существует конечный предел 
.
Но 
также монотонно возрастает с ростом т, и также ограничена сверху. Поэтому существует и повторный предел
и ряд сходится. Совершенно аналогично показывается сходимость ряда .
2. Пусть теперь 
. Тогда . Но монотонно возрастают с ростом п и т, и, в силу ограниченности сверху, существует двойной предел 
.
3. Сравнивая полученные неравенства легко получить, что суммы всех этих трех рядов равны между собой
==.
Но тогда ряды
, , .
сходятся абсолютно, и, в силу этого, в них можно произвольно переставлять слагаемые, их суммы от этого не изменятся. Поэтому
==. <
9.13 Бесконечные произведения
В заключение этой главы рассмотрим коротко достаточно экзотический раздел математического анализа - так называемые бесконечные произведения.
Определения.
Пусть имеем последовательность вещественных чисел 
, которые все отличны от нуля. Рассмотрим так называемые частные произведения
; 
; 
; … 
.
Предел 
называется бесконечным произведением. Если этот предел существует, конечен и отличен от нуля, то говорят, что бесконечное произведение сходится, в противном случае - расходится.
Величина 
называется остаточным произведением после п-го сомножителя.
Свойства
1. Если бесконечное произведение сходится, то " п сходится и остаточное произведение. Наоборот, если какое-то остаточное произведение сходится, то сходится и само бесконечное произведение и верна формула
Доказательство.
А) Пусть существует 
. Но тогда 
и, делая предельный переход N ® ¥, получим
.
Б) Пусть существует 
. Но тогда
и поэтому 
.
2. Если бесконечное произведение сходится, то 
.
Действительно, 
и поэтому 
.
3. Если бесконечное произведение сходится, то 
.
Действительно, 
и поэтому 
.
Следствие. Если бесконечное произведение сходится, то, начиная с некоторого N, все 
.
Этими простейшими свойствами мы ограничимся.
Признаки сходимости
Теорема 1. для того, чтобы бесконечное произведение сходилось необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд 
.
Доказательство.
Имеем
; 
; 
.
Используя непрерывность логарифмической и показательной функций, получаем:
А) 
Þ 
.
Б) 
Þ 
. <
Так как , то представим 
в виде 
. Тогда 
.
Теорема 2. Пусть, начиная с некоторого N, все 
. Тогда, для сходимости бесконечного произведения необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд .
Доказательство.
Так как , то 
. Далее, так как 
, то ряды и 
сходятся или расходятся одновременно. <
Теорема 3. Из сходимости рядов и 
следует сходимость бесконечного произведения.
Доказательство.
Примем без доказательства неравенство 
. Можете попытаться доказать его сами.
Далее, применяя правило Лопиталя, легко получить, что
.
Далее идет следующая цепочка следований:
Ряд сходится Þ ряд 
также сходится. Но так как сходится ряд , то сходится и ряд Þ бесконечное произведение сходится. <
Еще кое-что
Бесконечное произведение 
называется абсолютно сходящимся, если 
. Если ряд 
сходится, но 
, то бесконечное произведение называется неабсолютно сходящимся
В абсолютно сходящемся произведении можно как угодно переставлять сомножители - от этого оно не изменится. В неабсолютно сходящемся произведении перестановка сомножителей может изменить значение бесконечного произведения.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 |
Проекты по теме:
Основные порталы (построено редакторами)