Глава 9. Числовые ряды
9.1 Определения
Пусть дана последовательность вещественных чисел 
. Образуем новую последовательность по правилу
; 
; 
; … ; 
.
Эти величины называются частными суммами числового ряда, а слагаемое 
называют общим членом ряда.
Рассмотрим теперь 
. Он называется числовым рядом и обозначается символом
.
Если этот предел существует и конечен, то говорят, что числовой ряд сходится, а само значение предела, то есть величину А, называют суммой числового ряда. Если этот предел не существует или бесконечен, то говорят, что числовой ряд расходится (так как в данной главе других рядов не будет, то слово «числовой» мы будем опускать).
Обратите внимание на одну деталь: индекс суммирования в знаке бесконечной суммы может быть любым, то есть
,
от этого ничего не меняется. Как говорят, индекс суммирования является немым индексом, то есть он может быть обозначен любой буквой.
Величина
называется остатком ряда после n-го слагаемого. Его можно записать и так:
.
9.2 Простейшие свойства сходящихся рядов
1. Если ряд сходится, то сходится любой из его остатков. Наоборот, из сходимости остатка вытекает сходимость исходного ряда.
Доказательство.
Имеем:
- частная сумма исходного ряда и
- частная сумма остатка ряда после п-го слагаемого. Очевидно, что между этими величинами имеет место соотношение
Если ряд сходится Þ 
Þ 
Þ остаток ряда после п-го слагаемого.
Далее, 
, и поэтому
Если сходится остаток ряда после п-го слагаемого Þ 
Þ 
Þ исходный ряд сходится.
Обратите внимание на важное для дальнейшего соотношение 
.
Следствие. Отбрасывание или изменение конечного числа членов ряда не изменяет его сходимости.
2. Если ряд 
сходится, то 
.
Действительно, из соотношения 
получаем
.
3. Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю, то есть 
.
Действительно, из определения частных сумм легко видеть, что 
. Поэтому
Следствие. (важно!) Признак расходимости ряда.
Если общий член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится.
4. Если ряд сходится, то ряд 
тоже сходится и верно соотношение
. Действительно, для частных сумм наших рядов имеем
; 
Делая предельный переход 
, получаем
.
5. Если ряды и 
сходятся, то ряд 
тоже сходится и верно соотношение
.
Действительно, из определения частных сумм рядов получаем
; 
; 
.
Отсюда видно, что между частными суммами рядов верно соотношение
.
9.3 Признаки сходимости для рядов с положительными членами.
Как и в случае несобственных интегралов, важнейшим элементом теории числовых рядов является следующий: надо, не вычисляя ряда, ответить на вопрос, сходится он или нет. В конце концов, если он сходится, то его можно вычислить численно на ЭВМ, а вот если он расходится - попытки сосчитать его численно ни к чему хорошему не приведут.
В данном разделе будут
Рассмотрены признаки сходимости рядов с положительными членами. Итак, пусть даны два ряда и и выполнено условие 
и 
.
Теорема 1. Для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы
.
Доказательство. Имеем: 
и поэтому с ростом п 
. По теореме о существовании предела монотонно возрастающей последовательности, для существования конечного 
необходимо и достаточно,
. <
Теорема 2. Пусть даны два ряда (ряд А) и (ряд В) с положительными членами и выполнено условие 
. Тогда из сходимости ряда В следует сходимость ряда А, а из расходимости ряда А - расходимость ряда В.
Доказательство.
1. Пусть ряд В сходится Þ 
. Но 
Þ ряд А сходится.
2. Пусть ряд А расходится. Так как в этом случае , то это означает, что 
. Но так как 
, то 
и поэтому 
и ряд В расходится. <
Замечание. Так как Отбрасывание или изменение конечного числа членов ряда не изменяет его сходимости, то условие 
может выполняться лишь 
.
Признак сходимости Коши.
Пусть существует 
. Тогда
если с < 1, то ряд сходится;
если с > 1, то ряд расходится;
если с = 1, то вопрос о сходимости или расходимости ряда не может быть решен на основании данного признака.
Этот признак сходимости носит название признака Коши.
Прежде, чем доказывать признак Коши рассмотрим ряд 
, который называется геометрической прогрессией. Его частные суммы равны
.
Рассмотрим теперь возможные варианты.
1. Пусть 
. Тогда 
и поэтому 
и ряд сходится.
2. Пусть 
. Тогда общий член ряда не стремится к нулю и, по признаку расходимости, ряд расходится.
Таким образом, ряд сходится при и расходится при .
А теперь
Доказательство.
Прежде всего заметим, что существование означает, что
.
А теперь - варианты.
1. Пусть 
. Возьмем e настолько малым, чтобы было 
. Но тогда имеем
.
Но, так как 
, ряд сходится, и, по теореме 2, сходится и ряд .
2. Пусть 
. Возьмем e настолько малым, чтобы было 
. Но тогда имеем
.
Но, так как 
, ряд расходится, и, по теореме 2, расходится и ряд . <
Теорема 3. Если "п выполнено условие 
, то из сходимости ряда В следует сходимость ряда А, а из расходимости ряда А - расходимость ряда В.
Доказательство.
Имеем следующую цепочку неравенств
; 
; 
; … 
.
Перемножая эти неравенства, получаем
, или 
.
Ссылка на теорему 2 и доказывает эту теорему. <
Признак Даламбера
Пусть существует 
. Тогда
если D < 1, то ряд сходится;
если D > 1, то ряд расходится;
если D = 1, то вопрос о сходимости или расходимости ряда не может быть решен на основании данного признака.
Доказательство.
Прежде всего заметим, что существование означает, что
.
1. Пусть 
. Возьмем e настолько малым, чтобы было 
. Но тогда имеем
.
Но, так как , ряд сходится, и, по теореме 3, сходится и ряд .
2. . Пусть 
. Возьмем e настолько малым, чтобы было 
. Но тогда имеем
.
Но, так как , ряд расходится, и, по теореме 3, расходится и ряд . <
Теорема 4. Пусть существует 
и 
. Тогда ряды и сходятся или расходятся одновременно.
Доказательство.
1. Прежде всего отметим, что существование означает, что
.
2. Пусть ряд сходится. Но тогда ряд 
также сходится, и, так как 
, то, по теореме 2, сходится и ряд .
3. Так как 
, то всегда можно взять e настолько малым, чтобы было 
. Пусть теперь ряд сходится. Но тогда сходится и ряд 
и, так как 
, то, по теореме 2, сходится и ряд . <
9.4 Гармонический ряд
Ряд
называется гармоническим рядом.
Теорема. Гармонический ряд сходится при 
и расходится при 
.
Доказательство.
Рассмотрим варианты.
1. 
.
В этом случае гармонический ряд принимает вид
.
Рассмотрим группу слагаемых следующего вида:
.
Очевидно, что в этой группе всего п слагаемых и самым маленьким является последнее слагаемое. Поэтому
.
Теперь в ряде 
сгруппируем слагаемые следующим образом
.
Группа 
соответствует п = 2, группа 
- п = 4 и т. д. Но тогда
и поэтому 
, то есть ряд расходится.
2. 
.
Но в этом случае 
, 
и поэтому 
, то есть 
, и поэтому в этом случае ряд 
расходится.
3. .
В этом случае 
и 
. Рассмотрим группу слагаемых вида
.
В этой группе п слагаемых и каждое из них меньше 
. Поэтому имеем
.
Теперь сгруппируем в гармоническом ряде слагаемые в группы
.
Группа 
соответствует п = 2 и поэтому не превосходит 
; Группа 
соответствует п = 4 и поэтому не превосходит 
; последующая группа не превосходит
и т. д.
Окончательно получим
.
Но стоящий в скобках ряд есть геометрическая прогрессия с 
; поэтому он сходится и, по теореме 2, сходится и ряд . <
Следствие. Пусть существует 
. Тогда при ряд 
сходится, а при - расходится.
Доказательство. Рассмотрим ряд 
с 
. Тогда 
при выполнении условия 
сходятся или расходятся одновременно (см. теорему 4). <
Заметим, что это не означает, что сходимость любого ряда можно выяснить с помощью этого признака. Например, для ряда 
при любом 
и следствие не работает.
9.5 Отсутствие универсального ряда для построения признака сходимости
Итак, мы имеем в данный момент три признака сходимости числовых рядов. Два из них (Коши и Даламбера) основаны на сравнении исследуемого ряда с геометрической прогрессией, последний - на сравнении исследуемого ряда с гармоническим рядом. Однако, все эти признаки не являются универсальными и всегда можно привести пример ряда, вопрос о сходимости или расходимости которого не может быть решен с помощью данного признака.
В чем здесь дело? Ряды выбраны неудачно, или найти универсальный ряд для построения признака сходимости принципиально невозможно? Оказывается, верно последнее.
Теорема 1. Для каждого сходящегося ряда можно построить ряд, который
а) также сходится, но
б) вопрос об его сходимости не может быть решен на основании сравнения с исходным рядом.
Доказательство.
Пусть дан сходящийся ряд с положительными членами. Пусть есть его остаток после п-го слагаемого.
Построим ряд 
со слагаемыми 
, 
, 
. Что можно сказать об этом ряде?
а) Имеем
,
так что ряд сходится. Но
б) 
и поэтому теорема 4 не работает и вопрос о сходимости построенного ряда не может быть решен на основании его сравнения с исходным рядом. <
Теорема 2. Для каждого расходящегося ряда можно построить ряд, который
а) также расходится, но
б) вопрос об его расходимости не может быть решен на основании сравнения с исходным рядом.
Доказательство.
Пусть дан расходящийся ряд с положительными членами. Обозначим через его частную сумму. Расходимость ряда означает, что (обозначение: 
).
Построим ряд со слагаемыми 
, 
, . Что можно сказать об этом ряде?
а) Имеем
,
то есть 
, так что ряд расходится. Но
б) 
и поэтому теорема 4 не работает и вопрос о расходимости построенного ряда не может быть решен на основании его сравнения с исходным рядом. <
Вывод: не существует универсального ряда, из сравнения с которым можно было бы решить вопрос о сходимости или расходимость всех остальных рядов.
9.6 Интегральный признак Коши
Отсутствие универсального ряда для построения признака сходимости не означает, конечно, что не может быть других принципов для построения признаков сходимости числовых рядов. ниже будет разобран достаточно оригинальный признак сходимости, называемый интегральным признаком Коши.
Пусть функция 
1. определена на промежутке 
;
2. монотонно убывает и 
.
Рассмотрим ряд вида 
, то есть слагаемые этого ряда имеют вид 
.
Теорема. При указанных выше ограничениях ряд сходится одновременно с несобственным интегралом 
.
Доказательство.
1. Основное неравенство.
Обозначим 
. Так как 
, то 
. Далее имеем
.
В силу монотонного убывания
,
и поэтому в данном случае
.
Это неравенство мы условно будем называть основным неравенством.
2. Пусть интеграл сходится. Это значит, что 
. Но тогда имеем
.
Рис. 9.1 | Переходя к пределу
откуда и следует, что ряд Возникающая ситуация видна на прилагаемом рисунке (рис. 9.1): сумма площадей прямоугольников, каждый из которых равен одному слагаемому ряда, меньше площади, ограниченной функцией |
,
сходится.3. Пусть ряд сходится.
Тогда имеем
,
то есть 
.
Рис. 9.2 | Переходя к пределу
откуда и следует, что интеграл Возникающая ситуация видна на прилагаемом рисунке (рис. 9.2): площадь, ограниченная функцией |
,
сходится.Оценка остатка сходящегося ряда
При нахождении суммы ряда на ЭВМ, конечно, невозможно просуммировать бесконечное число слагаемых, всегда приходится ограничиваться какой-то частной суммой. Но при этом необходимо иметь какую-то оценку погрешности, то есть оценку остатка сходящегося ряда. Ниже будет получена одна из таких оценок.
Вспомним основное неравенство предыдущей теоремы:
.
Тогда имеем
Переходя к пределу 
, получаем
.
С другой стороны получаем
Переходя к пределу , получаем
.
Объединяя эти два неравенства, получаем окончательно
.
Это и дает искомую оценку остатка сходящегося ряда.
Оценка темпа роста расходящегося ряда
Не следует думать, что расходящиеся ряды не имеют никакого смысла и их следует только выбросить. На практике иногда результат появляется в виде частной суммы расходящегося ряда, и возникает совсем другая проблема - оценить, как ведет себя эта сумма при большом числе слагаемых. Например, ответ на задачу появился в виде 
. Ряд расходящийся, а ответ в виде «эта сумма стремится к бесконечности» никому не интересен. Что делать? Считать численно? Ну, при 
эту сумму еще можно сосчитать, а что делать, если 
? А ведь, скажем, число молекул бывает и побольше.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 |
Проекты по теме:
Основные порталы (построено редакторами)