Измерение электропроводности анизотропных полупроводников методом Ван дер Пау (расположение контактов по углам боковых граней образца)

УДК 537.311.322

Измерение электропроводности анизотропных

полупроводников методом Ван дер Пау

(расположение контактов по углам

боковых граней образца)

1,2, 1,2

1Липецкий государственный педагогический университет

2Московский государственный университет технологий

и управления им.

(Первый казачий университет) (филиал в г. Липецке)

*****@***ru

В работе на основе математической модели теоретически обоснована оригинальная методика измерения компонент тензора удельной электропроводности в анизотропных полупроводниковых пластинах квадратной формы. Рассмотрен вид расположения токовых и измерительных контактов по углам боковых граней образца. Проведена оценка применимости точечности контактов. Предложенная методика апробирована экспериментально.

Ключевые слова: анизотропный полупроводник, тензор удельной электропроводности, метод разделения переменных, ряд Фурье, метод Ван дер Пау.

В предыдущей статье нами была предложена методика по измерению компонент тензора удельной электропроводности анизотропных полупроводниковых пластин квадратной формы. При этом рассматривался случай расположения токовых и измерительных контактов на периметре образца в центральной части боковых граней, что соответствует одному из возможных вариантов согласно методу Ван дер Пау [1-4].

В данной работе рассмотрим случай расположения контактов по углам боковых граней исследуемого кристалла. Это соответствует еще одному варианту размещения контактов по методу Ван дер Пау [3, 4].

Пусть квадратный образец имеет следующие геометрические размеры: – длина и ширина, – толщина (). Исследуемый кристалл вырезан вдоль главных направлений тензора удельной электропроводности (рис. 1), имеющий в данном случае следующий вид [5]:

, (1)

где – главные направления тензора .

Через токовые контакты 1 и 2, расположенные на противоположных гранях, протекает постоянный ток силой . Все контакты имеют ширину (рис. 1, а).

Рис. 1. Схема расположения контактов на периметре образца

В области кристалла потенциал электрического поля удовлетворяет следующему уравнению [5, 6]:

. (2)

Граничные условия, следующие из того, что нормальная составляющая плотности тока равна нулю всюду, кроме точек под токовыми контактами, имеют вид:

(3)

Решение краевой задачи (2), (3) ищется в виде тригонометрических рядов Фурье методом разделения переменных [7]. Опуская громоздкую процедуру решения приведем окончательный результат:

(4)

где – параметр анизотропии.

Используя выражение (4), находим падение напряжения между измерительными контактами 3 и 4 (рис. 1, а):

(5)

где

. (6)

Для определения двух компонент тензора необходимо провести второе измерение, пропуская ток силой через контакты (1, 4), а измерительными контактами для напряжения служат (2, 3).

В этом случае, как и раньше, потенциал электрического поля в области полупроводника удовлетворяет дифференциальному уравнению (2). Граничные условия, следующие из того, что нормальная составляющая плотности тока равна нулю всюду, кроме точек под токовыми контактами, имеют вид:

(7)

(8)

Краевая задача (2), (7), (8), как и раньше, решается методом разделения переменных в виде тригонометрических рядов Фурье. Опуская громоздкую процедуру решения, приведем окончательный результат:

(9)

Используя выражение для потенциала (9), найдем падение напряжения между измерительными контактами 2 и 3 (рис. 1, б):

, (10)

где

. (11)

Заметим, что в случае точечных контактов в выражениях (6) и (11) следует сделать следующее приближение [6]:

. (12)

Используя выражения (6) и (11), составим функцию их отношений, полагая, что :

. (13)

а)	б)
Рис. 2. Зависимости функции от параметра анизотропии

На рис. 2 представлены зависимости функции от параметра анизотропии для разных значений ширины контактов . При этом видно, что с уменьшением параметра «крутизна» функции несколько снижается. Эта тенденция заметно наблюдается до того, пока ширина контактов не достигнет значения 0,1а. Все последующие уменьшения не дадут заметного эффекта снижения «крутизны» функции, т. е. уже при можно пользоваться приближением точечных контактов (12). На рис. 2а показано, как изменяются значения функции при малых параметрах анизотропии . Заметим, что в связи с достаточно большими значениями функции на рис. 2б приведена зависимость в логарифмическом масштабе. При этом из-за того, что графики при разных значениях ширины контактов мало различимы, на рисунке представлена зависимость только для точечных контактов (в пределах приближения (12)).

Рис. 3. Зависимости множителя от при некоторых значениях относительной ширины контактов .

На рис. 3 представлены графики зависимости множителя от для некоторых значений ширины контактов . Анализ этих зависимостей показал, что приближением точечных контактов можно пользоваться в случае, когда .

Выражения (5), (6), (10), (11) и (13) и рис. 2 и 3 позволяют предложить следующую методику измерения компонент тензора удельной электропроводности анизотропных полупроводниковых пластин.

1) Создать токовые и измерительные контакты на периметре исследуемого кристалла согласно схеме на рис. 1.

2) Измерить геометрические размеры образца ( – толщина, – длина) и ширину изготовленных контактов. При этом, если можно воспользоваться приближением точечных контактов (12) в выражениях (5), (10) и (13).

3) Построить теоретическую зависимость функции от параметра анизотропии для известной ширины контактов по выражению (13). Заметим, что для некоторых случаев можно воспользоваться готовыми зависимостями, представленными на рис. 2. Для случая точечных контактов нами получена следующая выравнивающая полиномиальная линия зависимости от :

(14)

4) Построить теоретическую зависимость множителя от параметра анизотропии . Для некоторых случаев можно воспользоваться готовыми графиками на рис. 3. Для случая точечных контактов нами получена выравнивающая полиномиальная линия зависимости от в следующем виде:

(15)

5) Пропуская постоянный ток силой через контакты 1 и 2, расположенные на противоположных гранях образца, измерить напряжение между контактами 3 и 4 ().

6) Через контакты 1 и 4, расположенные на одной грани исследуемого кристалла, пропустить постоянный ток силой . Измерить напряжение между контактами 2 и 3 ().

7) Вычислить отношение полученных значений напряжений . Результат расчета является значением для . Заметим, что если значение получилось меньше 1, то следует повернуть образец на 90о для смены главных направлений тензора и повторить измерения при соответствующей смене токовых контактов.

8) Из заранее построенного графика зависимости от определить параметр анизотропии. При точечных контактах можно воспользоваться формулой (14).

9) Используя полученное значение , определить множитель по заранее построенному графику или по формуле (15) для точечных контактов.

10) Зная значения для , и , из выражения (5) найти компоненту тензора проводимости:

. (16)

11) Найти компоненту по формуле:

. (17)

Таким образом, на основе решения краевых задач электродинамики нами предложена методика измерения компонент тензора удельной электропроводимости для анизотропных полупроводниковых пластин квадратной формы с расположением токовых и измерительных контактов на периметре образца по углам боковых граней. В данной работе, как и в предыдущей, впервые предложены зависимости отношения напряжений между контактами от анизотропии исследуемого кристалла в виде полиномиальных функций.

Литература

1. Van der Pauw, L. J. A method of measuring specific resistivity and Hall effect of discs of arbitrary shape / L. J. Van der Pauw // Philips Res. Repts, 1958. – V. 13. – No 1. – P. 1-9.

2. Van der Pauw, L. J. A method of measuring the resistivity and Hall coefficient on lamellae of arbitrary shape / L. J. Van der Pauw // Philips Technical Review, 1958. – V. 20. – No 8. – P. 220-224.

3. Павлов, измерения параметров полупроводниковых материалов / . – М.: Высшая школа, 1987. – 239 с.

4. Батавин, параметров полупроводниковых материалов и структур / , , . – М.: Радио и связь, 1985. – 264 с.

5. Аскеров, явления переноса в полупроводниках: монография / . – М.: Наука, 1985. – 320 с.

6. Филиппов, измерения и контроля коэффициентов электронного переноса анизотропных полупроводников: монография / , . – Липецк: Издательство ЛГПУ, 2011. – 110 с.

7. Эдвардс, Р. Ряды Фурье в современном изложении. В 2-х томах. Том 1 / Р. Эдвардс. – М.: Мир, 1985. – 264 с.

ELECTROCONDUCTIVITY MEASUREMENT

OF ANISOTROPIC SEMICONDUCTORS

BY VAN DER PAUW METHOD

(THE ARRANGEMENT OF CONTACTS IN THE CORNERS

OF LATERAL FACES OF THE SAMPLE)

A. A.Zavorotniy1, 2, V. V. Philippov1, 2

1Lipetsk Sate Pedagogical University

2Moscow state University of technology

and management K. G. Razumovsky

(First Cossack University) (branch in Lipetsk)

In the work on the basis of mathematical model the original technique of measurement a component of a tensor of direct-current conductivity in anisotropic semiconductor square shaped plates is theoretically proved. The type of an arrangement of current and measuring contacts in the corners of lateral faces of the sample is considered. The assessment of applicability of the contacts being point like is carried out. The proposed method is approved experimentally.

Key words: an anisotropic semiconductor, a tensor of direct-current conductivity, method of separation of variables, the Fourier series, the method of van der Pauw.