Лабораторная работа № 1. Проверка статистической гипотезы о виде распределения (стр. 7 )

4. Проверка гипотезы однородности с помощью программы ISW

4.1. Проверка гипотезы однородности двух выборок

Чтобы проверить гипотезу однородности двух выборок нужно выбрать в главном меню Действия пункт Проверка однородности (рис. 2.1).

Практикум 2.1. Проверьте однородность выборок «Выборка плацебо.dat» и «Выборка 6-MP.dat».

Практикум 2.12. Исходные данные представляют результаты 100 измерений диаметра отверстий.

 Первая выборка 

33	33	28	27	35	31	37	33	33	33
29	34	33	32	34	35	39	32	35	30
31	35	35	34	34	37	40	35	37	30
32	33	36	35	30	31	38	32	36	33
33	34	43	37	32	35	30	28	35	25

Вторая выборка

33	38	38	33	32	37	31	30	37	27
33	32	28	32	34	31	39	35	33	35
34	34	32	35	27	33	38	35	27	36
36	31	31	39	28	34	39	35	31	33
30	29	31	33	35	33	39	34	30	30

Проверьте гипотезу однородности.

Для решения этой задачи создадим два файла, содержащих наблюдения в первой и второй выборке, и откроем форму Проверка однородности (рис. 2.1). После нажатия на кнопку Проверить! В окно сообщений будут выданы результаты проверки гипотезы (рис. 2.2). По результатам проверки гипотезы можно сделать вывод, что у нас нет оснований для отвержения гипотезы однородности двух выборок диаметров отверстий, при заданной вероятности ошибки первого рода равной 0.1.

Рис. 2.1. Проверка однородности двух выборок

Рис. 2.2. Результаты проверки гипотезы однородности

4.2. Проверка гипотезы об однородности дисперсий

На рис. 2.3 приведен вид главной формы для проверки гипотез об однородности дисперсий. Для проверки гипотезы об однородности дисперсий необходимо загрузить анализируемые выборки. Минимальное количество выборок равно двум. Также необходимо выбрать из списка критерии для проверки гипотезы.

Если предполагаемый закон распределения, которому принадлежат выборки, отличен от нормального, его необходимо задать в меню «Параметры». По умолчанию задан нормальный закон распределения выборок. Также в этом же меню можно задать уровень значимости для проверки гипотезы (вероятность ошибки 1-го рода). По умолчанию уровень значимости равен 0,01.

Рис. 2.3. Форма «Однородность дисперсий»

Если заданный закон распределения анализируемых выборок отличен от нормального, или не были найдены процентные точки в хранимых таблицах, то пользователь имеет возможность смоделировать распределение статистики выбранного критерия. На рис. 2.4 приведен пример проверки гипотезы, когда не по всем выбранным критериям гипотезы была проверена. В нижнем окне выводится список критериев, для которых необходимо смоделировать распределение статистики. При необходимости в специальном меню можно задать объем выборок статистик в соответствии с желаемой точностью моделирования (по умолчанию равен 1000). Процесс моделирования может быть распараллелен, при этом по умолчанию число потоков устанавливается равным числу ядер процессора. Также при необходимости можно сохранить файлы со смоделированными выборками статистик.

Рис. 2.4 – Результат проверки гипотезы до моделирования распределений статистик критериев

Результат проверки гипотезы выводится в виде таблицы, содержащей поля – название критерия, результат проверки гипотезы (отклонить гипотезу или нет оснований для её отклонения), значение статистики критерия и величина достигнутого уровня значимости. Вид формы с результатами проверки гипотезы об однородности дисперсий приведён на рисунке 2.5. В результирующую таблицу выводятся данные по проверке гипотезы по всем критериям – те, для которых не требовалось моделирование статистик критериев и те, по которым гипотеза была проверена по смоделированному распределению статистики.

Рис. 2.5 – Результат проверки гипотезы после моделирования распределений статистик критериев

Практикум 2.23. Проверьте гипотезу об однородностьоднородности дисперсий выборок «Диаметры отверстий 1.dat» и «Диаметры отверстий 2.dat» .

5. Исследование свойств критериев однородности

Форма «Моделирование статистик критериев», приведенная на рисунке 2.6, позволяет сгенерировать распределения статистик критериев (на рисунке в качестве примера выбрана группа критериев однородности дисперсий) при произвольных законах распределения выборок. В соответствующих полях формы задаётся закон распределения, объёмы выборок, количество выборок и начальное значение генератора случайных чисел.

Рис. 2.6 Форма «Моделирование статистик критериев»

Практикум 2.4.

1.  Исследовать сходимость к предельным распределениям, для чего смоделировать распределения статистик критериев при различных объемах выборок ( = 20, 50, 100). Объем выборок статистик выбрать наблюдений. Убедиться в близости полученных распределений статистик соответствующим теоретическим законам визуально. Проверить согласие полученных эмпирических распределений статистик с соответствующим теоретическим, для чего использовать все доступные критерии согласия. Провести данные исследования отдельно для всех критериев.

2.  Исследовать (оценить) мощность всех критериев относительно заданных конкурирующих гипотез и заданных объемов выборок в случае нормального закона.

a.  Для критериев однородности распределений рассмотреть конкурирующую гипотезу:

: = ;

Нормальное (0, 1)	Двустороннее экспоненциальное с параметром формы 3

b.  Для расчета значений мощности критериев однородности средних рассмотреть конкурирующую гипотезу, для которой величина математического ожидания одной из выборок отличается на величину .

c.  Для расчета значений мощности критерия однородности дисперсий рассмотреть конкурирующую гипотезу: .

3.  Проверить гипотезу об однородности дисперсий, для чего смоделировать две выборки при и соответствующих законах распределения: Нормальное(0,1) и Нормальное(0,3). Проверить гипотезу, используя программу ISW.

Литература

 

1.  , Смирнов математической статистики. - М.: Наука, 1983. - 416 с.

2.  , , Постовалов статистика. Правила проверки согласия опытного распределения с теоретическим. Методические рекомендации. Часть I. Критерии типа . - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 1998. - 126 c.

3.  Никулин согласия типа хи-квадрат / Заво­дская лаборатория. 1992. Т. 58. № 3. С.52-58.

4.  Lemeshko B. Yu. Lemeshko S. B. and Postovalov S. N. Statistic Distribution Models for Some Nonparametric Goodness-of-Fit Tests in Testing Composite Hypotheses // Communications in Statistics - Theory and Methods, 2010. Vol. 39, No. 3. – P. 460-471.

5.  Freireich, E. J., Gehan, E. A., Frei, E. The Effect of 6-Mercaptopurine on the Duration of Steroid-Induced Remissions in Acute Leukemia: A Model for Evaluation of Other Potential Useful Therapy. // Blood, 1963. V. 21 No. 6. — P. 699-716.