Вариант 1 (стр. 5 )

3 В трёх салонах сотовой связи один и тот же телефон продаётся в кредит на разных условиях. Условия даны в таблице.

Салон	Цена телефона (руб.)	Первоначальный взнос (в % от цены)	Срок кредита (мес.)	Сумма ежемесячного платежа (руб.)
Эпсилон	22000	25	6	3500
Дельта	21500	10	6	3700
Омикрон	21000	10	12	1900

Определите, в каком из салонов покупка обойдётся дешевле всего (с учётом переплаты). В ответ запишите эту сумму в рублях.

4 На клетчатой бумаге нарисовано два круга. Площадь внешнего круга равна  96. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

5 На фабрике керамической посуды 10% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 90% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка имеет дефект. Ответ округлите до сотых.

6 Найдите корень уравнения .

7 Угол между хордой AB и касательной BC к окружности равен 320 . Найдите величину большей из дуг, стягиваемых хордой AB . Ответ дайте в градусах.

8 На рисунке изображен график производной функции на интервале . Найдите сумму точек максимума функциина отрезке .

9 В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает высоты. Объём жидкости равен 120 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

10 Найдите значение выражения при b = .

11 Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объём и давление связаны соотношением , где  (атм) — давление в газе,  — объём газа в литрах. Изначально объём газа равен 56 л, а его давление равно одной атмосфере. До какого объёма нужно сжать газ, чтобы давление в сосуде поднялось до 128 атмосфер?

12 В прямоугольном параллелепипеде АВСТА1В1С1Т1 известно, что ВТ1 = 18,

СТ = 12, АТ = 12 . Найдите длину ребра АА1 .

13 Часы со стрелками показывают 2 часа 25 минут. Через сколько минут минутная стрелка в девятый раз поравняется с часовой?

14 Найдите наименьшее значение функции на отрезке [2 ; 4] .

Часть С

15 а) Решите уравнение .

б) Отберите корни, принадлежащие промежутку .

16 Дана правильная шестиугольная призма АВСТЕН А1В1С1Т1Е1Н1.

а) Докажите, что прямая Т1Н перпендикулярна прямой ВЕ.

б) Найдите угол между плоскостями С1АН и С1ВЕ, если АВ = 3 , АА1 = 2.

17 Решите неравенство .

18 Окружность с центром О вписана в угол, равный 600 . Окружность большего радиуса с центром в точке О1 также вписана в этот угол и проходит через точку О.

а) Докажите, что радиус второй окружности в два раза больше, чем радиус

первой окружности.

б) Найдите длину общей хорды этих окружностей, если известно, что радиус

первой окружности равен .

19 31 декабря 2011 года взял в банке кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита такова: 31 декабря каждого последующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга, то есть увеличивает долг на 10% , после чего клиент А. переводит в банк 133100 рублей. выплатил долг тремя равными платежами. Какова сумма, взятая клиентом А. в кредит?

20 Найдите все такие значения a , при каждом из которых система

имеет хотя бы одно решение

и всякое её решение удовлетворяет условию 2x = y .

21 Все целые числа от 1 до 9 выписали в ряд так, что каждое число, начиная со второго, является делителем суммы всех предыдущих чисел.

а) Может ли на последнем месте стоять число 6 ?

б) Может ли на третьем месте стоять число 6 ?

в) Какие числа могут быть на последнем месте?

Вариант 8

1 В университетскую библиотеку привезли новые учебники по геометрии для 1-2 курсов, по 980  штук для каждого курса. Все книги одинаковы по размеру. В книжном шкафу 7 полок, на каждой полке помещается 35 учебников. Сколько шкафов можно полностью заполнить новыми учебниками?

2 На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток.

По горизонтали указывается дата и время суток, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку разность между наибольшей и наименьшей температурой воздуха 14 июля. Ответ дайте в градусах Цельсия.

3 Строительной фирме нужно приобрести 27 кубометров строительного бруса у одного из трех поставщиков. Какова наименьшая стоимость такой покупки с доставкой (в рублях)? Цены и условия доставки приведены в таблице.

Поставщик	Цена бруса (за 1 м3)	Стоимость доставки	Дополнительные условия
A	4100 руб.	10000 руб.
Б	4600 руб.	9000 руб.	При заказе на сумму больше 120000 руб. доставка бесплатно
В	5000 руб.	8000 руб.	При заказе на сумму больше 120000 руб. доставка бесплатно

4 Найдите площадь четырёхугольника, вершины которого имеют координаты

(2, 2) , (-2, 3) , (1, 3) , (0, 0) .

5 В случайном эксперименте симметричную монету бросают шесть раз. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза. Ответ округлите до сотых.

6 Найдите значение выражения .

7 В треугольнике ABC угол C равен 900 , АВ = 104 , . Найдите высоту CH.

8 На рисунке изображен график функции , определенной на интервале (-2 ; 12) . Найдите количество точек экстремума функции .

9 В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны . Найдите расстояние между точками B и E1 .

10 Найдите значение выражения .

11 Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени моля воздуха объёмом л, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма . Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением  (Дж) , где постоянная, а К — температура воздуха. Какой объём (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии газа была совершена работа в 20700 Дж?

12 Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём конуса равен 144 . Найдите объём шара.

13 Имеется два сосуда. Первый содержит 20 кг, а второй  — 10 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 30% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 35% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится во втором сосуде?

14 Найдите наибольшее значение функции на отрезке [0 , 4] .

Часть С

15 а) Решите уравнение .

б) Отберите корни, принадлежащие промежутку .

16 Дан прямоугольный параллелепипед АВСТА1В1С1Т1 .

а) Докажите, что плоскость А1ВТ параллельна плоскости В1СТ1 .

б) Найдите расстояние между этими плоскостями,

если АВ = 12 , АТ = 16, АА1 = 5 .

17 Решите неравенство .

18 Дан ромб с диагоналями АС = 15 и ВТ = 8 . Проведена окружность радиусом с центром в точке пересечения диагоналей ромба. Прямая, проходящая через вершину В, касается этой окружности и пересекает сторону СТ в точке М.

а) Докажите, что прямая ВМ образует с меньшей из диагоналей ромба угол в 450 .

б) Найдите СМ.

19 Вклад, находящийся в банке с начала года, возрастает к концу года на определённый процент, свой для каждого банка. В начале года Андрей положил 60% некоторой суммы денег в 1-й банк, а оставшуюся часть суммы – во 2-й банк. К концу года сумма этих вкладов стала равна 885000 рублей, а к концу следующего года 1051500 рублей. Если бы Андрей первоначально положил 60% своей суммы во 2-й банк, а оставшуюся часть – в 1-й банк, то по истечении одного года сумма вкладов стала бы равной 915000 рублей. Какова была бы сумма вкладов в этом случае к концу второго года?

20 Найдите все такие значения a , при каждом из которых система

имеет хотя бы одно решение

и всякое её решение удовлетворяет условию 2x = y .

21 Дана арифметическая прогрессия, в которой ровно 92 числа. Разность прогрессии равна 30 .

а) Может ли в этой прогрессии быть ровно 6 чисел, кратных 13 ?

б) Какое наименьшее количество чисел, кратных 13 ,

может быть в этой прогрессии?

в) Какое наибольшее количество чисел, кратных 13 ,

может быть в этой прогрессии?