УДК 621.391.172

А. Б. ТОРОПОВ, В. А. ВАСИЛЬЕВ,

АО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», Университет ИТМО, Санкт-Петербург

ИССЛЕДОВАНИЕ АЛГОРИТМОВ НЕЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ В ЗАДАЧЕ ИДЕНТИФИКАЦИИ ПАРАМЕТРОВ УЗКОПОЛОСНОГО ПРОЦЕССА *

Рассматривается задача совместного оценивания неизвестных параметров стационарного узкополосного процесса. Оцениванию подлежат центральная частота, интервал корреляции, дисперсия узкополосного процесса и интенсивность шума измерений. В работе задача формулируется в рамках теории нелинейной фильтрации параметров процесса по измерениям его реализаций. Для решения задачи исследуются алгоритмы, основанные на методах многоальтернативной фильтрации. Приводятся результаты моделирования.

Введение

В настоящее время к задаче идентификации параметров случайных процессов наблюдается повышенный интерес [1-5]. В частности, в работе [5] обсуждалось применение методов нелинейной фильтрации для случайных процессов, часто используемых при обработке навигационной информации. В настоящей работе также рассматривается подход к определению параметров случайного процесса, основанный на теории байесовской нелинейной фильтрации. При этом, в отличии от [5], предполагается, что идентификации подлежит не один, а несколько параметров, в качестве которых выступают центральная частота, интервал корреляции, дисперсия марковского стационарного узкополосного процесса и интенсивность шума измерений. Неизвестные параметры входят в эту модель нелинейным образом, и в ходе решения происходит их идентификация путем отыскивается оптимальной байесовской оценки по измерениям реализаций этого процесса. Алгоритм отыскания оценок строится на базе алгоритмов, часто называемых методами многоальтернативной фильтрации. В работе анализируются особенности этих алгоритмов для решения задачи идентификации.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Важным преимуществом такого подхода является тот факт, что в рамках предлагаемой постановки с одинаковым успехом могут решаться задачи оценивания параметров стационарных и нестационарных процессов, и его применение в принципе возможно при любой длине реализации.

Постановка задачи в рамках теории нелинейной фильтрации

Пусть задан случайный гауссовский узкополосный процесс , для которого один или несколько параметров, которые далее будем обозначать вектором , – неизвестны. предполагается, что процесс задан с использованием корреляционной функции вида

(1)

в которой неизвестны частота , - величина, обратная интервалу корреляции , дисперсия процесса.

Имеются измерения этого процесса в дискретные моменты времени

, (2)

где - вектор белошумных ошибок измерений единичной интенсивности, - неизвестная величина при шумах измерений, - дискретность проведения измерений, Т – интервал проведения измерений. Таким образом оцениваемый вектор включает в себя четыре компоненты, т. е. .

Задача идентификации заключается в отыскании оценки вектора по измерениям и определения точности его оценивания.

Цель работы заключается в исследовании потенциальной точности определения параметров узкополосного процесса (вектора ) при использовании методов байесовской фильтрации.

Решение задачи нелинейной фильтрации на базе метода многоальтернативной фильтрации

При использовании метода нелинейной фильтрации для решения задачи идентификации параметров узкополосного процесса предполагается, что процесс описываются с помощью зависящего от вектора неизвестных параметров формирующего фильтра с вектором состояния , заданного во временной области. Используя в качестве измерений имеющуюся реализацию процесса, заданную в дискретные моменты времени, можно сформулировать следующую задачу нелинейной фильтрации составного вектора , описываемого с использованием формирующего фильтра вида

(3)

по измерениям

(4)

где , , , - матрицы, элементы которых в общем случае нелинейным образом зависят от ; - случайный вектор с известной функцией плотности распределения ; и - p- и m-мерные последовательности порождающих шумов и ошибок измерений, представляющие собой дискретные, центрированные гауссовские белые шумы с известными ковариационными матрицами .

Предполагается, что векторы независимы между собой.

Рассматриваемому узкополосному процессу соответствуют матрицы следующего вида [5]

(5)

, (6)

(7)

(8)

Известно, что для оптимальной оценки составного вектора и соответствующей матрицы ковариаций справедливы следующие выражения [6]:

, (9)

, (10)

в которых E - знак математического ожидания с индексом снизу, указывающим на соответствующую функцию плотности распределения вероятности; - апостериорная (условная) к измерениям функция плотности распределения вероятности (далее просто плотность) для составного вектора . Интегралы в (9), (10) и далее предполагаются многократными по соответствующим переменным с бесконечными пределами.

Для оптимальной оценки подвектора и соответствующей матрицы ковариаций можно записать следующие выражения [1,5]:

, (11)

. (12)

Входящая в эти выражения апостериорная плотность определяется как

, (13)

где - функция правдоподобия.

Отличительная особенность рассматриваемой задачи заключается в том, что при фиксированном значении уравнения (3), (4) задают линейную гауссовскую задачу фильтрации и таким образом плотности [1,6]

(14)

также будут гауссовскими. Входящие в эти плотности параметры определяют невязку измерения и ее дисперсию:

,

,

и могут быть найдены с помощью банка соответствующих фильтров Калмана

,, (15)

, (16)

, (17)

. (18)

Здесь аргумент означает, что задача линейной фильтрации решается при конкретном значении , определяющем входящие в эти выражения матрицы.

Для вычисления оптимальной оценки 11) и соответствующей условной матрицы ковариаций (12) может быть использован метод точечных масс. Для априорной плотности в этом случае используется аппроксимация в виде [6,7]

, . (19)

где , - набор возможный значений искомых параметров.

Подставляя (19) в (11), нетрудно для апостериорной плотности получить выражение

, (20)

в котором для весов справедливы следующие рекуррентные соотношения:

. (21)

С учетом представления (19), для оценок (11) и условной матрицы ковариаций (12) легко получить следующие соотношения

, . (22)

Подход к вычислению (11), (12) с использованием (21) нередко называется методом многоальтернативной фильтрации [7,8].

Как показано в [8], многоальтернативный подход может быть использован и при неизвестной структуре модели (3). В этом случае в приведенной постановке задачи необходимо предусмотреть возможный набор различных моделей.

Результаты моделирования

С целью оценки влияния количества оцениваемых параметров на результирующую точность фильтрации представляется целесообразным рассмотреть несколько частных случаев задачи идентификации параметров узкополосного процесса, в каждом из которых предполагается разное число неизвестных параметров, входящих в вектор .

Для анализа потенциальной точности также, как и в [8], будем вычислять расчетную и действительную безусловные матрицы ковариаций ошибок оценивания. Далее будет называть зависимость расчетных среднеквадратических отклонений от времени расчетной характеристикой точности, а их действительные значения – действительной характеристикой точности. Сопоставление этих двух характеристик позволяет анализировать эффективность работы предлагаемого алгоритма.

Перейдем теперь к рассмотрению примеров.

Пример 1. Полагаем, что неизвестным является только параметр , т. е. , при этом считаем, что представляет собой равномерно распределенную случайную величину на интервале [0.01; 0.19] с математическим ожиданием 0,09 и среднеквадратическим отклонением (СКО) 0,05.

На рис. 1 представлены графики расчетной и действительной среднеквадратических ошибок оценивания параметра узкополосного процесса с частотой , интервалом дискретизации и параметром интенсивности шума измерений . Считалось, что в начальный момент времени процесс, задаваемый (3) центрирован, а начальная дисперсия для каждой компоненты вектора xi - . При моделировании использовалось величина в (14) выбиралась равным 100, а число реализаций алгоритма для получения действительной и расчетной характеристик точности М=100.

Рис 1. Результаты моделирования при .

Из представленного рисунка видно, что за время, меньшее минуты, СКО знания параметра уточнилось более чем в два раза. Этот факт, а также факт совпадения расчетных и действительных характеристик точности говорит об эффективности предлагаемого подхода.

Пример 2. Полагаем, что неизвестным является только параметр т. е. , при этом считаем, что , представляет собой равномерно распределенную случайную величину на интервале [0.01; 0.5] с математическим ожиданием 0,25 и СКО 0,14.

На рис. 2 представлены графики расчетной и действительной среднеквадратических ошибок оценивания параметра интенсивности шума измерений узкополосного процесса с параметром . Остальные данные для моделирования использовались такие же, как и в предыдущем примере.

Рис 2. Результаты моделирования при .

Из представленного рисунка видно, что за 50 с СКО знания параметра уточнилось чуть меньше, чем в два раза. Этот факт, а также совпадение расчетных и действительных характеристик точности говорит об эффективности предлагаемого подхода.

Пример 3. Полагаем, что неизвестным является только параметр т. е. , при этом считаем, что представляет собой равномерно распределенную случайную величину на интервале [0.8; 1.2], с математическим ожиданием 1 и СКО 0,14.

На рис. 3 представлены графики расчетной и действительной среднеквадратических ошибок оценивания параметра интенсивности шума измерений узкополосного процесса с параметром . Остальные данные для моделирования использовались такие же, как и в предыдущем примере.

Рис 3. Результаты моделирования при .

Из представленного результата также следует эффективность рассматриваемого подхода.

Пример 4. Полагаем, что неизвестным является только параметр т. е. , при этом считаем, что представляет собой равномерно распределенную случайную величину на интервале [0.01; 0.2], с математическим ожиданием 0.105 и СКО 0,055.

На рис. 4 представлены графики расчетной и действительной среднеквадратических ошибок оценивания СКО узкополосного процесса. Параметры для моделирования использовались такие же, как и в предыдущем примере.

Рис 4. Результаты моделирования при.

Из представленного результата также следует эффективность рассматриваемого подхода.

Пример 5. Перейдем теперь к случаю, когда оценивается сразу несколько параметров. Полагаем, что неизвестными являются параметры и т. е. , при этом считаем, что они независимы и распределены по равномерному закону с параметрами из примеров 2 и 3.

На рис. 5 и 6 представлены графики расчетной и действительной среднеквадратических ошибок оценивания неизвестных параметров при . Остальные данные для моделирования использовались такие же, как и в предыдущем примере.

Рис 5. Результаты моделирования для величины при .

Рис 6. Результаты моделирования для величины при .

Здесь, так же как и в предыдущих примерах заметно совпадение расчетных и действительных характеристик точности. Кроме этого, сопоставление результатов рисунков 2 и 3 с аналогичными результатами рисунков 5 и 6 показывают несущественное ухудшение точности при оценивании векторного параметра.

Пример 6. Полагаем, что неизвестными являются параметры , и , т. е. , при этом считаем, что они независимы и распределены по равномерному закону с параметрами из примеров 1, 2 и 3.

На рис. 7-10 представлены графики расчетной и действительной среднеквадратических ошибок оценивания неизвестных параметров.

Рис 7. Результаты моделирования для величины при .

Рис 8. Результаты моделирования для величины при .

Рис 10. Результаты моделирования для величины при .

Поскольку количество оцениваемых параметров увеличилось, наблюдается незначительное ухудшение точности. Тем не менее, процедура идентификации позволяет уточнить все три параметра почти в два раза.

Пример 7. Ну и наконец последний пример характеризует случай, когда все четыре компоненты процесса неизвестны, т. е. . Также считаем, что компоненты вектора независимы и распределены по равномерному закону. Параметры распределений приведены в предыдущих примерах.

На рис. 11-14 представлены графики расчетной и действительной среднеквадратических ошибок оценивания неизвестных параметров.

Рис 11. Результаты моделирования для величины при .

Рис 12. Результаты моделирования для величины при .

Рис 13. Результаты моделирования для величины при .

Рис 14. Результаты моделирования для величины при .

Из представленных результатов видно, что 50 измерений уже не достаточно для уточнения неизвестных параметров в два раза. Кроме этого, существенно возрастают требования к вычислителю. Проведенные расчеты показывают, что такой результат в рассматриваемой задаче может быть достигнут для 100-200 измерений.

Заключение

В работе приведена постановка задачи оценивания параметров узкополосного случайного процесса в рамках теории нелинейной фильтрации. Описаны алгоритмы идентификации параметров узкополосного процесса при различном числе неизвестных параметров. Результаты моделирования показали возможность использования полученных алгоритмов на практике. Для снижения объема вычислений представляется целесообразным рассмотреть возможность использования субоптимальных алгоритмов для решения задачи при трех и четырех неизвестных.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ №14-08-00347

Литература

1.  , , . Анализ потенциальной точности оценивания параметров случайных процессов в задачах обработки навигационной информации// Материалы XII Всероссийского совещания по автоматическому управлению. Россия, Москва, ИПУ РАНб 16-19 июня 2014

2.  Применение методов нелинейной фильтрации в задачах построения моделей ошибок измерителей и погрешностей карты // [и др.]. – СПБ.: Материалы XXIX конференции памяти выдающегося конструктора гироскопических приборов , 2014. – С. 293-302.

3.  Оценка параметров случайных процессов методами нелинейной фильтрации и вариации Аллана // , , // Труды 16 КМУ «Навигация и управление движением. – СПб. -2014.

4.  Моторин, , О. А. Cравнение методов идентификации моделей ошибок датчиков основанных на вариациях Аллана и алгоритмах нелинейной фильтрации // Материалы XXI Санкт-Петербургской международной конференции по интегрированным навигационным системам - СПб, ЦНИИ «Электроприбор», 2014 – С.98-103.

5.  Зависимость предельно достижимой точности оценивания параметров случайного процесса от вида используемого формирующего фильтра// , , // Труды 16 КМУ «Навигация и управление движением. – СПб. -2014.

6.  Степанов, О. А. Применение теории нелинейной фильтрации в задачах обработки навигационной информации, СПб: ГНЦ РФ ЦНИИ "Электроприбор", 1998. – 369 с.

7.  Дмитриев, , О. А. Многоальтернативная фильтрация в задачах обработки навигационной информации. Радиотехника. 2004. №7. C. 11-17

8.  Многоальтернативная фильтрация применительно к задаче оценивания модели погрешностей датчиков // , // Труды 17 КМУ «Навигация и управление движением. – СПб. -2015.

*Работа проводится при поддержке гранта РФФИ 14-08-00347