МНОГОАЛЬТЕРНАТИВНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ЗАДАЧЕ ОЦЕНИВАНИЯ МОДЕЛИ ПОГРЕШНОСТЕЙ ДАТЧИКОВ
, ,
Университет ИТМО, АО «Концерн«ЦНИИ«Электроприбор»,
Санкт-Петербург, *****@***ru
Введение
В задачах совместной обработки навигационной информации широко и успешно используются алгоритмы калмановского типа. Построение таких алгоритмов требует задания модели погрешностей навигационных датчиков в виде формирующего фильтра в пространстве состояний. Традиционно в случае стационарных процессов задача определения такой модели решается путем построения спектральной плотности или корреляционной функции с последующим построением соответствующего формирующего фильтра [1]. В последнее время широкое применение получил также метод вариации Аллана [2,3], который может быть использован и в нестационарном случае. Общие недостатки этих методов заключаются в том, что для их применения необходимы достаточно длительные реализации погрешностей и при этом затруднена проблема оценки точности получаемых параметров. Еще одно очень существенное ограничение связано с тем обстоятельством, что решается лишь задача параметрической идентификации в предположении справедливости той или иной модели. На практике же важным является возможность определения и самой структуры погрешностей. Все указанные выше ограничения снимаются, если для решения задачи идентификации использовать методы нелинейной фильтрации [4]. Ранее их использование было рассмотрено для случая решения задачи параметрической идентификации [5,6]. В настоящей работе задача рассматривается в более общей постановке, когда неизвестны не только параметры, но и сама структура формирующего фильтра, характеризующего модель погрешности. В этом случае вводится несколько гипотез о модели погрешности, каждая со своим вектором состояния и вектором неизвестных параметров [7]. С использованием банка фильтров Калмана может быть рассчитана вероятность для каждой из гипотез, и оптимальная оценка для соответствующих наиболее вероятной гипотезе неизвестных параметров и вектора состояния. Именно с таких позиций и рассматривается задача в предлагаемой работе.
Постановка и решение задачи
Будем полагать, что существует набор 
, 
гипотез, каждой из которых соответствуют своя модель для описания ошибок датчика в виде формирующего фильтра и модель измерений, представляемые как:
(1)
, , (2)
где 
, 
, 
, 
– матрицы, элементы которых в общем случае нелинейно зависят от случайного подвектора неизвестных параметров 
с известной функцией плотности распределения вероятностей (ф. п.р. в.) 
; 
и 
– 
- и 
- мерные белошумные гауссовские последовательности порождающего шума и шума измерений с ковариационными матрицами 
. Вектора 
, , считаются независимыми между собой. Предположим, что для набора гипотез 
, 
задана априорная плотность в виде [7]
. (3)
Задача заключается в определении такой гипотезы, т. е. такого значения k, и вектора параметров , модель (1), для которых в наибольшей степени соответствует набору измерений (2). Выбор k будем осуществлять из условия максимизации апостериорной плотности,
. (4)
Представим ее в виде
, (5)
С учетом (3), имеем
.` (6)
Принимая 
, вместо (4) можем использовать более простой критерий:
. (7)
Иными словами, гипотезу будем выбирать, такой которая максимизирует функцию правдоподобия 
. Для получения 
представим ее в виде
. (8)
Далее для простоты при записи плотности 
условия опускаем, т. е. 
, имея в виду, что только при фиксации этого условия можно говорить о плотности 
. Введем следующую аппроксимацию для этой плотности [4,5,6]:
, (9)
где 
, 
– сетка значений вектора при фиксированной гипотезе . Подставляя (9) в (8), получаем
. (10)
Так как
(11)
выражения (10) можно также переписать в виде:
, (12)
где 
вычисляется согласно
. (13)
Особенность такой задачи заключается в том, что при фиксированных значениях вектора 
и гипотезы 
, уравнения (1) и (2) описывают задачу линейной Гауссовской фильтрации, которая может быть решена с использованием соответствующего фильтра Калмана. Для набора L гипотез и 
значений вектора неизвестных параметров можно записать банк фильтров Калмана размерности 
:
; 
, (14)
, (15)
,
. (16)
Здесь индексы обозначают, что решается задача линейной фильтрации при зафиксированных значениях вектора 
, и гипотезы . Соответствующие этому матрицы 
, 
, 
, 
для простоты здесь и в дальнейшем обозначены как 
, 
, 
, 
. Невязки измерений и их ковариационные матрицы:
(17)
расcчитываемые с использованием этого банка фильтров, позволяют вычислить функции правдоподобия (12) (13) в виде:
. (18)
Таким образом, согласно (12-18), можно рассчитать значение функции правдоподобия 
для каждой из гипотез , и, согласно (7), выбрать наиболее правдоподобную.
В условиях определенной гипотезы можно найти оптимальную оценку вектора 
и соответствующую ей матрицу ковариаций 
,
, (19)
, (20)
где условная плотность распределения 
может быть записана как:
. (21)
Подставляя в (21) выражения (9), (12) можно убедиться, что:
. (22)
Таким образом, оптимальная оценка вектора неизвестных параметров и ее матрица ковариаций может быть вычислена в виде [4,5,6]:
,
. (23)
Оценка вектора состояния и ее матрица ковариаций может быть найдена аналогично (23), в предположении, что наилучшая оценка соответствует фильтру, настроенному на наиболее вероятную гипотезу и оптимальную оценку вектора :
,
. (23)
В условиях, когда решена задача распознавания гипотез можно рассчитать безусловную матрицу ковариаций ошибок оценивания искомых параметров
, (24)
где 
– совместная ф. п.р. в. векторов 
и 
. Используя оценки 
, можно используя соотношение
, (25)
получить диагональные элементы безусловной матрицы ковариаций 
которые определяют потенциальную точность оценивания. В этом соотношении, 
– набор реализаций вектора 
с ф. п.р. в. 
, а 
, 
– набор оценок полученных с использованием выражения (23) и измерений 
сформированных в соответствии с выражением (2). Обычно матрицу (24)также рассчитывают с использованием соотношения:[8]
(26)
Совпадение матриц (25) (26) косвенно указывает на правильность работы алгоритма оценивания.
Пример
В задачах обработки навигационной информации нередко предполагается, что погрешности датчиков описываются в виде суммы белошумной компоненты и составляющих, описываемых в виде винеровского или марковского экспоненциально-коррелированной процессов [9, 10, 11]. В докладе возможности предлагаемого метода идентификации иллюстрируются как раз для такого примера. Иными словами ставится задача определения модели погрешности датчика состоящей из суммы белого шума и дрейфа нуля в пуске, при условии, что последний может быть описан винеровским процессом или марковским процессом первого порядка. Задача идентификации модели решается при условии, что порождающий шум винеровского процесса, интервал корреляции и дисперсия марковского процесса, а также интенсивность белого шума датчика считаются известными не точно и подлежат оцениванию. Приводятся результаты моделирования решения этой задачи.
Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ №14-08-00347
Литература
1. Бендат, Дж. Прикладной анализ случайных данных. / Дж. Бендат, А. Пирсол // Издательство Мир 1989. – 540 с
2. Allan, H. D. and Barnes, J., Properties of Signal Sources and Measurement Methods, Proc. 35th Annual Symposium on Frequency Control, 1981, pp. 464–469.
3. Brian, E., Grantham, P. E., Mark A. Bailey, A Least-Squares Normalized Error Regression Algorithm with Applica-tion to the Allan Variance Noise Analysis Method, Proc. Position Location and Navigation Symposium, 2006, pp.750-756
4. Степанов, теории нелинейной фильтрации в задачах обработки навигационной информации, СПб: ГНЦ РФ ЦНИИ "Электроприбор", 1998. – 369 с.
5. , , . “Анализ потенциальной точности оценивания параметров случайных процессов в задачах обработки навигационной информации. Материалы XII Всероссийского совещания по автоматическому управлению. Россия, Москва, ИПУ РАНб 16-19 июня 2014
6. Моторин, , О. А. Cравнение методов идентификации моделей ошибок датчиков основанных на вариациях Аллана и алгоритмах нелинейной фильтрации // Материалы XXI Санкт-Петербургской международной конференции по интегрированным навигационным системам - СПб, ЦНИИ «Электроприбор», 2014 – С.98-103.
7. Дмитриев, , фильтрация в задачах обработки навигационной информации. Радиотехника. 2004. №7. C. 11-17
8. Степанов, теории оценивания, с приложениями к задачам обработки навигационной информации. Ч. 1. Введение в теорию оценивания. Санкт-Петербург: ЦНИИ «Электроприбор», 2010, 509стр.
9. Степанов, теории оценивания, с приложениями к задачам обработки навигационной информации. Часть 2. Введение в теорию фильтрации. Санкт-Петербург: ЦНИИ «Электроприбор», 2012, 417 стр.
10. Тупысев, винеровских моделей для описания уходов гироскопов и ошибок измерения в задаче оценивания состояния инерциальных систем // Гироскопия и Навигация №3 (38) 2002 г. стр 23-33
11. , (под общей ред. акад. РАН ), Интегрированные системы ориентации и навигации для морских подвижных объектов, СПб.: ЦНИИ "Электроприбор", 2003.
