Методологічні основи наукових досліджень (стр. 16 )

10. ОБРОБКА РЕЗУЛЬТАТІВ ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНИХ ДОСЛІДЖЕНЬ

10.1. Основи теорії випадкових похибок та методів оцінки випадкових похибок у вимірюваннях

Основу теорії випадкових похибок складають припущення про те, що при великому числі вимірювань випадкові похибки однакової величини, але різного типу, зустрічаються однаково часто, більші похибки зустрічаються рідше (імовірність появи похибки зменшується з ростом її величини); при безмежно великому числі вимірювань істинне значення вимірюваної величини дорівнює середньоарифметичному значенню всіх результатів вимірювань, а поява того чи іншого результату вимірювання як випадкової події описується нормальним законом розподілу.

Розрізняють генеральну та вибіркову сукупність вимірювань. Під генеральною сумісністю розуміють всю множину можливих значень вимірювань хі або можливих значень похибок Δхі. Для вибіркової сумісності число вимірювань n обмежене. Вважають, що якщо n ≥ 30, то середнє значення сукупності вимірювань наближається до істинного значення.

Теорія випадкових похибок дозволяє оцінити точність та достовірність вимірювання при даній кількості замірів, які гарантують задану точність. Для нормального розподілу загальною оцінюючою характеристикою вимірювання є дисперсія D та коефіцієнт варіації kB:

;

.

Дисперсія характеризує однорідність вимірювання. Чим вище D, тим більший розкид параметрів. Коефіцієнт варіації характеризує змінюваність. Чим вище kB, тим більша змінність вимірювань відносно середнього значення, kB оцінює також розкид при оцінці декількох вибірок.

Довірливим називається інтервал значення хі, в який попадає істинне значення хД вимірюваної величини з заданою імовірністю. Довірливою імовірністю вимірювання називають імовірність того, що істинне значення вимірюваної величини попадає в даний довірливий інтервал, тобто в зону а ≤ хД ≤ в. Ця величина визначається в долях одиниці або в процентах. Довірювальний інтервал характеризує точність вимірювання даної вибірки, а довірювальна імовірність – достовірність вимірювання.

Визначення мінімальної кількості вимірювань. Для проведення дослідів з заданою точністю та достовірністю, необхідно знати ту кількість вимірювань при якій експериментатор впевнений в додатному результаті. Задача зводиться до встановлення мінімального обсягу вибірки Nmin при значеннях довірливого інтервалу 2μ та довірливої імовірності. При виконанні вимірювань необхідно знати їх точність:

,

де d0 – середньоарифметичне значення середньоквадратичного відхилення d, . Значення d0 часто називають середньою похибкою.

Оцінка вимірювань за допомогою d та d0 справедливі при n > 30. Для знаходження границі довірливого інтервалу при малих значеннях застосовують метод, запропонований англійським математиком (псевдонім Стьодент). Криві розподілу Стьодента у випадку (практично при n > 20) переходять в криві нормального розподілу.

В процесі обробки експериментальних даних необхідно виключити грубі похибки. Однак, перед тим як їх виключати, треба переконатися, що це дійсно груба похибка, а не відхилення внаслідок статистичного розкиду. Відомо декілька методів визначення грубих похибок статистичного ряду. Найбільш простим способом є правило трьох сігм: розкид випадкових величин всіх середніх значень не повинен перевищувати

.

Більш достовірним є метод, який базується на використанні довірливого інтервалу. При наявності грубих похибок критерії їх появи обчислюються за формулами:

;

,

де хmax, xmin – найбільше та найменше значення з n вимірювань.

Другий метод встановлення грубих помилок побудований на використанні критерію В. І. Романовського, може бути застосований також для малої вибірки. Методика виявлення грубих похибок зводиться до наступного. Задаються довірливою імовірністю рД і по таблиці, в залежності від n знаходять коефіцієнт q. Розраховують гранично допустиму абсолютну похибку окремого вимірювання:

Якщо , то вимірювання хmax визначають з ряду спостереження.

Якщо потрібно виконати мінімальну кількість вимірювань при їх заданій точності, то проводять серію дослідів, обчислюють d, а потім визначають Nmin за допомогою формули:

,

де - гарантійний коефіцієнт, kB – коефіцієнт варіації, %; Δ – точність вимірювань, %.

Однією з задач теорії вимірювань є встановлення оптимальних, тобто найбільш вигідних умов вимірювання. Оптимальні умови вимірювання в конкретному експерименті мають місце при dПР = dПРmin. Метод розв’язку цієї задачі полягає в наступному. Якщо досліджувати функцію з одним невідомим змінним, то необхідно спочатку взяти першу похідну по х, прирівняти її до нуля та визначити х1. Якщо друга похідна додатна, то в точці х1 функція має мінімум. При наявності декількох змінних поступають аналогічно, але беруть похідну по кожній змінній окремо. В результаті мінімізації функцій встановлюють оптимальну область вимірювання кожної функції, при якій відносна похибка є мінімальною, тобто .

Таблиця 1

n	Значення q при nД
0,96	0,98	0,99	0,995
2	15,56	38.97	77,96	77,97
3	4,97	8,04	11,46	36,5
4	3,56	5,08	6,58	14,46
5	3,04	4,10	5,04	9,43
6	2,78	3,64	4,36	7,41
7	2,02	3,36	3,96	6,37
8	2,51	3,18	3,71	5,73
9	2,43	3,05	3,54	5,31
10	2,37	2,96	3,41	5,01
12	2,29	2,80	3,23	4,62
14	2,24	2,74	3,12	4,37
16	2,20	2,68	3,04	4,20
18	2,17	2,04	3,01	4,07
20	2,15	2,60	2,93	3,98
µ	1,96	2,33	2,58	3,29

Відповідальні експерименти повинні бути перевірені і на відтворюваність результатів, тобто на повторюваність в певних межах вимірювань з заданою довірливою достовірністю. Суть такої повірки зводиться до наступного. Є декілька паралельних дослідів. Для кожного розраховується середньоарифметичне значення . Потім обчислюється дисперсія Д. Щоб оцінити відтворюваність, обчислюють критерій Кохрена:

,

де max Ді – найбільше значення дисторсії, сума дисторсій m серій. Рекомендується приймати . Досліди вважаються відтворюваними, якщо виконується умова:

де kKP – табличне значення критерію Кохрена.

10.2. Методи графічної обробки результатів вимірювання

Графічне зображення дає найбільш наглядну уяву про результат експерименту, дозволяє краще зрозуміти суть досліджуваного процесу, виявити загальний характер функціональної залежності досліджуваних змінних величин, встановити наявність максимуму та мінімуму функції.

Для графічного зображення результатів, як правило, використовують прямокутну систему координат. Перед тим, як будувати графік, необхідно знати хід досліджуваного явища. Як правило, якісні закономірності та форми графіка експериментатору орієнтовно відомі з теоретичних досліджень. Точки на графіку необхідно з’єднати плавною лінією таким чином, щоб вона проходила якомога ближче до всіх експериментальних точок. Якщо з’єднати точки прямими відрізками, то отримаємо ламану криву. Вона характеризує зміни функції за даними експерименту. Різкі викривлення графіка пояснюють похибки вимірювань.

Іноді при побудові графіка одна-дві точки різко віддаляються від кривої. В таких випадках спочатку необхідно проаналізувати фізичну суть явища і, якщо немає умов для появи скачка функції, то таке різке відхилення можна пояснити грубою похибкою або промахом.

Часто на графічному зображенні результатів експерименту виникає необхідність мати справу з трьома змінними . В цьому випадку використовують метод розділення змінних. Однією з величин z в межах інтервалу вимірювань z1 – zn задають декілька послідовних значень. Для решти двох змінних x та y будують графіки при z = const. В результаті на одному графіку отримують сімейство кривих для декількох значень z. Прикладом таких графіків можуть бути вигідні характеристики транзистора при різних значеннях струму бази.