Учебно-методический комплекс дисциплины преподавателя (стр. 6 )

Пример 1. Определить доверительный интервал математического ожидания "а" по одному наблюдению , если известно, что генеральная совокупность имеет нормальное распределение с значением дисперсии . В качестве доверительной вероятности возьмем Р=0.96.

Берем в качестве доверительных границ симметричные квантили

или

Тогда имеем : по таблице .

Для общего нормального распределения из (2.5)

Если над случайной величиной проведено несколько наблюдений, то для оценки математического ожидания можно использовать выборочное среднее и тогда

Если генеральная дисперсия известна, то и окончательно получаем:

Отсюда видно, что уменьшение интервальной оценки обратно пропорционально корню квадратному из числа наблюдений.

Известно, что . Поэтому, если известно распределение выборочной дисперсии , то можно оценить и генеральную дисперсию .

Распределение величины можно получить с помощью распределения Пирсона, которое еще называют -распределением (хи - квадрат распределение).

Для выборки с элементами через обозначается сумма

(2.7)

Число степеней свободы здесь также равно (одно ограничение ). Плотность -распределения зависит только от числа степеней свободы .

Рисунок 1 - График -распределения

Поскольку , то и плотность расположена на промежутке .

Кривые асимметричны, но степень асимметрии уменьшается при увеличении .

При уровне значимости доверительная оценка величины имеет вид .

Можно усмотреть связь между и . С учетом (2.7) можно записать откуда .

Отсюда с вероятностью справедливо неравенство

или .

Квантили и даются в таблицах.

Рекомендуемая литература

1.  Шишкин метрология: учебник для вузов / . - М.: Изд-во стандартов, 1991. - 492 с.

2.  Шишкин метрология. Ч.1. Общая теория измерений: учеб-метод. комплекс (учеб. пособие), 3-е изд. перераб. и доп. / . - Л.: СЗПИ, 2008. - 189 с.

3.  Исмаилов метрологии и электрических измерений: Учебное пособие. СПб.: Питер, 2003г. - 301с. ил.

Контрольные задания для СРС [2, 3, 8, 11]

1. Описать общую технологию построения имитационной модели.

2. Описать общую схему составления информационно-функциональной модели

3. Составить 5 тестовых заданий различных форм по теме лекции

Тема 10 Введение в планирование эксперимента (3 часа)

План лекции

1 Выбор и анализ эмпирических моделей. Виды моделей

2 Оценка параметров модели

3 Методы оценивания параметров

4 Регрессионный анализ

5 Проверка адекватности модели

Математические модели объектов автоматического управления можно подразделить на два большие класса: статические и динамические модели.

Под математической моделью будем понимать уравнение, связывающее выходную величину модели с входными независимыми величинами.

Y=f(x1,x2,...,xn,t)

Эту функциональную зависимость в планировании эксперимента называют функцией отклика, а входные независимые величины - факторами.

Модель в динамике учитывает динамические связи между выходными и входными величинами, а в статике функциональная зависимость выражается статическими связями.

Методы планирования эксперимента позволяют строить как статические, так и динамические модели. Те и другие могут быть определены аналитическими и экспериментально-статистическими методами.

Планирование эксперимента - это постановка опытов по некоторой заранее составленной схеме; средство построения математической модели реального процесса; способ сокращения средств и времени. Процессом называется серия реальных операций.

Моделью будем называть математическое описание реального процесса.

Модели бывают:

-  детерминированные (рис. 4.1)

Рис. 4.1.

-  детерминированная с добавлением к выходной величине случайной ошибки (рис.4.2).

Рис.4.2.

-  статистическая (рис.4.3).

Рис.4.3.

Стратегия эффективного планирования эксперимента начинается с выбора формы модели процесса. В зависимости от априорной информации о процессе различают две задачи:

-  построение модели при неизвестной структуре процесса;

-  нахождение параметров модели при заданной структуре.

Представим модели в следующем виде:

-  ,

где x - факторы (входные величины); b - неизвестные параметры (коэффициенты); h - реакция системы (выходная величина).

Целью анализа экспериментальных данных является определение оценок неизвестных параметров b в некоторой заданной области факторного пространства X .

В реальных условиях, из-за наличия помехи e , экспериментатор измеряет величину y вместо истинного значения выходной величины h . Следовательно, опираясь на результаты измерения, нельзя получить абсолютно точных значений b. Вместо истинных параметров b приходится использовать случайные величины. Обозначим эти величины b и назовем их оценками b. Тогда, оцениваемое уравнение для модели будет иметь вид:

-  Y=Y(x, b) (4.12)

Существует несколько различных методов оценивания параметров:

-  максимального правдоподобия;

-  моментов;

-  оценивание по Байесу;

-  наименьших квадратов.

После нахождения коэффициентов модели возникает задача установить пригодность модели и значимость коэффициентов. С этого момента метод наименьших квадратов превращается в регрессионный анализ. Применение регрессионного анализа возможно только при выполнении следующих предположений.

1.  Математическое ожидание величины при заданном значении является линейной функцией по параметрам, т. е. модели должны быть линейными по параметрам.