Глава I. Мноствы і аперацыі над імі (стр. 6 )

А	А
П	Н
Н	П

Саставім табліцу праўдзівасці для выказвання А:

А	А	А
П	Н	П
Н	П	Н

Параўнаўшы 1 і 3 слупкі, бачым, што значэнні праўдзівасці выказванняў А і А

 

супадаюць. У такіх выпадках будзем пісаць: А = А і называць выказванні роўнымі (або раўназначнымі).

Калі ў выказванні ёсць часціца “не”, то пры адмоўі яе можна адкінуць.

Кан’юнкцыя выказванняў.

Азн. Кан’юнкцыяй выказванняў А, В называецца выказванне “А і В”, праўдзівае, калі праўдзівыя абодва выказванні А і В, і непраўдзівае ва ўсіх астатніх выпадках.

Абазнач.: А Ù В (А і В).

Згодна азначэння табліца праўдзівасці для кан’юнкцыі мае выгляд:

А	В	АÙВ
П	П	П
П	Н	Н
Н	П	Н
Н	Н	Н

Прыклад.: “3 < 5 < 6” – П, так як “3 < 5” – П і “5 < 6” – П.

6 < 5 < 7 – Н, так як “6 < 5” – Н.

Дыз’юнкцыя выказванняў.

Азн. Дыз’юнкцыяй выказванняў А і В называецца выказванне “А або В”, непраўдзівае, калі абодва выказванні А і В непраўдзівыя, і праўдзівае ва ўсіх астатніх выпадках.

Абазн. А Ú В.

Табліца праўдзівасці:

А	В	АÚВ
П	П	П
П	Н	П
Н	П	П
Н	Н	Н

Прыклад: “2 £ 3” – П, так як “2 = 3” – Н, а “2 < 3” – П.

____ _ _ ____ _ _ _ _

Дакажам, што А Ù В = А Ú В, А Ú В = А Ù В. А Ù А = Н, А Ú А = П.

_____ __ __

Саставім табліцу праўдзівасці для выказванняў А Ù В і А Ú В:

А	В	_ А	_ В	АÙВ	АÙВ	_ _ А Ú В
П	П	Н	Н	П	Н	Н
П	Н	Н	П	Н	П	П
Н	П	П	Н	Н	П	П
Н	Н	П	П	Н	П	П

_____ _ _

Супадзенне двух апошніх слупкоў і даказвае роўнасць А Ù В = А Ú В.

_

Саставім табліцу праўдзівасці для выказвання А Ù А:

А	_ А	_ А Ù А
П	Н	Н
Н	П	Н

_

З табліцы вынікае, што А Ù А = Н.

Самастойнае заданне: _____ _ _ _

Даказаць роўнасці: А Ú В = А Ù В, А Ú А = П,

А Ù В = В Ù А, А Ú В = В Ú А

(А Ù В) Ù С = А Ù( В Ù С), (А Ú В) Ú С = А Ú (В Ú С).

Імплікацыя выказванняў.

Азн. Імплікацыяй выказванняў А і В называецца выказванне, “калі А, то В”, непраўдзівае, калі А – праўдзівае, а В – непраўдзівае, і праўдзівае ва ўсіх астатніх выпадках.

Абазн: А Þ В. А – умова імплікацыі, В – выснова (заключэнне)

Табліца праўдзівасці:

А	В	АÞВ
П	П	П
П	Н	Н
Н	П	П
Н	Н	П

Азн. Няхай дадзена імплікацыя А Þ В . Тады імплікацыя

1)В Þ А называецца адваротнай дадзенай,

_ _

2)А Þ В (калі не А, то не В) называецца процілеглай дадзенай.

Тэарэма. Для любых выказванняў А і В будзе правільнай роўнасць:

_ _

А Þ В = В Þ А

( дадзеная імплікацыя і процілеглая адваротнай ей роўныя).

Доказ тэарэмы вынікае з параўнання двух апошніх слупкоў табліцы:

А	В	_ А	_ В	АÞВ	_ _ ВÞА
П	П	Н	Н	П	П
П	Н	Н	П	Н	Н
Н	П	П	Н	П	П
Н	Н	П	П	П	П

_ _

Роўнасць А Þ В = В Þ А выкарыстоўваецца пры доказе тэарэм метадам ад процілеглага.

Эквіваленцыя выказванняў.

Азн. Эквіваленцыяй двух выказванняў А і В называецца выказванне “А тады і толькі тады, калі В”, праўдзівае калі А і В абодва праўдзівыя ці непраўдзівыя, і непраўдзівае, калі А і В маюць розныя значэнні праўдзівасці.

Абазн. А Û В. Табліца праўдзівасці:

А	В	АÛВ
П	П	П
П	Н	Н
Н	П	Н
Н	Н	П

Лёгка даказаць, што А Û В = (А Þ В) Ù (В Þ А).

Прынята лічыць, што лагічныя аперацыі ў выразе без дужак выконваюцца ў наступным парадку: адмоўе, кан’юнкцыя, дыз’юнкцыя, імплікацыя, эквіваленцыя.

Прэдыкат.

Азн. Сказ з адной або некалькімі пераменнымі, які пры падстаноўцы замест пераменных пэўных значэнняў ператвараецца ў выказванне, называецца прэдыкатам.

Прыклад. х < 5. Пры падстаноўцы замест х лікаў атрымаем праўдзівае або непраўдзівае выказванне.

З кожным прэдыкатам звязаны два мноствы:

1) мноства азначэння(вобласць азначэння),

2) мноства праўдзівасці прэдыката.

Азн. Мноства, пры падстаноўцы элементаў якога ў прэдыкат ён ператвараецца ў выказванне, называецца вобласцю азначэння прэдыката.

Вобласць азначэння можа быць зменшана ва ўмове канкрэтнага задання.