Глава I. Мноствы і аперацыі над імі (стр. 7 )

Азн. Мноства, элементы якога ператвараюць прэдыкат у праўдзівае выказванне, называюць мноствам праўдзівасці прэдыката.

Абазначаюць прэдыкаты так: А(х), х Î Х. Гэты запіс чытаюць: “На мностве Х зададзены прэдыкат А(х)(А ад х).

Калі замест х падставіць любое яго значэнне а ÎХ, то атрымаецца выказванне А(а).

Калі А(а) – П, то гавораць, што элемент а валодае ўласцівасцю А,

а калі А(а) – Н, то – не валодае.

Над прэдыкатамі выконваюць тыя ж аперацыі, што і над выказваннямі.

Азн. Кан’юнкцыяй прэдыкатаў А(х) і В(х), зададзеных на мностве Х, называецца прэдыкат А(х) Ù В(х), зададзены на тым жа мностве, які

ператвараецца ў праўдзівае выказванне для такіх х Î Х, для якіх кожны з прэдыкатаў А(х) іВ(х) ператвараецца ў праўдзівае выказванне.

Аналагічна вызначаюцца астатнія аперацыі.(Запісаць самастойна).

Лагічная выніковасць. Раўназначнасць матэматычных сказаў.

Неабходная і дастатковая ўмовы.

Калі імплікацыя А(х) Þ В(х) праўдівая для ўсіх х Î Х (ТАÞв =Х), то гавораць, што прэдыкат В(х) лагічна вынікае з прэдыката А(х).

Калі В(х) лагічна вынікае з А(х), а А(х) лагічна вынікае з В(х) (гэта значыць, што заўсёды праўдзівыя імплікацыі А(х) Þ В(х) і В(х) Þ А(х)), то гавораць, што прэдыкаты А(х) і В(х) раўназначныя на мностве Х.

Няхай на мностве Х зададзена імплікацыя А(х) Þ В(х), праўдзівая для ўсіх

х Î Х. Тады гавораць, што прэдыкат А(х) з’яўляецца дастатковай умовай для В(х), а В(х) – неабходнай для А(х).

У выпадку, калі імплікацыі А(х) Þ В(х) і В(х) Þ А(х) праўдзівыя для ўсіх

х ÎХ, атрымоўваецца, што А(х) з’яўляецца дастатковай і неабходнай умовай для В(х), а В(х) – неабходнай і дастатковай умовай для А(х). У гэтым выпадку прэдыкаты раўназначныя.

Квантары агульнасці і існавання.

Азн. Выраз “Для ўсіх х (для любога х)” называюць квантарам агульнасці.

Абазначэнне: ("х).

Выказванне ("х Î Х)Р(х) чытаюць:

“Для ўсіх х Î Х мае месца Р(х)”.

Азн. Выраз “Існуе х (для некаторага х; хаця б для аднаго х)” называюць квантарам існавання.

Абазн.: ( х).

Выказванне (х Î Х)Р(х) чытаюць: “Існуе х Î Х для якога мае месца Р(х)”.

Праўдзівасць выказвання ( х Î Х)Р(х) звычайна даказваецца, а непраўдзівасць правяраецца прывядзеннем прыклада такога х, для якога не мае месца Р(х).

Праўдзівасць выказвання (х Î Х)Р(х) правяраецца прывядзеннем прыклада такога х, для якога мае месца Р(х), а непраўдзівасць звычайна даказваецца.

Адмоўе выказванняў, змяшчаючых квантары, будуецца наступным чынам:

_____________ ____ ____________ ____

( " х Î Х)Р(х) = ( х Î Х)Р(х), ( х Î Х)Р(х) = ( " х Î Х)Р(х),

альбо паставіўшы перад гэтым выказванем словазлучэнне “няпраўда што”.

Структура тэарэмы. Віды тэарэм. Некаторыя спосабы доказу.

Пад тэарэмай разумеюць выказванне аб тым, што з уласцівасці А вынікае ўласцівасць В. Праўдзівасць устанаўліваецца шляхам правядзення доказу.

Такім чынам большасць тэарэм можна сфармуліраваць у выглядзе імплікацыі:

(1) (" х Î Х) А(х) Þ В(х), дзе квантар " х Î Х – тлумачальная частка – у ёй гаворыцца, аб якім мностве аб’ектаў ідзе размова ў тэарэме; А(х) – умова,

В(х) –заключэнне тэарэмы.

Заўвага. Тлумачальная частка і словы “калі....., то... ” не заўсёды гучаць у фармуліроўцы тэарэмы, але яны падразумеваюцца і пры рабоце з тэарэмай яе можна сфармуліраваць у выглядзе (1).

Прыклад 1. Разгледзім тэарэму: Дыяганалі ромба ўзаемна перпендыкулярны. Яе можна запісаць у выглядзе (1), дзе Х – мноства чатырохвугольнікаў, А(х): “Чатырохвугольнік х- ромб, В(х): “У чатырохвугольніка х дыяганалі перпендыкулярны”.

Тады гэта тэарэма гучыць так: “Для ўсіх чатырохвугольнікаў мае месца, калі чатырохвугольнік ромб, то яго дыяганалі перпендыкулярны”.

Калі тэарэма праўдзівая для " х Î Х, то яе можна сфармуляваць выкарыстоўваючы словы “неабходна” або “дастаткова”. Так тэарэму з прыклада 1 можна сфармуляваць так: “Для таго, каб дыяганалі чатырохвугольніка былі перпендыкулярны, дастаткова, каб ён быў ромбам”, або: “Для таго, каб чатырохвугольнік быў ромбам, неабходна, каб яго дыяганалі былі перпендыкулярны”.

Для тэарэм захоўваюцца тыя ж назвы, што і для імплікацый:

Няхай дадзена тэарэма(1):

(" х Î Х) А(х) Þ В(х) (1).

Тады тэарэма (" х Î Х) В(х) Þ А(х) (2) – адваротная (1)

____ ___

(" х Î Х) А(х) Þ В(х) (3) – процілеглая (1)

____ ____

(" х Î Х) В(х) Þ А(х) (4) - адваротная процілеглай (1)

Тэарэмы (1) і (4), як намі было паказана раней, праўдзівыя адначасова, а (1) з тэарэмамі (2), або (3) – не абавязкова.

Прыклад:

Дадзена тэарэма: “ Калі вуглы вертыкальныя, то яны – роўныя” (1).

Т.2: “Калі вуглы роўныя, то яны вертыкальныя” – непраўдзівая : 1 2

Т.3: “Калі вуглы не вертыкальныя, то яны няроўныя” – непраўдзівая;

< 1 = < 2, але яны не вертыкальныя.

Т.4: “Калі вуглы не роўныя, то яны не вертыкальныя” – праўдзівая.

___ ____

Роўнасць: (" х Î Х) А(х) Þ В(х) º (" х Î Х) В(х) Þ А(х) называюць законам кантрапазіцыі і выкарыстоўваюць пры доказе метадам ад процілеглага.

Глава 4. Ураўненні, няроўнасці.

Лікавыя выразы.

Азн. Лікі, і злучваючыя іх знакі арыфметычных дзеянняў, і дужкі ўтвараюць лікавыя выразы.

Выразы называюць у залежнасці ад таго, якое дзеянне выконваецца апошнім.

Выканаўшы дзеянні, указаныя ў выразе, мы атрымаем лік, які называюць значэннем выразу.

Выраз можа ўяўляць з сябе толькі адзін лік. Тады яго значэнне і роўна гэтаму ліку.

Азн. Калі значэнні двух лікавых выразаў супадаюць, то гавораць, што гэтыя лікавыя выразы роўныя.

Прыклад. Выразы 5 + 4 і 23 + 1 роўныя.

Выразы 14 : (8 – 8) і Ö15 – 19 не маюць лікавых значэнняў на мностве R. У гэтым выпадку гавораць, што яны не маюць сэнса.

Лікавыя роўнасці і іх уласцівасці.

Азн. Выказванне віду а = в, дзе а і в лікавыя выразы, называецца лікавай роўнасцю.

Роўнасці, як і ўсякія выказванні, бываюць праўдзівыя і непраўдзівыя.

Прыклад. 16 : 2 = 18 – 10 – П, 15 + 12 = 4 × 7 – Н.

Уласцівасці праўдзівых лікавых роўнасцей (п. л.р.).

1.Калі а = в – п. л.р., m – лікавы выраз, які мае сэнс (лікавае значэнне), то

а + m = в + m – таксама п. л.р. Гэта значыць, што калі да абедзвюх частак п. л.р. дадаць(адняць) адзін і той жа лікавы выраз, які мае значэнне, то атрымаем п. л.р.

На аснове гэтай уласцівасці лік можна перанесці з адной часткі п. л.р. у другую з процілеглым знакам (а + в = с, дададзім(-в), атрымаем а = с + (-в)).

2.Калі а = в – п. л.р. і m – любы лікавы выраз, які мае сэнс (значэнне), то

а m = в m – п. л.р.

Лікавыя няроўнасці і іх уласцівасці.

Азн. Выказванні віду а > в або а < в, дзе а і в лікавыя выразы, называюцца лікавымі няроўнасцямі.

Няроўнасці а > в і с > d называюцца няроўнасцямі аднолькавага сэнсу, а няроўнасці а > в і с < d – процілеглага сэнсу.

Лічаць па азначэнню, што а > в Û а - в > 0, гэта значыць, што а – в дадатны лік, а < в Û а – в < 0, г. з. а – в адмоўны лік.