4. Марковские системы обслуживания (стр. 4 )

При выполнении указанных условий уравнения Колмогорова (4.7) для процесса рождения и гибели принимают вид

,

где ; , . Уравнения Колмогорова для безусловных вероятностей (4.8) выполняются при тех же условиях и принимают вид

.

В случае если величины достаточно быстро возрастают с увеличением k, процесс за конечное время с положительной вероятностью может выйти из фазового пространства и перейти в «бесконечно удаленную точку» (это означает, что особей в популяции будет бесконечно много). Иначе говоря, для конечных t в этом случае имеем , а это означает, что равенство

(4.13)

не выполняется.

Оказывается, что для выполнения равенства (4.13) достаточно, чтобы расходился ряд , т. е.

. (4.14)

Если, наряду с выполнением условия (4.14), выполняется условие

, (4.15)

то процесс эргодичен, существуют финальные вероятности , , и существует единственное стационарное распределение этого процесса, совпадающее с его эргодическим распределением.

Условия (4.14), (4.15) выполняются, например, если существует состояние и такое число (), что для всех состояний выполняется неравенство

. (4.16)

Система уравнений равновесия в этом случае имеет вид

(4.17)

Примем обозначения . Тогда уравнения равновесия (4.17) представляются в виде

,

откуда следует, что для всех , и, следовательно,

,

или

. (4.18)

Поскольку является распределением вероятностей, имеем , откуда следует, что

.

4.3. Общее рассмотрение марковских систем

Пусть – число требований, находящихся в системе в момент времени t (к относятся требования, ожидающие обслуживания, и обслуживаемые в момент времени t). В том случае, если процесс является марковским, соответствующая СМО также называется марковской. В частности, марковскими являются все СМО типа , где .

Действительно, в общем случае (например, для СМО ) распределение числа требований после некоторого момента времени определяется:

1) числом требований, находящихся в системе в момент времени ;

2) моментами поступления требований в систему после момента времени ;

3)  моментами окончания обслуживания требований после момента времени .

Поскольку входной поток требований в системе является простейшим (т. е. обладает свойством отсутствия последействия), моменты поступления требований после момента времени не зависят от поведения системы до момента . Аналогично, поскольку время обслуживания требования распределено экспоненциально, то из свойства отсутствия памяти у экспоненциального распределения следует, что моменты окончания обслуживания требований после момента зависят только от числа требований в системе в момент и не зависят от ее поведения до момента . Следовательно, процесс является марковским с конечным () или счетным ( или ) множеством состояний. Поэтому для нахождения вероятностей , следует решить систему уравнений Колмогорова для безусловных вероятностей с учетом начальных условий.

В случае существования стационарного режима (эргодического распределения) стационарные (финальные) вероятности , , можно определить из уравнений равновесия. В соответствии с тем, что уравнения Колмогорова получаются вероятностным переходом при , описанный метод называется методом .

Если или , то, очевидно, процесс является процессом рождения и гибели, граф состояний которого представлен на рис. 3, а уравнения равновесия имеют вид (4.17). Если со вторым уравнением при сложить первое, получим . Затем, если со вторым уравнением при сложить уравнение, полученное на первом шаге, имеем . Продолжение этого процесса приводит к системе

. (4.19)

Наоборот, из системы (4.19) следует система (4.17).

Вероятностный смысл уравнений (4.19) выясняется с помощью следующей геометрической интерпретации. Проведем на графе, представленном на рис. 3, вертикальное сечение между состояниями и n (пунктирная линия на рис. 4).

Тогда поток вероятности через это сечение с левой стороны в стационарном режиме равен потоку вероятности с правой сто-роны.

В дальнейшем в данном разделе мы будем использовать следующие обозначения: a – параметр (интенсивность) простейшего входного потока требований, – параметр экспоненциального распределения времени обслуживания ( имеет смысл среднего числа требований, обслуживаемых одним прибором, работающим беспрерывно, в течение единицы времени), (в случае ); в случае будем применять обозначение .