4. Марковские системы обслуживания (стр. 6 )

Рис. 6. Граф состояний СМО

Процесс является в нашем случае процессом рождения и гибели. Если выполняется неравенство , то, как следует из формулы (4.16), существует единственное стационарное распределение процесса . Уравнения равновесия для вертикальных сечений, проведенных в графе на рис. 6, имеют вид

откуда вытекают соотношения, аналогичные полученным в п. 4.4:

(4.20)

Условие нормировки в этом случае имеет вид

,

откуда следует, что

.

Стационарный первый момент числа требований, находящихся в системе, в этом случае вычисляется следующим образом:

.

Заметим, что такие же результаты мы получили бы, если бы перешли к пределу при в соответствующих формулах для СМО , дополнительно предположив, что .

Анализируемая система представляет собой СМО с ожиданием, поэтому для нее имеет смысл определение ФР стационарного времени ожидания W, где при (здесь – время ожидания k-го требования).

Заметим, что полученное распределение числа требований в СМО не зависит от очередности их обслуживания, но подобное утверждение не является, очевидно, справедливым в отношении распределения времени ожидания. Далее будем считать, что очередность обслуживания требований соответствует порядку их поступления в систему (дисциплина FIFO).

ФР представим в виде

, (4.21)

где

, (4.22)

– условная вероятность выполнения неравенства для прибывающего требования при условии, что в момент его поступления в системе находилось k других требований (или, более кратко, система находилась в состоянии k).

Очевидно, для всех и имеем , поскольку в таком случае в момент поступления в системе имеются свободные приборы (точнее, число таких свободных ОП равно ). Поэтому соотношение (4.22) можно представить в виде

, (4.23)

где величины определяются соотношениями (4.20). Введем обозначение . Тогда представляет собой вероятность выполнения неравенства при условии, что в момент поступления требования все ОП заняты, и, кроме того, в системе находится требований, ожидающих обслуживания.

Очевидно поэтому, что, с другой стороны, есть вероятность того, что в течение t единиц времени после поступления требования состоится не более освобождений ОП (или, что то же самое, не более требований будет обслужено).

Пусть , есть вероятность того, что состоялось освобождений ОП за время t при условии, что все ОП в течение этого времени были заняты. Тогда поток освобождений (последовательность моментов времени окончания обслуживания требований), очевидно, является простейшим с параметром . Имеем, следовательно,

,

откуда следует, что

.

Из формулы (4.22) имеем

,

откуда с учетом соотношения (4.21) получаем

.

Очевидно, время пребывания требования V в стационарном режиме равно , где – время обслуживания требования, при этом СВ и независимы. Следовательно, ФР СВ V можем определить следующим образом:

,

где .

Ясно, что для рассматриваемой СМО стационарная вероятность того, что требование не сразу после своего поступления в систему начнет обслуживаться, а будет ожидать обслуживания в очереди, равна

.

Первый момент стационарного времени ожидания равен

.

В свою очередь, первый момент времени пребывания есть

.

Например, в случае (для СМО ) получаем

;

; ;

.

Легко убедиться, что для анализируемой СМО оказываются справедливыми формулы Литтла.

4.6. Система M/M/¥

В СМО число ОП бесконечно. Поэтому все прибывающие требования обслуживаются без ожидания (время пребывания равно времени обслуживания). Граф состояний такой СМО представлен на рис. 7.

a

a

a

…

…

Рис. 7. Граф состояний СМО

Для достаточно больших k имеем . Тогда, как следует из соотношения (4.16), существует единственное стационарное распределение числа требований, находящихся в системе , которое можно определить из уравнений равновесия

,

откуда следует, что

,

где ,

,

следовательно, окончательно

. (4.24)

Точно такой же результат можно получить с помощью перехода к пределу при в соответствующих соотношениях для СМО .