Основные термины, применяемые в метрологии (стр. 3 )

При сужении интервала .

Для описания погрешностей как случайных величин используется плотность распределения вероятностей

График может иметь различную форму в зависимости от закона распределения погрешностей. Для (рис.1) кривая f() имеет форму купола. Если имеет две составляющие, причем случайные составляющие группируются около систематических составляющих, малые случайные составляющие имеют большую плотность, чем большие.

Вероятность появления случайной погрешности определяется площадью, ограниченной кривой и осью абсцисс.

А

 

Р

 

 

с 1 с 2

На втором рисунке показан случай, когда внесена поправка на значение с. В этом случае с =0 и около нулевого математического ожидания погрешности группируются случайные погрешности о.

Т. к. , то вероятность появления случайных погрешностей определеяется площадью, ограниченной кривой и осью абсцисс.

В зависимости от рассматриваемого интервала .

Значение – это элемент вероятности, равный площади прямоугольника с основанием и абсциссами и , которые называются квантилями.

Со статистических позиций можно дать следующее определение составляющих погрешности:

1.   Систематическая погрешность – это отклонение математического ожидания результатов наблюдения от истинного значения измеряемой величины.

.

2.   Случайная погрешность – это разность между результатом единичного наблюдения и мат. ожиданием результата.

.

Математическое ожидание погрешности равно математическому ожиданию систематических составляющих погрешности, т. к. мат. ожидание случайной погрешности всегда равно 0.

Числовые вероятностные характеристики случайной погрешности.

Вероятностной характеристикой случайных погрешностей как случайных величин является закон распределения вероятностей. Чтобы характеризовать случайные погрешности, пользуются числовыми вероятностными характеристиками случайных погрешностей, которые называют начальными и центральными моментами (мат. ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффициент асимметрии и эксцесс). Моменты– это средние значения и называются начальными, если усредняются величины, отсчитываемые от начала координаты, и центральными – от центра функции плотности вероятности.

Начальные моменты порядка r результатов наблюдений представляют собой мат. ожидание степени хr

Первый начальный момент совпадает с мат. ожиданием результатов наблюдений, т. е.

Мат. ожидание является оценкой истинного значения измеряемой величины.

Центральными моментами r-го порядка результатов наблюдений называют интеграл вида который получают при смещении начала координат плотности распределения вероятностей в точку mx. Первый центральный момент равен 0. Второй – это дисперсия результатов наблюдений:

Дисперсия – характеристика рассеяния результатов наблюдений относительно мат. ожидания. Дисперсия увеличивается с увеличением рассеяния результатов наблюдения. В качестве характеристики рассеяния используется среднее квадратическое отклонение (положительное значение квадратного корня дисперсии):

Третий центральный момент характеризует асимметрию распределения случайных погрешностей, т. е. скошенность. Коэффициент асимметрии:

Четвертый центральный момент характеризует форму, плосковершинность или островершинность распределения случайных погрешностей и описывается с помощью эксцесса:

Число 3 вычитают потому, что для нормального распределения погрешностей

. Выражение называется контрэксцессом.

Оценки истинного значения на основании ограниченного ряда наблюдений.

При бесконечном числе испытаний случайная величина может принимать любые значения, называемые генеральной совокупностью. Число n этих значений называют выборкой объема n. Определяя по данным этой выборки характеристики закона распределения, получаем не истинные значения моментов, а лишь их оценки, случайно отклоняющиеся от истинных значений.

А – действительное значение искомой величины.

– оценка искомой величины.

– функция, зависящая от вида распределения и результатов измерений.

= f(x1, x2,…xn). Споcобы нахождения статистических оценок зависят от законов распределения.

Требования к оценкам случайной величины.

1.  

Состоятельность – такой считается оценка параметра А, если при увеличении числа наблюдений она стремится к истинному значению оцениваемой величины, т. е. при .

2.   Несмещенность – такой считается оценка , математическое ожидание которой равно истинному значению оцениваемой величины.

3.   Эффективность – такая оценка , из нескольких возможных несмещенных, для которых оценка дисперсии будет минимальная. При ограниченном ряде наблюдений среднее арифметическое является несмещенной оценкой истинного значения, а также эффективной оценкой.