Линейные сравнения с одним неизвестным (стр. 4 )

n	0	1	2	3
q	2	1	1	6
	2	3	5	33

; ; .

Это решение исходного сравнения по вспомогательному модулю 33. Все шесть решений по заданному модулю , где . Окончательно, .

Пример 4. Решить неопределенное уравнение .

Решение. Так как , то уравнение имеет решение в целых числах; учитывая, что 23 – целое положительное число, его можно принять за модуль соответствующего сравнения, в результате получим: . Прибавляя к левой части сравнения число , кратное модулю, приходим к сравнению, , т. е. , где ; подставив полученное значение в данное уравнение, после простейших преобразований находим, что , где . Получим общее решение данного уравнения в виде , , где .

Пример 5. Найти числа, которые при делении на 7, 13, 17 дают в остатке соответственно 4, 9 и 1.

Решение. Искомые числа должны удовлетворять системе сравнений:

Так как модули сравнений попарно взаимно просты, что эта система имеет единственное решение по модулю . Первое сравнение имеет единственное решение: , где . Подставим во второе сравнение вместо выражение , получим: . Так как , то последнее сравнение имеет единственное решение: , т. е. , , а значит, , . Найдем те значения , при которых будет удовлетворять третьему сравнению Имеем: или . Откуда , следовательно, ; итак, или .

Упражнения.

№1. Что называется сравнением -й степени с неизвестно величиной?

№2. Почему сравнение имеет не более чем решений?

Почему при решении этого сравнения достаточно ограничиться

испытанием чисел 0, 1, 2, …, ?

№3. Какие сравнения называются равносильными?

№4. Перечислите преобразования и операции, приводящие к равносильным

сравнениям.

№5. Дано сравнение . При каких условиях оно имеет

единственное решение, не имеет решений, имеет решений?

№6. Чему равна степень сравнения: ?

№7. После некоторых преобразований, приводящих к равносильным

сравнениям, решить путем испытаний наименьших неотрицательных

вычетов следующие сравнения:

1)  ; 2) ;

3) ; 4) .

№8. Решите следующие сравнения:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) .

№9. Решите сравнение вида , где принимают соответст-

венно следующие значения:

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
a	15	12	18	5	75	37	39	20	183	42	11	39	45	12	21	15
b	21	16	12	15	54	16	5	35	93	105	15	19	21	15	10	7
m	18	28	30	25	21	11	11	45	111	245	24	53	132	35	25	16
№	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32
a	95	91	37	185	7	23	13	143	37	91	113	271	221	13	14	23
b	59	1	25	125	4	667	1	41	5	143	89	25	111	178	50	5
m	308	132	107	353	19	693	27	221	217	222	311	119	360	153	62	71

Начиная с № 17 сравнения решите с помощью цепных дробей.