Варианты контрольной работы (стр. 4 )

Получаем , . Поэтому

.

Общее решение данного соотношения имеет вид:

.

Найдем С1 и С2, воспользовавшись условиями .

;

.

Получаем систему из которой

Окончательно получаем .

Ответ: .

6.0. Дано универсальное множество U = {1, 2, 3, …, 10} и множества

A = { nÎU, n – делитель числа 6}, B = { nÎU, n – простое число},

C = { nÎU, n – четное число}. Найти множество .

Решение. Перечислим элементы множеств: A = {1,2,3,6}, B = {1,2,3,5,7}, C = {2,4,6,8,10}. Найдем по действиям все указанные в условии множест­ва: = {4,5,7,8,9,10}, = {1,2,3,4,8,9,10}, = {4,6,8,9,10},

= {2,4,6,8,9,10}, = {2,4,8,9,10}.

Ответ: = {2,4,8,9,10}.

7.0. Для трех произвольных взаимно пересекающихся множеств A, B и C с помощью диаграмм Эйлера-Венна построить множество .

Решение. Найдем по действиям все указанные в условии множества (отмечая их штриховкой на диаграмме):

U

Ответ: .

8.0. Постройте бинарное отношение, обладающее свойствами симмет­ричности, антисимметричности, транзитивности, и не обладающее свойствами рефлексивности и антирефлексивности, или докажите, что такого не существует:

Решение. Пусть . Зададим бинарное отношение .

Так как , то P не рефлексивно.

Так как , то P не антирефлексивно.

Из (1, 1) (1, 1) и (2, 2) (2, 2), поэтому P симметрично.

Из (1, 1) и (1, 1) 1 = 1, из (2, 2) и (2, 2) 2 = 2, поэтому P антисим­метрично.

Из (1, 1) и (1, 1) (1, 1), из (2, 2) и (2, 2) (2, 2), поэтому P транзитивно.

Ответ: .

9.0. Исследовать, является ли отображение : инъек­тивным, сюръективным, биективным. Ответ обоснуйте.

Решение. Найдем область значений функции f: , , следовательно, . Уточним эту оценку функ­ции, найдя ее минимальное значение.

, , , .

Итак, область значений определяется неравенством .

Пусть и , , тогда . Следова­тельно, отображение f не является инъективным.

Пусть , но тогда не существует x такого, что , так как . Следовательно, отображение f не является сюръективным.

Раз f не является ни инъективным, ни сюръективным, тем более не является биективным.

Ответ: f не инъективно, не сюръективно, не биективно.

10.0. Предприятие (пункт 0) имеет несколько торговых точек. В ячейках таблицы приведены сведения о дорогах, соединяющих эти точки, и времени, которое затрачивает автомашина на путь между ними (в первой строке через запятую указаны номер начальной и конечной вершины каждой дуги, во второй строке – соответствующие длины). Требуется:

а) изобразить схему расположения точек и дорог между ними в виде взвешенного графа;

б) задать этот граф матрицей смежности.

0,1	0,2	1,3	1,4	1,6	2,3	2,5	2,6	3,7	4,6	4,8	5,7	6,8	7,6	7,8
10	11	8	13	12	4	6	18	13	9	10	8	13	8	7

Решение. Строим граф (рис.1.). Из таблицы видно, что данный граф имеет 9 вершин, обозначим их , , …, , и 15 ребер.

а)

Рис. 1.

б) .

11.0. Для графа, построенного в задаче 10, осуществить обход из верш­ины : а) в ширину; б) в глубину.

Решение. Обход графа – это некоторое систематическое перечисление его вершин. Начинаем с вершины , отмечаем ее и помещаем в структуру T, Далее в цикле, пока структура Т не пуста. Извлекаем вершину u из структуры данных T и возвращаем ее в качестве очередной пройденной вершины. Отмечаем все неотмеченные вершины, смежные с u, и помещаем их в T. Если T – очередь, то обход называется обходом в ширину, если T – стек, то обход называется обходом в глубину.