Ряды Фурье (стр. 11 )

Поэтому, подставляя функцию u в начальные условия (5) и учитывая определения функций T0,λ(t) и T1,λ(t), получим

и при a≤x≤b.

(18)

При сделанных нами предположениях, коэффициенты ak и bk, k=0, 1, 2, 3,…, являются коэффициентами Фурье функций f0(x) и f1(x) относительно ортогональной последовательности (16). Поэтому для их вычисления можно использовать формулу (2) § 3:

и , k=0, 1, 2, 3,…,

(19)

где скалярное произведение и норма определены формулами (1) и (2) § 1, а вес p(x) – формулой (13).

При решении уравнения (2) разница состоит в том, что вместо уравнения (8) получается уравнение первого порядка

.

(20)

Если обозначить Tλ(t) решение этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию , то решение уравнения (2) можно записать в виде

.

(21)

Начальное условие (6) приводит к равенству

,

(22)

поэтому коэффициенты ряда определяются формулой

, k=0, 1, 2, 3,….

(23)

Замечание. Можно доказать, что если задача (1), (5), (7) или (2), (6), (7) имеет (непрерывное) решение в полуполосе a≤x≤b, t≥0, то это решение можно записать в виде ряда (17) или (21) соответственно. Если начальные и граничные условия не согласованы, либо начальные условия задаются разрывными функциями, то такого (непрерывного) решения не существует. Тем не менее, описанный метод позволяет получить функцию, которая может служить, в некотором смысле, обобщённым решением, которое удовлетворяет дифференциальному уравнению там, где нужные производные существуют, а на границе имеет предельные значения, совпадающие с заданными начальными и граничными условиями.

§ 13. Примеры дифференциальных уравнений

I. Найдём решение дифференциального уравнения

,

(1)

удовлетворяющее граничным условиям

, при t≥0

(2)

и начальным условиям

, .

(3)

Это уравнение имеет вид (1) § 12, причём, A2(t)=1, A1(t)=2, A0(t)=0, B2(x)=1, B1(x)=0, B0(x)=0. Используя формулы (13) § 12, найдём r(x)=1, p(x)=1, q(x)=0. Из трёх последних функций нам понадобится только функция p(x), которая служит весом на заданном отрезке [0,π].

Рассуждая так же, как в § 12, получим уравнения

и ,

(4)

а граничные условия для второго из этих уравнений примут вид

и .

(5)

Уравнения (4) являются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами.

Решаем сначала второе из них. Характеристическое уравнение имеет вид κ2+λ=0; его корни:

и при λ<0,

κ1=κ2=0 при λ=0,

и при λ>0.

В случае λ<0 общее решение имеет вид

;

дифференцируя по x, найдём

;

подставляя граничные значения (5), получим для определения C1 и C2 однородную систему линейных уравнений

Определитель основной матрицы этой системы

,

очевидно, не равен 0 при любом λ<0, поэтому система имеет только решение C1=0, C2=0, что даёт нулевое решение для краевой задачи. Следовательно, собственных значений и собственных функций при λ<0 нет.

В случае λ=0 общее решение имеет вид X=C1+C2x; тогда и, подставляя граничные значения (5), получим систему

из которой, как и в предыдущем случае, следует, что собственных значений и собственных функций при λ=0 нет.

Наконец, в случае λ>0 общее решение имеет вид

;

дифференцируя по x, найдём

и, подставляя граничные значения (5), получим систему

Эта система имеет решение с C2≠0 только при условии , то есть, при , k=0, 1, 2, 3,… (так как λ>0); выражая отсюда λ, получим собственные значения и собственные функции

и , k=0, 1, 2, 3,…,

(6)

которые получаются из общего решения при C1=0 и C2=1[14]).

Вычислим нормы собственных функций:

, k=0, 1, 2, 3,….

Далее по формулам (19) § 12 разлагаем функции

f0(x)=2πx-x2 и

входящие в начальные условия (3), в ряды по собственным функциям. Вычисления, аналогичные выполненным в § 11, дают

, k=0, 1, 2, 3,…,

, k=0, 1, 2, 3,…[15]).

Теперь для каждого собственного значения λ=λk, k=0, 1, 2, 3,…, нужно решить первое из уравнений (4). Подставляя в него собственные значения (6), получим при k=0, 1, 2, 3,… уравнение

.

Характеристическое уравнение имеет вид

;

его корни:

при k=0;

, при k=1, 2, 3,…[16]).

При k=0 общее решение имеет вид ; дифференцируя по t, получим .

Подставляя это решение в начальные условия , , получим систему уравнений

из которой находим C1=1, ; подставляя в общее решение, получаем частное решение .

Подставляя то же самое решение в начальные условия , , получим систему уравнений