Ряды Фурье (стр. 2 )

Замечание. В этом определении ни в коем случае не предполагается, что рассматриваемый ряд сходится (в смысле существования конечного предела частичных сумм) хотя бы в одной точке отрезка [a,b]; если же ряд в какой-нибудь точке сходится, то его сумма не обязана совпадать с S(x). И наоборот, из сходимости функционального ряда во всех точках отрезка [a,b] также не следует его сходимость в среднем. Таким образом, (поточечная) сходимость функционального ряда на отрезке [a,b] и сходимость этого ряда на отрезке [a,b] в среднем – это существенно разные виды сходимости, никак не следующие друг из друга.

Определение 2. Говорят, что функциональный ряд равномерно сходится на отрезке [a,b] к функции S(x), если для каждого числа ε>0 можно найти такой номер nε, чтобы для всех n>nε и для всех выполнялось неравенство .

Теорема 1. Если функциональный ряд равномерно сходится на отрезке [a,b] к функции S(x), то его сумма равна S(x), и ряд сходится к S(x) в среднем (с любым весом p(x)).

Доказательство. То обстоятельство, что сумма ряда в каждой точке равна S(x), следует просто из сравнения определения предела числовой последовательности () с определением равномерной сходимости.

Докажем теперь равенство (1). Пусть M – любое число, удовлетворяющее условию p(x)≤M. Пусть задано произвольное число ε>0. Найдём такой номер nε, чтобы для всех n>nε выполнялось неравенство . По определению предела, это будет означать, что , то есть, сходимость в среднем.

Так как ряд равномерно сходится на отрезке [a,b], существует такой номер nε, что при всех и при всех n>nε выполняется неравенство . Тогда для любого n>nε получаем

,

откуда следует нужное неравенство. Теорема доказана.

Подробное изучение равномерно сходящихся рядов в нашу задачу не входит. Отметим лишь без доказательств несколько свойств, которые нам понадобятся.

Свойство I. Если ряд равномерно сходится на отрезке [a,b], c – любое число, то ряд тоже равномерно сходится на отрезке [a,b].

Свойство II. Если ряды и равномерно сходится на отрезке [a,b], то ряд тоже равномерно сходится на отрезке [a,b].

Свойство III. Если ряд равномерно сходится на отрезке [a,b], а функция g(x) ограничена на отрезке [a,b], то ряд тоже равномерно сходится на отрезке [a,b].

Теорема 2. Если ряд равномерно сходится на отрезке [a,b], то его можно почленно интегрировать на любом отрезке , то есть, выполняется равенство

.

(2)

§ 3. Коэффициенты Фурье

Предполагаем, что на отрезке [a,b] с весом p(x) задана ортогональная последовательность функций

φ1(x), φ2(x),…, φk(x),…,

(1)

удовлетворяющих условию при всех k=1, 2, 3,….

Определение 1. Коэффициентами Фурье функции f(x) относительно ортогональной последовательности (1) называются числа

, k=1, 2, 3,….

(2)

Теорема 1. Если c1, c2,…, ck,… – коэффициенты Фурье функции f(x) относительно ортогональной последовательности (1), то при каждом n≥1 функция

gn(x)=f(x)-c1φ1(x)-c2φ2(x)-…-cnφn(x)

ортогональна каждой из функций φ1(x), φ2(x),…, φn(x).

Доказательство. Докажем, например, ортогональность функций gn(x) и φ1(x):

.

Аналогично доказывается ортогональность gn(x) каждой из функций φ2(x),…, φn(x). Теорема доказана.

Эта теорема часто используется для построения ортогональных последовательностей функций.

Теорема 2 (минимальное свойство коэффициентов Фурье). При каждом n≥1 функция

имеет наименьшее значение тогда и только тогда, когда коэффициенты λ1, λ2,…, λn совпадают с коэффициентами Фурье c1, c2,…, cn функции f(x) относительно ортогональной последовательности (1).

Доказательство. Для удобства рассмотрим квадрат функции gn(λ1,λ2,…,λn). Так как норма неотрицательна, эта функция и её квадрат имеют наименьшее значение в одной и той же точке.

Так как (φk,φj)=0 при j≠k, то в двойной сумме остаются только члены с j=k.

Выражение в скобках дополняем до полного квадрата; чтобы ничего не изменилось, добавленный член вычитаем.

Так как , причём, равенство возможно только при условии λk=ck для всех k=1, 2,…, n, то из последнего выражения следует, что

,

(3)

причём, равенство достигается только при условии λk=ck для всех k=1, 2,…, n. Теорема доказана.

Немного продолжим рассуждения. Подставляя в неравенство (3) λ1=c1, λ2=c2,…, λn=cn и заменяя функцию gn её определением, получим равенство

.

(4)

Следствие 1 (неравенство Бесселя). Если c1, c2,…, ck,… – коэффициенты Фурье функции f(x) относительно ортогональной последовательности (1), то

.

(5)

Доказательство. Так как левая часть равенства (4) при любом n≥1 неотрицательна, то правая – тоже. Поэтому для всех n≥1 выполняется неравенство

.

Из этого неравенства следует, что частичные суммы ряда с неотрицательными членами ограничены, поэтому этот ряд сходится. Переходя к пределу при n→∞, получим требуемое неравенство (5).