Определение аффинных преобразований (стр. 2 )

— это уравнение прямой. Итак образы точек прямой лежат на прямой .

2) Если она не пересекается с .

Задача 13.1[9] Случай, когда не пересекается с , рассмотрите самостоятельно.

Решение.

Если не пересекается с , то все точки удалены от прямой на определенное расстояние . После сжатия или растяжения относительно они станут точками, удалёнными от прямой на расстояние и по прежнему будут лежать по одну сторону от прямой . А значит, они будут лежать на прямой.

Конец решения.

Конец доказательства.

Итак, кроме движений плоскости аффинные преобразования содержат еще сжатия и растяжения относительно прямой. Если мы применим растяжение относительно одной прямой, а потом относительно другой прямой, то снова получим аффинное преобразование, так как и первое, и второе растяжение сохраняло прямые и разные точки переводило в разные. Вообще верно

Утверждение 3

Композиция аффинных преобразований есть снова аффинное преобразование:

Мы здесь использовали значок «» композиции. Выражение следует понимать как преобразование плоскости, которое получается после применения преобразования и последующего применения преобразования . Значок «» следует читать как «принадлежит», то есть «содержатся внутри как элемент».

Рисунок 4. При параллельном проектировании с одной плоскости на другую фигура подвергается растяжению (сжатию) относительно прямой пересечения плоскостей.

Задача 2[10]

Докажите, что при параллельной проекции фигуры с одной плоскости на другую, фигура на второй
1) совпадает с тем, что изображено на первой, если плоскости параллельны;
2) является растяжением (сжатием) того, что изображено на первой плоскости, относительно прямой пересечения плоскостей, если плоскости пересекаются.

[править] Гомотетия

Есть еще важный класс аффинных преобразований — это сжатия и растяжения относительно точки. Они называются преобразованиями подобия или гомотетиями.

Определение 5.

Гомотетия относительно точки с коэффициентом точку переводит в точку , которая удалена от точки в раз сильнее чем точка и лежит на прямой c той же стороны от точки , что и точка , если . Если , то и лежат по разные стороны от точки . Другими словами,

Задача 3[8]

Что такое гомотетия с коэффициентом

a) ; б) ?

Решение

а) Тождественное преобразование (преобразование, которое ничего не преобразует, а все оставляет на своих местах);

б) поворот на вокруг центра гомотетии.

Конец решения

Как вы узнали из задачи 2(ссылка), растяжение (сжатие) относительно прямой можно реализовать как проекцию фигуры с помощью параллельного пучка лучей с одной плоскости на другую плоскость, не параллельную ей. А гомотетия получается при проекции с помощью центрального пучка лучей с одной плоскости на другую, параллельную ей плоскость (рис.5).

Задача 4[8]

Какое преобразование обратно гомотетии с коэффициентом

а) ; б) ?

Решение

Гомотетия с коэффициентом а) б) и тем же центром.

Конец решения

Рисунок 5. Гомотетия как проекция фигуры с одной плоскости на другую, параллельную ей плоскость с помощью центрального пучка лучей.

Обозначения 1

Обозначим как растяжение относительно прямой с коэффициентом (если , то это сжатие). И, в то же время, будет обозначать гомотетию относительно точки с коэффициентом .

Мы уже выяснили, что

'Задача 5[8]

Докажите, что гомотетия относительно точки тоже аффинное преобразование:

Подсказка Это можно сделать, решив следующую задачу. Кроме того, есть простой путь для тех, кто освоился с декартовой системой координат. Поместите начало системы координат в центр гомотетии и определите, что происходит при гомотетии с координатами точки. Как выглядит общее уравнение прямой? Почему прямые при гомотетии остаются прямыми?

задача 6[8]

Докажите, что гомотетию относительно точки можно представить как композицию двух растяжений (сжатий) относительно перпендикулярных прямых и , пересекающихся в точке :

. Точнее