Партнерка на США и Канаду по недвижимости, выплаты в крипто

  • 30% recurring commission
  • Выплаты в USDT
  • Вывод каждую неделю
  • Комиссия до 5 лет за каждого referral

yx=a,\quad a \ne 0,\,\!или \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,

Задача 35[11]

Докажите, что множество всех гипербол — это множество все фигур, которые можно получить из гиперболы yx=1\,\!при помощи аффинных преобразований.

[править] Методы решения задач с помощью аффинных преобразований

Задача 36[9]

Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Решение

Из любого треугольника можно сделать равносторонний. Давайте сделаем. Заметим, что середины сторон перешли в середины сторон и медианы перешли в медианы. В равностороннем треугольнике медианы пересекаются в одной точке в силу симметрии. Значит, в исходном треугольнике они тоже пересекались в одной точке.


Попробуйте обобщить результат задачи 36 на случай не обязательно медиан и не обязательно треугольников.

Следующая задача решается аналогичным образом.

Задача 37[9]

Докажите, что три медианы делят треугольник на 6\,\!равновеликих треугольников.


Обычно, задачу можно решить методом аффинных преобразований, если нужно найти отношение длин, или отношение площадей, или доказать параллельность. Причем в условии задачи не должно быть дано ничего такого, что не сохраняется при аффинных преобразованиях. Например, если в задаче дано точное значение какого-то угла, то, скорее всего, эта задача не решается методом аффинных преобразований.

Задача 38[9]

На сторонах треугольника ABC\,\!поставлены точки, которые делят эти стороны в отношении 1:3\,\!. А именно, на стороне AB\,\!поставлена точка C_1\,\!, на BC\,\!— точка A_1\,\!, на CA\,\!— точка B_1\,\!, и AC_1=3\cdot C_1B\,\!, BA_1=3\cdot A_1C\,\!, CB_1=3B_1A\,\!. Площадь треугольника ABC\,\!равна 1\,\!. Чему равна площадь треугольника A_1B_1C_1\,\!?

Задача 39[10]

Докажите, что медианы треугольника A_1B_1C_1\,\!из предыдущей задачи пересекаются в той же точке, что и медианы треугольника ABC\,\!.

Подсказка Превратите треугольник ABC\,\!в правильный и используйте поворот вокруг центра ABC\,\!на 60^\circ\,\!.

Задача 40[10]

Докажите, что медианы треугольника, образованного прямыми AA_1\,\!, BB_1\,\!, CC_1\,\!из предыдущей задачи, пересекаются в той же точке, что и медианы треугольника ABC\,\!.

Задача 41[10]

Через каждую вершину треугольника проведены две прямые, делящие противоположную сторону треугольника на три равные части. Докажите, что диагонали, соединяющие противоположные вершины шестиугольника, образованного этими прямыми, пересекаются в одной точке.

Задача 42[11]

На сторонах AB\,\!, BC\,\!, CD\,\!параллелограмма ABCD\,\!взяты точки K\,\!, L\,\!, M\,\!соответственно, делящие эти стороны в одинаковых отношениях. Пусть b\,\!, c\,\!, d\,\!— прямые, проходящие через B\,\!, C\,\!, D\,\!параллельно прямым KL\,\!, KM\,\!, ML\,\!соответственно. Докажите, что прямые b\,\!, c\,\!, d\,\!проходят через одну точку.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5