Функциональные ряды (стр. 3 )

где

Так как интеграл от суммы конечного числа слагаемых равен сумме интегралов от этих слагаемых, то

(3.3)

Так как ряд мажорируем, то при любом имеем

где при

Поэтому

Так как при то

Из (3.3) имеем:

Следовательно,

или

(3.4)

Выражение в квадратных скобках есть частичная сумма ряда

Частичные суммы этого ряда имеют предел, ряд сходится и его сумма в силу (3.4) равна то есть равенство (3.2) доказано.

Замечание. Если ряд (3.1) не мажорируем, то почленное интегрирование не всегда возможно.

III. Дифференцирование рядов

Теорема. Пусть ряд где - функции, имеющие непрерывные производные на отрезке сходится на этом отрезке к сумме и ряд

(3.5)

мажорируется на том же отрезке, тогда

Доказательство. Обозначим через сумму ряда это будет непрерывная функция от Покажем, что

Воспользуемся предыдущей теоремой, проинтегрируем ряд (3.5) почленно в промежутке где - произвольное значение из получим

Так как

то

По условию

поэтому по теореме об арифметических действиях со сходящимися рядами

Дифференцируя по обе части этого равенства, получим

Теорема доказана.

Замечание. Требование мажорируемости ряда производных существенно, его невыполнение может привести к невозможности почленного дифференцирования ряда.

Рассмотрим в качестве примера ряд

Так как при любом

то ряд мажорируем и сходится на всей числовой прямой к непрерывной функции. Ряд составленный из производных, расходится, например, при . (Можно показать, что расходится не только при ).

Приложение

Задание 1. Найти область сходимости функционального ряда.

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.
21.	22.
23.	24.
25.	26.
27.	28.
29.	30.

Задание 2. Найти область сходимости функционального ряда.

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10. tg
11.	12.
13.	14. tg
15.	16.
17.	18.
19.	20.
21.	22.tg
23. tg	24.
25.	26.
27. tg	28.
29.	30.

Задание 3. Доказать равномерную сходимость функционального ряда на отрезке . При каких абсолютная величина остаточного члена ряда не превосходит для любого ?