Уравнения высоких степеней (стр. 3 )

Получили полное кубическое уравнение, которое мы уже можем решить. Найдем какой либо его корень и внесем его в уравнение (3), теперь примет вид

.

Отсюда

.

Это квадратное уравнение. Решая его, можно найти корень уравнения(2), а следовательно и (1).

За 4 месяца до смерти Кардано закончил свою автобиографию, которою он напряженно писал весь последний год и которая должна была подвести итог его сложной жизни. Он чувствовал приближение смерти. По некоторым сведениям его собственный гороскоп связывал его кончину с 75- летием. Он умер 21сентября 1576г. за 2 дня до годовщины. Имеется версия, что он покончил с собой в ожидании неминуемой смерти или даже чтобы подтвердить гороскоп. В любом случае Кардано – астролог относился к гороскопу серьезно.

Замечание о формуле Кардано

Проанализируем формулу для решения уравнения в вещественной области. Итак,

При вычислении x нам приходится извлекать в начале квадратный корень, а затем кубический. Мы сможем извлечь квадратный корень, оставаясь в вещественной области, если . Два значения квадратного корня, отличающихся знаком, фигурируют в разных слагаемых для x. Значения кубического корня в вещественной области единственно и получается единственный вещественный корень x при . Исследуя график кубического трехчлена ,нетрудно убедиться, что он в самом деле имеет единственный вещественный корень при . При имеется три вещественных корня. При имеется двукратный вещественный корень и однократный, а при - трехкратный корень x=0.

Продолжим исследование формулы при . Оказывается. Что если при этом уравнение с целыми коэффициентами имеет целочисленный корень, при вычислении его по формуле могут возникнуть промежуточные иррациональности. Например, уравнение имеет единственный корень (вещественный) – x=1. Формула Кардано дает для этого единственного вещественного корня выражение

.

Значит,

. Но фактически любое доказательство предполагает использование того, что это выражение является корнем уравнения . Если же не угадать того, при преобразовании будут возникать неистребимые кубические радикалы.

О проблеме Кардано – Тартальи вскоре забыли. Формулу для решения кубического уравнения связали с “Великим искусством” и постепенно стали называть формулой Кардано.

У многих возникало желание восстановить истинную картину событий в ситуации, когда их участники несомненно не говорили всей правды. Для многих было важно установить степень вины Кардано. К концу XIX века часть дискуссий стала носить характер серьезных историко-математических исследований. Математики поняли, какую большую роль в конце XVI века сыграли работы Кардано. Стало ясно то, что еще раньше отмечал Лейбниц: “Кардано был великим человеком при всех его недостатках; без них он был бы совершенством”.

1.7 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОДНОРОДНОСТИ

1). 3х² + 4х (х² + 3х + 4) + (х² + 3х + 4)² = 0

пусть у = х² + 3х + 4, тогда 3х² + 4ху + у² = 0

решаем относительно х: х = - у; х = - у/3

следовательно: х = - х² - 3х – 4

3х = - х² - 3х - 4

решая каждое уравнение, получим х = -2 или х = -3 ± √5

Ответ: {-2; -3 ± √5}.

2). (х² + х + 4)² + 3х (х² + х + 4) + 2х² = 0

Пусть х² + х + 4 = у, тогда у² + 3ху + 2х² = 0

Решаем относительно у, тогда Д = 9х² - 4*2х² = х²; √Д = х

у1 = -3х + х = - х; у2 = -3х - х = -2х;

2  2

х² + х + 4 + х = 0 или х² + х + 4 + 2х = 0

х² + 2х + 4 = 0 х² + 3х + 4 = 0

решений нет решений нет

Ответ: Ø

1.8 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МОНОТОННОСТИ

х³ + х - 6√5 = 0

х³ + х = 6√5

Рассмотрим две функции у = х³ + х и g = 6√5. Функция у(х) возрастает на R, а g(x) – постоянна. Следовательно уравнение имеет только один корень. Находим его подбором: х = √5.

1.9  УРАВНЕНИЕ ВИДА (x - а)4 + (x - b)4 = А

Это уравнение можно решить заменой переменных:

у = х – а + х – b = 2x – a – b

2 2

Пример: (6 - х) 4 + (8 - х) 4 = 16

у = 6 – х + 8 - х = 14 – 2х = 7 – х

2 2

(у + 1) 4 + (у - 1) 4 = 16

Графический способ.

Решить уравнение:

x³-x²+7x-10=0

x³=x²-7x+10

y=x³ или y=x²-7x+10

(куб. парабола) (парабола)

x²-7x+10=0

x¸=2 ; x=5

x =-b/2a=7/2=3,5

y=12,25-7*3,5+10=12,25-24,5+10=-2,25

Решить уравнение:

x³-2x-3=0

x³=2x+3

y=x³ и y=2x+3

(куб. парабола) (прямая)

≈

2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ В СТРАНАХ ДРЕВНЕГО МИРА

История алгебры уходит своими корнями в древние времена. Задачи, связанные с уравнениями, решались ещё в Древнем Египте и Вавилоне. Теория уравнений интересовала и интересует математиков всех времён и народов.

В Древнем Египте и Вавилоне использовался метод ложного положения (“фальфивое правило”).

Уравнение первой степени с одним неизвестным мо­жно привести всегда к виду ах + Ь == с, в котором а, Ь, с — целые числа. По правилам арифметических дейст­вий ах = с — b,

Если Ь > с, то с — b число отрицательное. Отрицатель­ные числа были египтянам и многим другим более позд­ним народам неизвестны (равноправно с положитель­ными числами их стали употреблять в математике толь­ко в семнадцатом веке).

Для решения задач, которые мы теперь решаем урав­нениями первой степени, был изобретен метод лож­ного положения.

2.1  РЕШЕНИЕ АХМЕСА

В папирусе Ахмеса 15 задач решается этим методом. Решение первой из них позволяет понять, как рассуждал автор.

Египтяне имели особый знак для обозначения неиз­вестного числа, который до недавнего прошлого читали “хау” и переводили словом “куча” (“куча” или “неизве­стное количество” единиц). Теперь читают немного ме­нее неточно: “ага”.

Вот задача № 24 сборника Ахмеса:

“Куча. Ее седьмая часть ('подразумевается: “дают в сумме”) 19. Найти кучу”.

Запись задачи нашими знаками:

Решение Ахмеса может быть представлено в наших символах в следующих четырех столбцах:

Во многих задачах в начале или в конце встречаются слова: “Делай как делается”, другими словами: “Делай, как люди делают”.

Смысл решения Ахмеса легко понять.

Делается предположение, что. куча есть 7; тогда ее часть есть 1. Это записано в первом столбце.

Во втором столбце записано, что при предположении х=7 куча и ее часть дали бы 8 вместо 19. Удвоение предположения дает 16. Автор, в уме очевидно, прики­дывает, что дальше удваивать предположение нельзя, так как тогда получится больше 19. Он записывает 16, ставит перед числом две точки для обозначения удвое­ния первоначального предположения и отмечает значком (у нас — звездочкой) результат; для получения в сумме 19 первоначальное предположение надо умножить -на 2 с некоторым добавлением, так как для получения точ­ного результата, 19, не хватает еще 19—16=3. Ахмес находит от 8, получает 4. Так как это больше нехватки 3, то на предположение умножить нельзя. Но от 8 есть 2, от восьми 1. Ахмес видит, что и первона­чального результата дают точно те 3 единицы, которых не хватало. Отметив и значками, Ахмес убедился, что первоначальное предположение для кучи (7) надо помножить на