Уравнения высоких степеней (стр. 1 )

Уравнения высоких степеней

Автор: Сергей Александрович Камчатный

Научный руководитель:

Казахстан, Восточно-Казахстанская область, г. Шемонаиха

ГУ МПСШ №1 им. Н. Островского

СОДЕРЖАНИЕ

Введение.

1.  Методы решения уравнений высоких степеней.

1.1  Биквадратные уравнения.

1.2  Разложение на множители.

1.3  Метод последовательного понижения степени. Схема Горнера.

1.4  Метод неопределённых коэффициентов.

1.5  Возвратные уравнения.

1.6  Диспут. Формула Кардано.

1.7  Использование однородности.

1.8  Использование монотонности.

1.9  Уравнение вида (х - а)4 + (х - в)4 = А

2.  Методы решения уравнений в странах древнего мира.

2.1  Решение Ахмеса.

2.2  Квадратные уравнения в древнем Вавилоне.

2.3  Квадратные уравнения Диофанта.

2.4  Кубические уравнения.

Заключение.

Список использованной литературы.

Введение.

В современных условиях появился новый термин «эффект образования». От современной молодежи сейчас требуют развитие личности рыночного типа, обладающей достижениями мировой науки и культуры. Базовый школьный уровень становится недостаточным и неполным. Поэтому наша школа перешла на второй уровень развития, получив статус многопрофильной.

Теперь мы, учащиеся, имеем возможность получать дополнительные, образовательные услуги, заниматься по углубленной программе, связав свой профиль с будущей профессией.

Цели и задачи.

Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению уравнений высоких степеней. А также многие Вузы включают в экзаменационные задания такие уравнения, которые бывают довольно сложными и требуют нестандартного подхода к решению. В школе же данный вопрос рассматривается только на спецкурсе.

Поставив такую задачу, я преследовал цель более глубоко изучить данный вопрос, выделить более рациональные способы решения, проследить историю развития теории уравнений высоких степеней.

В данном исследовании я рассмотрел все возможные способы решения уравнений и попытался выделить рациональный способ решения в каждом конкретном случае. Думаю, что знания, полученные мною в процессе работы, пригодятся мне в дальнейшей учебе.

1.  МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ВЫСОКИХ СТЕПЕНЕЙ

1.1. БИКВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Биквадратным называется уравнение вида , где  а 0. Биквадратное уравнение решается путём введения новой переменной х2 = у, что позволяет свести его к квадратному уравнению.

ПРИМЕР: Решить уравнение х4 – 10х2 + 9 = 0, Положим, что х2 = у, получим уравнение у2 – 10у + 9 = 0. Решая его, находим у1 = 9 и у2 = 1. Следовательно, задача сводится к решению совокупности двух уравнений:

 Þ

Итак, корнями биквадратного уравнения х4 – 10х2 + 9 = 0 являются числа х1 = 3; х2 = -3; х3 = 1; х4 = -1.

Замечание: Говорят, что несколько уравнений с одной переменной образуют совокупность уравнений, если ставиться задача найти все такие значения переменной, каждое из которых является корнем хотя бы одного из данных уравнений. Уравнения, образующие совокупность, объединяются знаком [, как в рассмотренном примере.

1.2.  РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ

левой части (группировка, вынесение общего множителя, использование формулы сокращённого умножения).

Примеры:

1). х³ + 4х² - 5х = 0

х (х² + 4х - 5) = 0

х = 0 или х² + 4х – 5 = 0

х = -5 ; х = 1

Ответ: {-5; 0; 1}

2). х² - х³ + 4 – 4х = 0

х² (1 - х) + 4 (1 - х) = 0

(1 - х) (х² + 4) = 0

1 – х = 0 или х² + 4 = 0

х = 1 решений нет

Ответ: {1}

3). х³ - 3х² - 3х + 1 = 0

(х³ + 1) – 3х (х + 1) = 0

(х + 1) (х² - х + 1) – 3х (х + 1) = 0

(х + 1) (х² - х + 1 – 3х) = 0

(х + 1) (х² - 4х + 1) = 0

(х + 1) = 0 или х² - 4х + 1 = 0

х1 = - 1 Д = 16 – 4 = 12 = 2 √3

х2 = 4 + 2√3 = 2 + √3

2

х3 = 2 - √3

Ответ: {- 1; 2 + √3}

4). х4 + 15х² + 2 х³ + 14х + 24 = 0

х4 + 2х²*х + х² + 14 х² + 14х + 24 = 0

(х² + х)² + 14 (х² + х) + 24 = 0

(х² + х)² + 2 (х² + х)*7 + 49 – 49 + 24 = 0

(х² + х + 7)² - 5² = 0 => (х² + х + 12) (х² + х + 2) = 0

Д < 0 Д < 0

решений нет

Ответ: Ø

5). х4 + 12 х³ + 32х² - 8х - 4 = 0

(х4 + 12 х³ + 36х²) – (4х² + 8х + 4) = 0

(х² + 6х)² - (2х +2)² = 0

(х² + 8х + 2) (х² + 4х - 2) = 0

х² + 8х + 2 = 0 или х² + 4х - 2 = 0

х1,2 = - 4 ± √14 х3,4 = - 2 ± √6

Ответ: {- 4 ± √14; - 2 ± √6}

1.3 МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО ПОНИЖЕНИЯ СТЕПЕНИ

Теорема: Если уравнение имеет целые коэффициенты, а старший

коэффициент = 1, то рациональными корнями могут быть только

целые числа, которые являются делителями свободного числа (их

обычно находят подбором).

Примеры:

1). х4 + 2 х³ - 2х² - 6х + 5 = 0

Делители свободного члена (5): ± 1; ± 5.

Находим подбором корень х = 1, по теореме Безу можно утверждать, что

данный многочлен разделится на (х - 1).

Разделим многочлен «уголком»:

х4 + 2 х³ - 2х² - 6х + 5 х -1

х4 - х³ х³ + 3х² + х – 5

3х³ - 2х²

3х³ - 3х²____

х² - 6х

х² - х____

- 5х + 5

- 5х + 5

0

Следовательно:

х4 + 2 х³ - 2х² - 6х + 5 = (х - 1) (х³ + 3х² + х - 5) = 0

х = 1 или х³ + 3х² + х – 5 = 0

Делители свободного члена: ± 1; ± 5.

Подбором находим х = 1.

х³ + 3х² + х - 5 х –1

х³ - х² _ х³ + 3х² + х – 5

4х² + х

4х² - 4х____

5х - 5

5х - 5_

0

х² + 4х + 5 = 0

Д = 16 – 20 < 0

решений нет.

Ответ: {1}

СХЕМА ГОРНЕРА

Используется для понижения степени равнения.

Пример:

х4 + 4х³ - 2х² - 4х + 1 = 0

Делители свободного члена: ±1.

Подбором находим корень х = +1

1 4 -2 -4 1

1 1 5 3 -1 0, таким образом

х4 + 4х³ - 2х² - 1 = (х - 1) (х³ + 5х² + 3х - 1)

х³ + 5х² + 3х – 1 = 0

х = -1 (найден подбором)

1 5 3 -1

-1 1 4 -1 0

х² + 4х – 1 = 0

Д = 16 + 4 = 20 = 2√5

х1,2 = -4 ± 2√5 = -2 ± 2√5

2

Ответ: {-1; 1; -2 ± 2√5}.

1.4 МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЁННЫХ КОЭФИЦИЕНТОВ

1). х4 - 4х² - 10х² + 37х - 14 = 0

Решение: Левая часть уравнения является многочленом четвёртой степени.

Этот многочлен раскладывается в произведение двух квадратных

трёхчленов:

х4 - 4х² - 10х² + 37х - 14 = (х² + рх + q) (х² + bх + c)

Задача состоит в отыскании коэффициентов p, q, b, c. Многочлены, стоящие в левой и правой частях этого равенства, тождественно равны. Приравнивая их коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему уравнений:

х4 - 4х² - 10х² + 37х - 14 = (х² + рх + q) (х² + bх + c) = х4 + bх³ + сх² + рх³ + pbх² + рсх + qx² + qbx + qc = х4 + x³ (b + p) + x² (c + pb + q) + x (pc + qb) + qc

b + p = - 4 q = 2

c + q + pb = -10 c = -7

pc + qb = 37 b = 1

qc = -14 p = -5

Тогда х4 - 4х³ - 10х² + 37х - 14 = (х² - 5х + 2) (х² + х - 7)

Отсюда решаем уравнения:

х² - 5х + 2 = 0 или х² + х - 7 = 0

Д = 25 – 4*2 = 17 Д = 1 + 28 = 29

х1,2 = 5 ± √17 х3,4 = -1 ± √29

2 2

Ответ: 5 ± √17 ; -1 ± √29

2 2

1.5 ВОЗВРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

(СИММЕТРИЧЕСКИЕ)

Это уравнения четвёртой степени с симметричными коэффициентами.

1). Нечётное число слагаемых:

2х4 - 5х³ + 6х² - 5х + 2 = 0

т. к. х = 0 не является корнем, то поделим уравнение на х² :

2х² - 5х + 6 – 5/х + 2/х² = 0

2 (х² + 1/х²) – 5 (х + 1/х) + 6 = 0

подстановка: у = х + 1/х ; у² - 2 = х² + 1/ х²

2 (у² - 2) – 5у + 6 = 0

2 у² - 5у + 2 = 0

Д = 25 – 4*2*2 = 25 – 16 = 9

у1,2 = 5 ± 3 ; у1 = 2, у2 = ½

4

х + 1/х = 2 или х + 1/х = ½

х² - 2х + 1 = 0 или 2х² - х + 2 = 0

(х - 1)² = 0 Д = 1 – 4*2*2 < 0

х = 1 решений нет

Ответ: {1}

2). Чётное число слагаемых (сгруппировать, а затем разложить на множители):