УДК 537.84

ВЛИЯНИЕ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ СТЕНОК НА СТОКСОВО ТЕЧЕНИЕ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ КАНАЛЕ

Исследовано трёхмерное МГД-течение в канале с электропроводными стенками при воздействии неоднородного магнитного поля. Показано влияние величины неоднородности стенок на локальные и интегральные характеристики течения.

МГД-течение, стоксов режим, неоднородное магнитное поле, электропроводные стенки

В работе [1] рассмотрено стоксово течение электропроводной жидкости в прямоугольном канале с электроизоляционными стенками при воздействии неоднородного магнитного поля. В данной работе исследовано влияние электропроводности стенок канала на течение жидкости.

Используя метод усреднения по высоте канала, предложенный [2], можно получить следующую систему уравнений для описания трёхмерного МГД-течения в канале с электропроводными стенками в переменных завихренность (ω), функция тока (ψ), функция электрического тока (χ):

, (1)-(4)

,

.

В системе (1)-(4) электропроводность поперечной магнитному полю стенки учтена безразмерным коэффициентом , характеризующим относительную электропроводность стенки канала (σw и σ- электропроводность соответственно стенки и канала; hw - толщина стенки, h - высота канала).

Выражение (4) для коэффициента трения на поперечной «рабочей» составляющей магнитного поля стенке содержит число Гартмана Ha и параметр λ =h/a , определяющий геометрию канала ( a- его ширина).

Функция электрического тока χ связана с составляющими плотности электрического тока следующим образом (все уравнения и выражения представлены в безразмерном виде):

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

, (5)

. (6)

Электропроводность боковых стенок учитывается посредством коэффициента , входящего в граничное условие для функции электрического тока на стенке (aw - толщина боковой стенки):

. (7)

Внешнее магнитное поле задаётся функцией вида:

(8) на входе и выходе ставятся условия для развитого режима течения.

Поставленная задача была решена численно. Методика численного решения приведена в работе [3].

Расчёты производились в щелевом канале при λ=0,1 и при различных вариантах электропроводностей стенок канала. Влияние электропроводности боковых и верхней и нижней (перпендикулярных магнитному полю) стенок канала на течение различно.

Выполненные расчёты показали, что струйный характер течения в значительной степени «снимается» при β=0,01 и вовсе исчезает при β= 0,1. При β=0,1 имеется лишь незначительная М-образность в профиле скорости в области неоднородности магнитного поля, и зависимость от числа Гартмана выражена слабо (на рис.1,2 представлено течение в магнитном поле, линейно возрастающем от B(x) =1 при x0=1 до B(x)=2 при x1=2 согласно выражению (8)).

Рис.1. Профили продольной составляющей скорости в канале с электропроводными верхней и нижней стенками (β=0,0 1) и электроизоляционными боковыми ( )

При электропроводных боковых стенках канала (=0,01) локальные характеристики МГД-течения практически не отличаются от случая всех электроизоляционных стенок канала, хотя величина электрических токов заметно возрастает. Также несущественным оказалось влияние электропроводности боковых стенок на течение в канале с электропроводными верхней и нижней стенками.

Рис.2. Профили продольной составляющей скорости в канале с электропроводными верхней и нижней стенками (β=0, 1) и электроизоляционными боковыми ( )

Более значительно меняются интегральные характеристики МГД-течения: требуемый для обеспечения заданного расхода жидкости перепад давления заметно увеличивается (рис.3).

Причём, с возрастанием числа Ha относительное к случаю течения в канале с электроизоляционными стенками увеличение суммарных потерь растёт. Так, если при Ha=100 и β =0,1 потери по сравнению с течением в канале с изоляционными стенками возрастает примерно в 2,1 раза, то при Ha=1000 более чем на порядок. Перпендикулярные магнитному поля стенки канала оказывают более сильное влияние на его интегральные характеристики, чем боковые, так как, шунтируя гартмановские слои, они значительно уменьшают общее сопротивление электрической цепи. Как видно из таблицы, увеличение гидравлического сопротивления МГД-канала обуславливается ростом электромагнитных потерь. При β= 0,1 и больших Ha электромагнитные потери очень слабо зависят от числа Гартмана, т. е. размерная их величина изменяется в сильных магнитных полях примерно пропорционально B2 .

Сравнение с экспериментальными результатами [4] приводит к следующим заключениям. Модель усреднения в используемом виде адекватно описывает картину течения в канале с электроизоляционными стенками, но не фиксирует высокоскоростных слоев у боковых стенок канала при течении в канале с электропроводными стенками, перпендикулярными магнитному полю.

Рис.3. Зависимость нормированного перепада давления от числа Ha при различных значениях электропроводности стенок

В рассматриваемых приложениях (системы охлаждения термоядерного реактора) наиболее существенными являются интегральные характеристики МГД-течения (энергозатраты на прокачивание электропроводной жидкости в канале). Поскольку вязкостные потери оказываются значительно меньше электромагнитных (например, при β=0,1 и Ha=200 на два порядка, как следует из таблицы), используемая модель усреднения позволяет хорошо оценить интегральные характеристики МГД-течения и в канале с электропроводными стенками.

Таблица. Интегральные характеристики МГД-течения в канале с электропроводными стенками (стоксов режим)

Электропроводность

стенок

Виды потерь

Ha=100

200

300

400

500

1000

β=0,01

1

0,425

0,251

0,193

0,165

0,147

0,112

2

1,1

0,4

0,3

0,2

0,1

0,1

3

0,83

0,82

0,81

0,80

0,79

0,78

4

0,331

0,165

0,110

0,083

0,067

0,034

β=0, 1

1

0,880

0,701

0,641

0,612

0,595

0,561

2

1,4

0,5

0,3

0,2

0,1

0,0

3

0,538

0,532

0,530

0,529

0,529

0,528

4

0,328

0.163

0,108

0,081

0,065

0,032

β=0

1

0,365

0,199

0,142

0,112

0,094

0,055

2

1,0

0,4

0,3

0,2

0,1

0,1

3

0,31

0,29

0,27

0,25

0,24

0,19

4

0,333

0,166

0,112

0,085

0,069

0,036

Продолжение таблицы

Электропроводность

стенок

Виды потерь

Ha=100

200

300

400

500

1000

β=0, 1

1

0,887

0,710

0,650

0,619

0,601

0,567

2

1,4

0,6

0,3

0,2

0,1

0,0

3

0,543

0,540

0,538

0,536

0,535

0,534

4

0,330

0,164

0,109

0,081

0,065

0,032

Примечание. 1- суммарные потери; 2- вязкостные потери; 3- электромагнитные потери; 4- потери, обусловленные трением на поперечной стенке канала.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Серебряков течение в прямоугольном канале с изоляционными стенками в неоднородном магнитном поле / // Известия КГТУ.- 2007.- № 12.-С. 166 -174 .

2. МГД-процессы при конечных магнитных числах Рейнольдса: дисс…докт. физ.-мат. наук:01.02.05- Механика жидкостей, газа и плазмы/ Лен. политехн. институт; .- Л., 1984.-247с.

3. Калютик двухкомпонентности магнитного поля на развитие течения в плоском МГД-канале/ , , // Магнитная гидродинамика.-1987.-№2.-С.123-126.

4. Брановер исследование распределения скоростей при течении проводящей жидкости в трубах прямоугольного сечения, находящихся в поперечном магнитном поле / , // Механика жидкости и газа. - 1968. - №1.- С. 79-83.

INFLUENCE OF WALL ELECTRIC CONDUCTANCE ON STOCKS FLOW IN RECTANGULAR CHANNEL

V. V. Serebryakov

Three-dimensional MHD-flow in channel with electric conductive walls has been studied. Influence of magnitude of wall electric conductance on local and integral characteristics of flow is shown.