Лекция 1 (стр. 2 )

Мы предрассчитали точность измерений, вес которых принимается равным 1, т. е. измерения со СКО . Но у нас имеются и другие измерения, например, линии. Их точность определяется исходя из соотношения весов. Например, пусть задана величина , для которой р=1, . Необходимо найти . Тогда запишем известное соотношение весов

,

Что соответствует задаваемой по проекту средней квадратической ошибке линейных измерений.

Дадим особое решение этой задачи для второго критерия. Второй критерий заключается в заданной СКО взаимного положения пунктов.

Взаимное положение пунктов можно представить следующими векторами:

∆х = х2 – х1,

∆у = у2 – у2;

или

∆=Ах,

где

 

А = , х = , ∆ =

∆ - вектор взаимного положения пунктов.

Найдем корреляционную матрицу этого вектора

К∆ = σ2· АКАт,

где σ –стандарт измерения, вес которого принимается равным единице.

Для этого вначале найдем произведение АК:

 

АК= ·К =

 

=

и окончательно

 

σ2· AКАт = σ2· AК · ,

или

 

К∆ = σ2·

Выведенная матрица характеризует точность взаимного положения пунктов. Для упрощения расчетов на стадии проектирования можно принять недиагональные элементы настоящей матрицы равными нулю (Qх1х2 = Qх2х1 = 0, Qу2у1 = Qу1у2 = 0).

Тогда в упрощенном виде корреляционная матрица взаимного положения пунктов примет вид:

 

К∆ = АКАт = σ2 * ,

где Qх1х1 – это обратный вес положения точки 1 по оси х; Qх2х2 – это обратный вес положения точки 2 по оси х; Qу1у1 – это обратный вес положения точки 1 по оси у; Qу2у2 – обратный вес положение точки 2 по оси у.

Настоящая матрица неудобна для практического применения, где точность взаимного положения выражают одним числом. При этом часто находят сумму диагональных элементов этой матрицы и ею характеризуют точность взаимного положения пунктов, то есть записывают следующее выражение

σ∆ = σ2(Qх1х1+Qч2ч2+Qy1y1+Qy2y2),

где σ∆ - стандарт взаимного положения

Введя обозначения

 

,

где σ1 σ2 – стандарты положения пунктов.

записывают

σ∆ = σ21 + σ22.

Если же принять

σ1 = σ2 = σt,

тогда

σ2∆ = 2σ2t

Из этого следует, что квадрат стандарта взаимного положения пунктов равен двум квадратам стандарта положения одного пункта Здесь и в дальнейшем будем считать, что средняя квадратическая ошибка и стандарт – одно и то же понятие.

Очевидно, что

σ∆ = σt*√2.

Если в нормативном документе задано максимальное значение для σ∆,

то по нему находится

σt=σ∆/√2,

которое приравнивается к и все расчеты выполняются так, как описано для

критерия СКО взаимного положения пунктов в наиболее слабом месте сети

3. Система координат принимается в зависимости от вида инженерных сооружений. Выбирают такую систему, чтобы можно было не вводить поправки за переход в картографическую проекцию. Если взять проекцию Гаусса-Крюгера, то рекомендуется выбирать ширину зоны порядка 20 км влево и вправо от осевого меридиана условной местной системы координат. Иногда подбирают такую систему координат, чтобы суммарная поправка за переход на эллипсоид и в картографическую проекцию была равна 0.

При переходе с земной поверхности S на эллипсоид длина S укорачивается не величину ΔS.

При переходе в картографическую проекцию (ГК) длина линии увеличивается

H=200 м, R=6371000 м.

4. Из функции непосредственно вычисляем СКО измерений направлений в триангуляции.

5. Оценку проекта покажем на примере. Пусть создан проект следующей полигонометрической сети. A, B, C, D - исходные. I, II - определяемые.

Необходимо рассчитать точности определения положения проектных пунктов I, II, сравнить эту точность с заданной по инструкции или по проекту. Если эта точность недостаточна, то увеличивается, то увеличивается точность угловых и линейных измерений до получения необходимой точности определения пунктов.

Порядок работы следующий: по каждому звену A-I, B-I, D-II, C-II, I-II рассчитать СКО

- число сторон в звене

-расстояние от центра тяжести звена к пунктам

- СКО измерения углов

- СКО i-ой стороны

Если принять

Порядок расчета:

Первое приближение. Вычисление СКО положения точки I по звеньям

mz1 → A-I

mz2 → B-I

mz2 → II-I

при заданных и .

Вычисляют веса . С - произвольная величина, соразмерная со среднем значением mz, принимаемая для удобства вычислений.

PI = Pz1 + Pz2 + Pz3

В этом же приближении вычисляют СКО по звеньям относительно точки II

mz4 → С-II

mz5 → D-II

mz6 → I-II

PII = Pz4 + Pz5 + Pz6

Второе приближение. Снова вычисляют

PI = Pz1 + Pz2 + Pz3

PII = Pz4 + Pz5 + Pz6