Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей (стр. 6 )

здесь первый множитель дает число вариантов отбора хороших, а второй плохих образцов.

Задача 1. В партии товара из 100 электрических ламп 3% бракованных. Найти вероятность

того, что в коробке из 10 ламп окажется ровно одна бракованная.

Здесь К=100; L= 100 · 0,03=3; |

К=10; l = 1.

А – ровно одна бракованная.

Задача 2. В урне 5 черных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что среди них найдется:

а) 2 белых шара;

б) меньше, чем 2 белых шара;

в) хотя бы один белый шар.

Решение:

Всего исходов

а) число благоприятных исходов:

б) А2 – событие «среди вынутых шаров меньше, чем 2 белых»

(т. е. B1 – один белый и 3 черных или B2 – нет ни одного белого)

в) A3- среди вынутых шаров хотя бы один белый.

2.8. Геометрическая схема вероятности.

Рассмотрим отрезок [0;m].

Бросаем на этот отрезок точку случайным образом (попадания в любую точку равновозможны).

Событие А – попадание точки на отрезок [a; b ], входящий в отрезок [ o ; m ].

Решение: P( A ) = k ( b – a ) – вероятность пропорциональна длине отрезка.

-  достоверное событие попадания на отрезок [o ; m ],

P ( Ω ) = 1 = k ( m – o )

k = ; P (A) = · (b – a ).

Задача. Случайное событие – вероятность падения в промежуток [4; 5] точки, брошенной на отрезок [1; 9].

Аналогично для плоской фигуры.

, где S(Ω) и S(A) - площади соответствующих фигур.

Задача. В квадратном окне со стороной а есть квадратная форточка со стороной в. Во время игры мяч случайно попадает в окно. Какова вероятность, что окно при этом: а) не разобьется; б) разобьется?

Решение:

а)

б)

2.9. Повторные испытания. Схема Бернулли.

Предположим, что событие А происходит в результате n независимых испытаний, притом в каждом испытании вероятность события А постоянна и равна Р. Результатом каждого испытания является либо событие А, либо событие . Последнее происходит с вероятностью q=1 – р.

Если рассматривать все n испытаний как одно испытание, то его результатом является произведение вероятностей событий А и . Здесь ввиду независимости исходных испытаний важен не порядок событий, а число повторений события А. Частоту повторения события А обозначим k, (0kn). Вероятность появления события А k раз вычисляют по формуле Бернулли: где

Задача 1. Всхожесть семян данного сорта растений оценивается вероятностью 0,8. Какова вероятность того, что из 5 посеянных зерен взойдет не меньше 4?

Решение:

Задача 2. Вероятность того, что образец бетона выдержит нормативную нагрузку, равна 0,9. Найти вероятность того, что из 7 образцов испытания выдержат: а) ровно 5; б) не менее 5.

Решение:

а)

б)

3. Случайные величины.

3.1. Основные понятия

Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие случайной величины. Число отличных отметок на экзамене, число ничейных результатов в шахматном турнире, расстояние точки падения диска от точки метания, вес наугад взятого зерна пшеницы, число избирателей, которые могут отдать свои голоса определенному политическому блоку, - примеры случайных величин, относящихся к различным областям жизни.

Случайной величиной называется переменная величина, значения которой зависят от случая. Пусть Х – случайная величина, х - действительное число. Вероятность того, что Х примет значение, меньшее, чем х, называется функцией распределения вероятностей случайной величины:

Дискретные случайные величины – это случайные величины, которые могут принимать только конечное или счетное ( бесконечное множество, все элементы которого можно занумеровать натуральными числами) множество значений.

Примеры:

- число появлений герба при трех бросаниях монеты (возможные значения 0,1,2,3);

- число выстрелов в цель до первого попадания (возможные значения 1,2,…,N, где N - число имеющихся в наличии патронов);

- число опечаток в книге.

Непрерывные случайные величины – это величины, возможные значения которых образуют некоторый конечный или бесконечный интервал.

Примеры:

- интервал между поездами метро 2 мин. Человек попадает на платформу в случайный момент времени. Время ожидания поезда ;

- длительность безаварийной работы различных машин и приборов;

- случайное отклонение при затаривании мешков сахаром;

- урожай с одной сотки.

Свойства функции распределения дискретной случайной величины:

1)  - неубывающая функция. Это следует из определения функции распределения

2) 

3) 

Пример. Абитуриент сдает два вступительных экзамена: по математике и физике. Составить закон распределения случайной величины Х, числа полученных пятерок, если вероятность получения пятерки по математике равна 0,8 , а по физике – 0,6.

Решение:

Возможные значения случайной величины Х есть 0,1,2, причем

Р(х=0) = 0,2·0,4 = 0,08,

Р(х=1) = 0,8·0,4 + 0,2·0,6 = 0,44,

Р(х=2) = 0,8·0,6 = 0,48.

х	0	1	2
р	0,08	0,44	0,48

График функции распределения.

1

0,5

 

0 1 2

3.2. Числовые характеристики случайной величины.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины Х назовем сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

х	0	1	2
р	0,08	0,44	0,48

Вернемся к предыдущему примеру.

Количество пятерок из двух экзаменов вероятно 1,4.

Свойства математического ожидания.

1.  Математическое ожидание постоянной равно самой постоянной. M (c) = c

Это следует из того, что случайная величина принимает единственное значение С с вероятностью 1.

2.  Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания.

M (cx) = c·M(x)

Это следует из того, что при умножении на С возможные значения случайной величины также умножаются на С, при сохранении соответствующих вероятностей.