Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей (стр. 1 )

МОУ «Гимназия № 44»

«Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей»

Курс по выбору для предпрофильной подготовки для 9 класса

Составила: , учитель математики

Новокузнецк 2010г

Пояснительная записка

Создание профильных классов в настоящее время становится объективной необходимостью. Чтобы обучающийся сделал осознанный и правильный выбор профиля после 9 класса, необходимо создать тематическое разнообразие предпрофильных курсов по выбору.

Курс «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей » предназначен для в предпрофильной подготовки в 9 классе. Программа включает материал о понятиях случайности и стохастичности, которые относятся к числу основных принципов, присущих современной естественнонаучной картине мира. Вероятностные законы в той или иной степени определяют ход почти всех природных процессов и лежат в основе многих явлений, с которыми мы встречаемся в повседневной жизни. Вероятностное поведение характерно для молекулярно-кинетических явлений в физике, с вероятностью тесно связаны законы генетики и т. д. Случайность играет значительную роль не только в природных, но и общественных, социальных и экономических процессах. В школьном курсе математики разделы теории вероятности и статистики только начинают появляться, поэтому актуальность элективного курса, посвящённого этим вопросам несомненна.

Данный курс рассчитан на 17 часов.

Цели курса:

·  рассмотреть вопросы комбинаторики, вероятности и статистики, не входящие в основной школьный курс по математике;

·  помочь обучающимся осознать степень своего интереса к математике и оценить возможности овладения им с точки зрения дальнейшей перспективы;

·  формировать качества мышления, характерные для математической деятельности и необходимые человеку для жизни в современном обществе;

·  подготовить обучающихся к изучению курса «Теория вероятности, комбинаторика и статистика» в профильном математическом классе.

Требования к уровню подготовки выпускников по теме.

Изучение темы «Элементы комбинаторики, статистики, вероятность» должно предоставить учащимся возможность:

- усвоить основные формулы комбинаторики;

- развить представления о классической модели вероятностей и ее применении;

- получить представления о случайных величинах и их характеристиках, о законах распределения случайных величин.

Учебный план

1.  Элементы комбинаторики. (4 часа)

2. Элементы теории вероятности. (4 часа)

3. Случайные величины. (4 часа)

4. Практикумы по решению задач (4 часа)

5. Контрольная работа (1 час)

Тематическое планирование (17 часов).

№ п/п	Темы	Количество часов
1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8. 3.1. 3.2. 3.3. 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6. 4.7.	1. Элементы комбинаторики. (4 часа) Перестановки. Размещения. Сочетания. Размещения и сочетания с повторениями. Формула бинома Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов. Треугольник Паскаля. 2. Элементы теории вероятности. (4 часа) Случайные события. Алгебра событий. Определение вероятности. Свойства вероятности. Формула полной вероятности. Формула Бейеса. Задача «контроля качества». Геометрическая схема вероятности. 3. Случайные величины. (4 часа) Основные понятия. Числовые характеристики случайной величины. Задачи математической статистики. 4. Приложения (4часа) Практикум по теме «Комбинаторика». Практикум по теме «Бином Ньютона». Практикум по теме «Условная и полная вероятность». Практикум по теме «Классическая вероятность». Практикум по математической статистике. Задачи для домашних заданий. Самостоятельная работа. 5. Контрольная работа.	Лекционные	Практикумы
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1	2 1 1 1 1 1

Содержание изучаемого материала

1.  Размещения и сочетания. Формулы размещений и сочетаний. Формула бинома Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов. Треугольник Паскаля.

2.  Поле событий. Элементарные и сложные события в классической модели вероятности. Вероятность сложного события. Условная вероятность. Независимые события. Вероятность наступления независимых событий.

3.  Случайная величина. Дискретные и непрерывные случайные величины. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины. Закон распределения случайной величины. Понятие о нормальном распределении вероятностей.

Содержание теоретического и практического материала излагается в соответствии с требованиями:

1.  Задачи комбинаторики, теории вероятностей и статистики, включённые в этот курс, призваны познакомить учащихся с многообразием вероятностных задач, с методами обработки статистических данных, вызвать у учащихся интерес к дальнейшему изучению этой темы.

2.  Доказательство всех утверждений невозможно провести строго из-за недостатка времени и знаний по смежным дисциплинам, поэтому многие вопросы изучаются на конкретных примерах, интуитивно, а затем по аналогии происходит обобщение.

Информационное обеспечение курса по выбору

1. Элементы комбинаторики.

1.1. Размещения.

Определение. Пусть имеется множество, содержащее n элементов. Каждое его упорядоченное подмножество, состоящее из k элементов, называется размещением из n элементов по k элементов.

Рассмотрим задачу.

Задача 1. Сколькими способами можно составить различные двузначные числа из четырех цифр 1,2,3,4?

Решение.

В этой задаче речь идет о размещениях из четырех элементов по два.

1 способ. Перебор вариантов.

Рассмотрим все такие числа: 12 13 14 23 24 34

21 31 41 32 42 43

Всего таких чисел 12.

Правило суммы.

Если элемент a можно выбрать m способами, а элемент b – n способами, причем любой выбор элемента a отличен от любого выбора элемента b, то выбор “a или b” можно сделать m + n способами.

Правило произведения.

Если из некоторого множества А элемент ai можно выбрать КA способами, а элемент bj из множества В – КB способами, то совокупность (ai; bj) можно образовать КA* КB способами. Правило верно и для совокупностей, состоящих из большего, чем 2 числа элементов.

2 способ. С применением правила произведения.

Первая цифра числа выбирается 4 способами из данных цифр, а вторая цифра числа выбирается 3 способами ( из оставшихся трех цифр). По правилу произведения 4 * 3=12 (способов).

Формула для вычисления числа размещений.

Первый элемент размещения выбирается n способами, второй элемент ( n -1) способами, …, k-ый элемент (n -(k -1)) способами, т. е. можно ввести формулу для числа вариантов

= (n –1)·(n – 2) …·(n – (k – 1))

или = , где - число размещений из n по k,

( n! читается n - факториал); n!=1*2*3*….* n; 0!= 1 по определению;

1!= 1.

3 способ. Применение формулы для вычисления числа размещений.

= = = 3 · 4 =12 .

Задача 2. Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры. Сколько различных вариантов нужно набрать, чтобы дозвониться, если абонент помнит, что цифры различны?

Решение:

= = 9 · 10 = 90

1.2.  Перестановки.

Определение. Пусть дано множество N из n объектов. Всевозможные последовательности из всех n объектов называются перестановками.

Задача 1. Сколькими способами можно рассадить n человек на n местах?

Решение:

1 способ. Перебор вариантов.

1)  n = 1. Число возможных вариантов 1.

2)  n = 2. Возможные варианты: 12 и 21 , всего их 2.

3)  n = 3. Возможные варианты: 123 213 312 132 231 321, всего их 6.

4)  n = 4 Возможные варианты: 1234 2134 3124 4123

1324 2314 3214 4213

1432 2431 3421 4321

1243 2341 3142 4132

1342 2143 3241 4231

1423 2431 3412 4312 Всего их 24.

С увеличением числа n этот способ становится очень трудоемким. Можно заметить, что перестановки являются частным случаем размещений из n элементов по n, значит

= n! т. к. == = = n!.

2 способ. Применение формулы перестановок.

= 2!=1·2=2; =3!=1·2·3=6; =4!=1·2·3·4=24;

3 способ. Применение правила произведения. (Для n = 4)

1.  на 1 место человека можно посадить четырьмя способами: 1, 2, 3, 4

2.  на 2 место только тремя способами: пример 12 13 14