К вопросу о систематических погрешностях в ММД

К вопросу о систематических погрешностях в ММД

(д. ф.м. н.), (к. ф.м. н.), (к. ф.м. н.)

АГТУ им. , Барнаул, *****@***secna. ru; БГПУ им. , Бийск, *****@***ru .

В работе изложены основные результаты изучения процесса накопления систематических ошибок ММД при периодических граничных условиях, и начальных условиях соответствующих системе частиц имеющей Максвелловское распределение скоростей. Частицы взаимодействовали по потенциалам Морза и Леннарда-Джонса.

Сущность проблемы накопления систематических погрешностей в методе молекулярной динамики достаточно полно и последовательно изложена еще в 80-х годах минувшего столетия в работах [1-4]. Тем не менее, изучение этого вопроса вновь становится актуальным. Эта актуальность продиктована тем, что уровень развития компьютерной техники почти четверть века назад позволял рассматривать ячейки, содержавшие в лучшем случае несколько десятков частиц. В связи с чем приходилось использовать такие граничные условия, которые в настоящее время не относятся к часто употребляемым [5]. Очевидно, что граничные условия, вид потенциала, влияют на характер движения частиц, а значит и на характер накопления погрешности счета.

Настоящая работа посвящена исследованию процесса накопления систематических ошибок ММД при периодических граничных условиях, и начальных условиях соответствующих системе частиц после релаксации, когда скорости частиц имеют распределение Максвелла.

Важным является вопрос о том, сколько частиц должно содержаться в ячейке. Число частиц системы было определено после предварительных вычислений.

На рис 1. приведена зависимость отношения размаха случайной выборки к выборочной средней квадрата погрешности вычисления скорости от числа частиц в ячейке. Объем выборки составляет 30 вычислений, взаимодействие между частицами осуществлялось по потенциалу Леннарда-Джонса. Как видно из графика с уменьшением числа частиц в ячейке разброс значений вычисляемой погрешности возрастает. Особенно быстро этот разброс возрастает в диапазоне от 600 до 80 частиц. Ячейки с меньшим числом частиц не рассматривались. Руководствуясь полученной зависимостью, число частиц в исследуемых системах никогда не было меньше N = 600. При этом за результат принималось среднее значение, по крайней мере, 10 измерений.

Для оценки накопления погрешности использовалась методика, предложенная в [1]. Напомним ее суть. Пусть и (j = 1,2, …,N) начальные координаты и скорости N частиц. Используя и , рассчитываются траектории частиц за время t. В конечной точке траекторий направления скоростей частиц заменяются на противоположные и рассчитываются обратные траектории частиц за время t. Полученные значения координат и скоростей обозначим соответственно и . Оценка ошибки численного интегрирования за время 2t представляется в виде:

где означает усреднение по ансамблю начальных состояний.

Расчеты проводились по схеме Эйлера первого порядка. Использовались потенциалы Морза

и Леннарда-Джонса

Шаг интегрирования варьировался в пределах от h = 0,005 пс. до h = 0,00001 пс., число атомов от N = 80 до N = 3600 (Al, Ni, Cu). Температура изменялась в пределах от T = 300 K до T = 2000 K

При всех вычислениях, когда частицы взаимодействовали по потенциалу Морза характер зависимости погрешностей численного интегрирования координат (точнее радиус-вектора) от времени не отличался от приведенных в работах [1-4]. У нас также наблюдался сначала линейный, затем экспоненциальный рост погрешности в зависимости от времени. Однако наши оценки характера накопления ошибок численного интегрирования скоростей с течением времени существенно отличаются от соответствующих корреляций в [1-4]. В указанных публикациях кривая зависимости погрешности вычисления скоростей имела три участка: погрешности росли сначала по квадратичному закону, затем они оставались постоянными с течением времени, третий участок - участок экспоненциального роста.

На рис.2. - полученная нами эволюция при T = 1000 K. На графике явно просматривается период квазиосциллирующего процесса накопления ошибок, затем, ошибки накапливаются по экспоненциальному закону (на графике этого участка нет).

Дадим интерпретацию полученному результату. Нами были найдены зависимости проекций скоростей и отдельных атомов в зависимости от времени. Оказалось, что они являются квазипериодическими функциями времени t. Период этих функций зависит от модуля скорости, он возрастает с уменьшением скорости, по совершенно очевидной причине.

Наибольший вклад в общую погрешность вносятся участками с наибольшей кривизной. Причем, погрешности систематически завышают значение истинной скорости, если участок кривой скорости выпуклый и наоборот занижают истинное значение скорости, если участок вогнутый. Это связано с тем, что в расчетах используется схема Эйлера, которая по своей сути является дифференциалом. Благодаря этому график накопления ошибок в начале также имеет некоторую периодичность. Его период приблизительно в два раза меньше среднего периода скорости, что объясняется фазовыми соотношениями и . Если бы проекции скоростей частиц представляли собой гармонические функции, и они были бы монохроматичными, то и накопление погрешности счета тоже описывалось бы гармонической функцией. Поскольку это не так периодичность накопления погрешности быстро исчезает, и на смену отрезка с периодичным накоплением погрешности приходит область экспоненциального роста (в этой части у нас полное совпадение с результатами, изложенными в [1-4]).

Хорошим подтверждением сказанного являются результаты, полученные для случая, когда частицы взаимодействуют по потенциалу Леннарда-Джонса. На рис.3 показано как накапливается квадрат погрешности скорости в зависимости от времени счета. На этом графике периодичность еще более выражена. Только период приблизительно на порядок меньше чем для случая взаимодействия частиц по потенциалу Морза. Периодичность также появляется и на графике накопления квадрата погрешности координат от времени, он практически идентичен графику на рис.3 и здесь не представлен. Это означает, проекции скорости меняются со временем по закону более близкому к гармоническому, чем это было в случае взаимодействия частиц по потенциалу Морза.

Рисунок 1. Зависимость отношения размаха случайной выборки к выборочной средней квадрата погрешности вычисления скорости от числа частиц в ячейке. Потенциал Леннарда-Джонса.

Рисунок 2. Зависимость квадрата погрешности модуля скорости от времени счета. Время исчисляется в пикосекундах. Потенциал Морза.

Рисунок 3. Зависимость квадрата погрешности модуля скорости от времени счета. Время исчисляется в пикосекундах. Потенциал Леннарда-Джонса.

Литература

// Теория жидких и аморфных металлов. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1983. Ч.1.С.58. , Норман моделирования стохастической молекулярной динамики // Там же. С. 100. , // Термодинамика необратимых процессов. М., Наука, 1987. С. 11-17. ,Норман В. Ю. // Математическое моделирование под ред. и М., Наука, 1989. С. 5 – 40. Полетаев процессов самодиффузии в двумерной системе Ni-Al: Диссертация на соискание ученой степени к. ф.-м. н. – Барнаул, 2002. – 186 с.