В чем секрет решения комбинаторных задач на шахматной доске? (стр. 3 )

Для того, чтобы облегчить выбор формулы для решения комбинаторных задач, я нашел хорошую подсказку на сайте МатБюро. Предложенную таблицу я немного изменил, и получилась схема для выбора формул комбинаторики. (Приложение 11)

Заключение

Шахматная математика – один из самых популярных жанров занимательной математики, логических игр и развлечений. Почти в каждом сборнике олимпиадных матема­тических задач или книге головоломок и математиче­ских досугов можно найти красивые и остроумные задачи с участием шахматной доски и фигур. Многие из них имеют интересную историю. Шахматы в разные времена привлекали к себе внимание известных ученых. Например, задачей о ходе коня занимался великий математик Леонард Эйлер, а задачей о восьми ферзях — другой великий математик Карл Гаусс. С тех пор в течение целого века крупные мате­матики не занимались шахматами. Ситуация резко изменилась в середине нынешнего столетия в связи с бурным развитием кибер­нетики и вычислительной техники.

В результате исследования были сделаны следующие выводы: древняя мудрая игра – шахматы развивает память, логическое мышление, творческие способности человека. «В шахматах,– говорил великий русский писатель , – нужно дорожить не выигрышем, а интересными комбинациями». Наверное, именно этот большой простор для творчества так привлекает математиков к шахматам. Этим я объясняю свой интерес к данной теме.

У меня получилась следующая классификация найденных комбинаторных задач на шахматную тему: задачи можно разделить по количеству фигур и по поставленной задаче (бьют друг друга фигуры или нет). Так же можно еще рассмотреть условие: одного цвета фигуры или разного.

В работу я поместил лишь некоторые задачи. Но, по моему мнению, их достаточно для того, чтобы показать, как определить, к какому типу относится комбинаторная задача и не только на шахматную тему.

Проделанная работа для меня очень полезна, она обогатила мои знания в математике и в игре в шахматы. Надеюсь, что после тщательного изучения подобных задач, их решение не будет вызывать у меня особых затруднений.

Думаю, что собранный мною материал могут использовать, как учащиеся, так и учителя, при подготовке к олимпиадам, на занятиях, как математического кружка, так и на уроках математики при изучении комбинаторики. (Приложение 12, 13)

Библиографический список

Книга одного автора

1. Виленкин . / – М.: издательство «Наука», 1969. – 328 с.: ил.

2. , , Виленкин . / , , – М.: ФИМА, МЦНМО, 2006. – 400 с.: ил.

3. , , Фомин математические кружки: пособие для внеклассной работы. / , , . – Киров, издательство «АСА», 1994. – 272 с.

4. Гик и математика. / . - М.: издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы, 1983. – 176 с. – (Библиотечка «Квант». Вып. 24)

5. , , Семенова дискретной математики. Учебное пособие. /, , . – Ярославль: Изд-во ЯГПУ им. , 2005, - 91 с.

6. Окунев задачи на шахматной доске. /. – М.: ОНТИ НКТП СССР, 1935. – 89 с.

Источники, представленные в Internet:

7. Википедия. Свободная энциклопедия. (http://ru. wikipedia. org)

8. Лекции по дискретной математике. (http://www. studfiles. ru/dir/cat14/subj266/file9098.html)

9. Сочетания с повторениями. (www. matburo. ru)

10. Студопедия. Размещения с повторениями и без повторений (http:///7_15768_razmeshcheniya-s-povtoreniyami-i-bez-povtoreniy. html)

Приложение

Приложение 1

Чатуранга

Чатурангой в древней Индии называлось войско, состоявшее из боевых колесниц (ратха) и слонов (хасти), конницы (ашва) и пеших воинов (падати). Игра символизировала битву с участием четырёх родов войск, которыми руководил предводитель (раджа).

В игре для четырёх игроков использовались комплекты фигур четырёх цветов: чёрные, зелёные, жёлтые и красные. Играли пара на пару. Каждый комплект содержал восемь фигур: раджу (короля), слона, коня, колесницу (аналог ладьи) и четыре пешки.

Не было таких понятий, как шах, мат и пат

Приложение 2

Шахматы с крепостями

Белые и Черные - союзники, играют против Синих и Зеленых. Шашечница (см. рис.) ставится так, что у белого справа белая клетка. Белые и Черные ферзи ставятся на белые клетки, Синие и Зеленые - на черные. Игроки ходят последовательно белые - зеленые - черные - синие. У каждого игрока справа есть квадрат 4х4 (крепость), куда ставятся ладья, конь, слон, которые располагаются кто, где хочет.

Приложение 3

Четверные шахматы

Основные правила игры в четверные шахматы - такие же, как в классических шахматах. Отличия заключатся в следующем:
Игра ведется двое на двое. Игроки, сидящие друг против друга - союзники. Каждый играет только своими фигурами. Ходят поочередно, по часовой стрелке. Фигуры союзников взаимодействуют. Игрокам разрешается совещаться только в тот момент, когда одному из них дан мат.

Приложение 4

Японские шахматы (Сёги, Shogi)

Играют два игрока, чёрные и белые (сэнтэ и готэ). Доска разделена на прямоугольные клетки или поля. Клетки никак не обозначены и не имеют цвета. Каждый игрок имеет набор из двадцати фигур. Фигура представляет собой плоский брусок дерева в форме обелиска (вытянутый пятиугольник), на обеих поверхностях которого иероглифами записано название фигуры. Все фигуры одноцветные, а различаются только по ориентации на доске

Приложение 5

Китайские шахматы (Сянци)

В сянци играют на прямоугольной доске, расчерченной линиями по вертикали и горизонтали. Размер доски — 9×10 линий, причём фигуры ставятся в пересечения линий, а не на клетки. Между двумя центральными горизонталями находится река, которая влияет на движение генералов, советников (мандаринов) и слонов. Квадраты 3×3, отмеченные двумя диагональными линиями называются дворцы или крепости. Их не могут покидать генералы и советники.

Приложение 6

Русские шахматы

разновидность шахмат, основанная на древнерусской игре таврели

Игра ведётся на обычной шахматной доске 8x8. Название фигур (таврелей) в русских шахматах отличается от принятых в международных шахматах названий, однако состав фигур и правила их передвижения практически полностью одинаковы.

Хелги — особая фигура в русских шахматах. В Хелги превращается ратник, стоявший в начале партии перед волхвом и достигший в ходе игры последней горизонтали противника. Хелги объединяет в себе свойства Князя и Всадника. Это самая сильная таврель в русских шахматах.

Приложение 7

Шведские шахматы

В Шведские шахматы играют две команды. Каждая  команда состоит из двух игроков, играющих на двух отдельных досках, белыми на одной доске и черными на другой.

 Партия состоит из двух игр, одновременно играемых на соответствующих досках.

 Обе доски расположены друг около друга, а часы на внешних сторонах так, чтобы каждый игрок мог видеть время на обоих часах.

Приложение 8

Гексагональные шахматы Глинского

Комплекты фигур соответствуют обычным шахматам, только каждой стороне добавляется ещё один слон и одна пешка. Правила движения фигур похожи на классические шахматы, если считать, что роль горизонталей выполняют косые линии полей, параллельные одной из невертикальных сторон доски, а роль диагоналей — линии полей одного цвета.

Приложение 9

Рис 1. Рисунок на панцире священной черепахи

Приложение 10

Классификация комбинаторных задач на шахматной доске

Приложение 11

Выбор формул для решения комбинаторных задач

Приложение 12

Примеры решения комбинаторных задач на шахматной доске

Задачи с ограничениями
Фигуры разного цвета. Не бьют друг друга		Если рассматривать шахматную доску m × n, то число способов выражается формулой 8mn – 12m – 12n + 16 Фигуры одного цвета. Не бьют друг друга Пример 4 Сколькими способами можно поставить на шахматную доску двух коней одного цвета так, чтобы они не били друг друга? Решение: Так как фигуры рассматриваются одного цвета, то 2(64 – 3) + 4(64 – 4) + 10(64 – 5) + 8(64 – 7) + 8(64 – 9) = 1848 Ответ: 1848 Если рассматривать шахматную доску m × n, то число способов выражается формулой (m2n2 – 9mn + 12m + 12n – 16) : 2 Фигуры одного цвета. Бьют друг друга Пример 5 Сколькими способами можно поставить на шахматную доску двух коней одного цвета так, чтобы они били друг друга? Решение: Так как фигуры рассматриваются одного цвета, то 2 • 2 + 4 • 3 + 10 • 4 + 8 • 6 + 8 • 8 = 168 Ответ: 168 Если рассматривать шахматную доску m × n, то число способов выражается формулой (8mn – 12m – 12n + 16) : 2
Пример 1 Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белого и черного королей так, чтобы получилась по правилам игры комбинация? Решение: Зная правила игры в шахматы, не сложно рассмотреть все расстановки. Таким образом, получаем число расстановок: 4(64 - 4) + 24(64 - 6) + 36(64 - 9) = 36 Ответ: 3612 Пример 2 Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белого и черного коней так, чтобы они не били друг друга? Решение: Решение этой задачи осложняется тем, что на разных полях доски конь имеет различное число ходов. 4(64 – 3) + 8(64 – 4) + 20(64 – 5) + 16(64 – 7) + 16(64 – 9) = 3696 Ответ: 3696 Если рассматривать шахматную доску m × n, то число способов выражается формулой m2n2 – 9mn + 12m + 12n – 16 Фигуры разного цвета. Бьют друг друга Пример 3 Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белого и черного коней так, чтобы они били друг друга? Решение: Так как фигуры бьют друг друга, то 4 • 2 + 8 • 3 + 20 • 4 + 16 • 6 + 16 • 8 = 336 Ответ: 336
Задачи без ограничений
Порядок важен. Выбирать все элементы. Пример 6 Сколькими способами можно разместить восемь ладей на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга? Решение: Pk = k!; где k = 8 P8 = 8! = 1•2•3•4•5•6•7•8 = 40320 Ответ: 40320 Примечание Для решения задачи с k ладьями, которые не бьют друг друга, для доски m × n, существует формула k! = . Пример 7 Сколькими способами можно разместить три ладьи на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга? Решение: k = 3, m = 8, n = 8 = 18816 Ответ: 18816 Пример 8 Сколькими способами можно расставить белые фигуры (короля, ферзя, две ладьи, двух слонов и двух коней) на первой линии шахматной доски (не соблюдая шахматные правила)? Решение: = ; где n=1+1+2+2+2=8, k1 = 1, k2 = 1, k3 =2, k4 = 2, k5 = 2 = = = 5040 Ответ: 5040		Порядок не важен. Повторений нет. Пример 9 Сколькими способами можно поставить на шахматную доску 8 ладей? Решение: = ; где n = 64, k = 8 = = = 4 426 165 368 Ответ: 4 426 165 368

Приложение 13

Комбинаторные задачи на шахматной доске

1. Сколько существует способов разместить две ладьи на шахматной доске, так, чтобы они не смогли сбить друг друга? 2. Две ладьи находятся на шахматной доске так, что каждая из них может сбить другую. Сколько таких размещений? 3. Сколькими способами можно разместить восемь ладей на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга? 4. Сколькими способами можно расставить белые фигуры (короля, ферзя, две ладьи, двух слонов и двух коней) на первой линии шахматной доски (не соблюдая шахматные правила)? 5. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску 8 ладей? 6. Сколько существует способов расположить 8 ладей, чтобы они были симметричны относительно центра доски. 7. Сколькими способами можно расставить на шахматной доске 8 ладей так, чтобы при повороте доски на 900 они не меняли своего расположения. 8. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белого и черного королей так, чтобы получилась по правилам игры комбинация? 9. Сколькими способами можно расставить 12 белых и 12 черных шашек на черных полях шахматной доски?

10. а) Сколькими способами можно поставите 20 белых шашек на шахматной доске так, чтобы расположение не менялось при повороте доски на 90 градусов? б) Сколькими способами можно поставить 20 белых шашек на крайние линии шахматной доски так, чтобы это расположение не менялось при повороте доски на 90 градусов? 11. а) Сколькими способами можно расставить 20 белых шашек на шахматной доске так, чтобы это расположение было симметрично относительно горизонтальной линии, делящей доску пополам? б) То же самое при условии, что шашки ставятся на черные поля. в) Решите те же задачи при условии, что расположение должно быть симметричным относительно центральной точки доски. 12. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белого и черного коней так, чтобы они не били друг друга? 13. Сколькими способами можно разместить три ладьи на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга? 14. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску двух коней одного цвета так, чтобы они били друг друга? 15. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску двух коней одного цвета так, чтобы они не били друг друга?