В чем секрет решения комбинаторных задач на шахматной доске? (стр. 1 )

ВСЕРОССИЙСКИЙ КОНКУРС НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ РАБОТ ШКОЛЬНИКОВ «ПОЗНАНИЕ - 2015»

(Секция математика)

Математика – царица всех наук

В ЧЕМ СЕКРЕТ РЕШЕНИЯ КОМБИНАТОРНЫХ ЗАДАЧ НА ШАХМАТНОЙ ДОСКЕ?

МОБУ Степановская средняя общеобразовательная школа

Выполнил: ,  учащийся 7 класса МОБУ Степановской сош, Красноярского края, Ирбейского района, п. Степановка

Руководитель: , учитель математики МОБУ Степановской сош

Научный руководитель: , кандидат физико –математических наук, доцент базовой кафедры вычислительных и информационных технологий Института математики и фундаментальной информатики Сибирского Федерального университета

п. Степановка,

2015 год

Содержание

Аннотация. 3

Введение. 4

Глава I. От зерна и священной черепахи. 6

1.1 «Родина» шахмат. 6

1.2 Становление комбинаторики. 7

Глава II. Шахматы и математика. 9

2.1 Свойства шахматных фигур. 9

2.2 Правила суммы и произведения. 10

Заключение. 14

Библиографический список. 16

Приложение. 17

Аннотация

Работу выполнил: , пос. Степановка, МОБУ Степановская сош, 7 класс.

По теме: «В чем секрет решения комбинаторных задач на шахматной доске?»

Руководитель: , учитель математики

Научный руководитель: , к. ф-м. н, доцент базовой кафедры вычислительных и информационных технологий Института математики и фундаментальной информатики Сибирского Федерального университета

Цель исследовательской работы: Классифицировать решения комбинаторных задач на шахматной доске. В работе рассказывается об истории возникновения шахмат, о видах шахмат, о становлении комбинаторики как науки, рассматриваются способы решения задач на шахматной доске. Предлагается классификация решения комбинаторных задач на шахматной доске.

Введение

Почему шахматы привлекательны для людей разных возрастов и профессий? Потому что, играя в шахматы, мы приобретаем много полезных качеств, тренируем память, учимся упорству, находчивости, развиваем логику. Занятие шахматами способствует развитию математических способностей человека. К шахматам можно относиться и как к науке со своими законами, принципами. Шахматы содержат в себе элементы научного исследования – именно такой подход свойственен многим выдающимся шахматистам. Задачи, связанные с шахматной теорией, а именно с комбинаторикой, широко применяются в математике.

Цель моей работы: классифицировать решения комбинаторных задач на шахматной доске.

Задачи:

1.  Познакомиться с историей возникновения шахмат и решения «шахматных» задач, с становлением комбинаторики как науки;

2.  Выделить подходы к решению комбинаторных задач на шахматной доске;

3.  Дать характеристику подходов;

4.  Описать приемы и методы решения задач;

5.  Составить таблицу классификации подходов и методов решения задач.

Объект исследования: комбинаторные задачи на шахматной доске.

Предмет исследования: методы решения комбинаторных задач на шахматной доске.

Актуальность данной темы заключается в том, что задачи из комбинаторики появляются в олимпиадах, но в школьном курсе не достаточно освещен. Особенностью моей работы является то, что я попытался не просто решить задачи, а разделил их по типам и для каждого типа предложил способ решения.

Новизна работы заключается в том, что для решения комбинаторных задач на шахматной доске, необходимы математические знания, математические приемы для решения каждого типа задач. Тема математики и шахмат хоть и достаточно освещена в современной литературе, но в большинстве из них рассматриваются свойства шахматных фигур, шахматной доски. По этой теме было найдено небольшое количество книг. 

Гипотеза: решения «шахматных» задач имеют общий подход или делятся на группы.

План исследования:

1.  изучение литературы,

2.  анализ изученных материалов,

3.  подбор задач,

4.  решение задач,

5.  классификация задач и составление таблицы.

Методы исследования:

поисковый метод с использованием научной и учебной литературы, а также поиск необходимой информации в сети Интернет;

практический метод решения задач, сюжетом которых являются шахматная доска или шахматные фигуры;

анализ полученных в ходе исследования данных.

Материалом для написания реферата послужили решение задач о ходе коня Леонарда Эйлера и о восьми ферзях — другого великого математика Карла Гаусса, научно-популярная и учебная литература, освещающая решения комбинаторных задач на шахматной доске.

Глава I. От зерна и священной черепахи

В этой главе я рассмотрю вопросы об истории возникновения шахмат, о видах шахмат, о становлении комбинаторики как науки и об ученых, стоящих у основания этой науки.

1.1 «Родина» шахмат

«Игра в шахматы существовала еще до появления на Земле человека и, может быть, даже до сотворения мира. Если мир впадет в хаос, игра в шахматы останется вне пространства и времени свидетельством вечного существования идей» – так высоко оценил искусство игры в шахматы Массимо Бонтемпелли, итальянский писатель.

И действительно, дата возникновения шахмат и имя изобретателя неизвестны. Полагают, что эта игра появилась в Индии где-то около VI века нашей эры. [7] Существует легенда, что шахматы были
изобретены около 1000 г. до нашей эры, индийским математиком, который также изобрел математическое действие возведения в степень. Название берёт из персидского языка. «Шах» означает король, а «мат» - умер.

Согласно одной гипотезе шахматная доска произошли из так называемых магических квадратов. Магический квадрат обладает следующим свойством: сумма чисел каждой строки, каждого столбца, а также двух главных диагоналей одна и та же. Для магических квадратов порядка 8 она равна 260.

Сколько всего существует вариантов шахмат, не сможет сказать никто – эта игра очень широко распространилась по планете и по мере распространения, она менялась. И по сей день изобретаются все новые и новые виды шахмат. Почти во всех видах шахмат, правила не меняются, меняется только способ расстановки фигур или добавляются новые фигуры. (Приложение 1 - 8)

1.2 Становление комбинаторики

Комбинато́рика — раздел математики, изучающий дискретные объекты, множества (сочетания, перестановки, размещения, перечисления элементов) и отношения на них. [7]

Первое упоминание о вопросах, близких к комбинаторным, встречаются в китайских рукописях, относящихся к XII – XIII векам до нашей эры. Точно датировать эти рукописи невозможно, так как в 213 году до нашей эры они были сожжены и до нас дошли лишь основанные на них более поздние книги. Историки отмечают также комбинаторные проблемы в руководствах по игре в Го и другие игры.

По одному преданию, один китайский император Ию, увидел на берегу реки, на панцире священной черепахи рисунок из белых и черных кружков. (Приложение 9) Если заменить каждую фигуру соответствующим числом, возникнет таблица изображенная справа. Этот рисунок назвали «ло-шу» и стали считать его магическим символом и употреблять при заклинаниях. Большой интерес математиков многих стран с древних времён неизменно вызывали «магические» квадраты. Определенные представления о комбинаторике были и у греческих ученых. Еще в VI веке до нашей эры философ Ксенократ, подсчитывал число слогов. Аристотель при изложении своей логики безошибочно перечислил все возможные типы трёхчленных силлогизмов. В VIII веке нашей эры начался расцвет арабской науки. Арабские алгебраисты пришли к формуле, известной под исторически неверным названием «Бином Ньютона». Индийские математики, видимо, первыми открыли биномиальные коэффициенты и их связь с биномом Ньютона. А в XII веке индийский математик Бхаскара написал книгу «Лилавати», в которой среди других вопросов математики изучаются и проблемы комбинаторики. [2 с 304]

Комбинаторика возникла в XVI веке. В те времена большая часть общества была погружена в азартные игры. Проигрывались дорогие украшения, золото, породистые кони, имения и даже дворцы. Широко были распространены всевозможные лотереи. Поэтому первоначально комбинаторные задачи касались азартных игр. Проблемы азартных игр стали движущей силой в развитии комбинаторики и теории вероятностей. Одним из первых вопросами комбинаторики, точнее подсчетом числа различных комбинаций при игре в кости, занялся итальянский математик Никколо Тарталья. Теоретическое исследование вопросов комбинаторики предприняли в XVII веке французские ученые Блез Паскаль и Пьер Ферма. Исходным пунктом их исследований были опять проблемы азартных игр. Дальнейшее развитие комбинаторики связано с именами Якова Бернулли, Готфрида Вильгельма Лейбница и Леонарда Эйлера. Однако и у них основную роль играли приложения к различным играм. [1 с 8] Термин «комбинаторика» был введён в математический обиход Лейбницем, который в 1666 году опубликовал свой труд «Рассуждения о комбинаторном искусстве». Долгое время казалось, что комбинаторика лежит вне основного русла развития математики и ее приложений.

Положение дел резко изменилось во второй половине XX века, после появления электронных вычислительных машин. С этого момента комбинаторика переживает бурное развитие. Комбинаторные методы используются для решения транспортных задач, для составления планов производства и реализации продукции, в теории случайных процессов, статистике, вычислительной математике, шахматных программах для ЭВМ и т. д. [2 с 8] Комбинаторными задачами интересовались многие математики, занимавшиеся составлением и разгадыванием шифров, изучением древних письменностей. Теперь комбинаторика находит приложения во многих областях науки: в биологии, где она применяется для изучения состава белков и ДНК, в химии, механике сложных сооружений и т. д.

Глава II. Шахматы и математика

Изучив научно-популярную литературу и интернет источники, я выбрал большое количество задач, в условиях которых говорится о шахматных фигурах или о шахматной доске. Я не брал задачи, в которых требовалось разрезать или раскрасить шахматную доску. Изучил основные формулы комбинаторики. Решая отобранные задачи, я понял, что под простые правила, такие задачи не подходят. На шахматной доске для каждой фигуры существуют свои правила. Кроме того есть задачи с разным количеством фигур. И у меня получилось такое деление: часть задач решались по «простым» формулам, а к другой части - необходимо было применить сразу несколько правил.